初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理精品课件ppt

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1.三角形内角和定理 （第2课时）1.了解并掌握三角形的外角的定义。2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。学习目标1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。48°50°130°在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。1∠1是△ABC的一个外角。问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？∠DBE是不是△ABC的一个外角？∠CBE是△ABC的一个外角∠DBE不是△ABC的一个外角问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？E每一个三角形都有6个外角。每一个顶点相对应的外角都有2个。问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4；∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。练一练如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角。如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。1432思考1：∠1与∠4有什么关系？∠1与∠4互补思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？猜测：∠2+∠3=∠1。1432已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。证明：在△ABC中，∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），∴∠2+∠3=180°-∠4。∵∠4+∠1=180°，∴∠1=180°-∠4。∴∠1=∠2+∠3。由三角形内角和定理，可以得到1432几何语言：在△ABC中，∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD=∠A+∠C。三角形的外角几何画板像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？1432∵∠1=∠2+∠3，∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。只要具备什么条件，就能说明AD // BC？同位角相等内错角相等同旁内角互补例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠C= ∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAC= ∠EAC。∴∠DAC=∠C。∴AD // BC。例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠B= ∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAE= ∠EAC。∴∠DAE=∠B。∴AD // BC。例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC >∠A。你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？你遇到的困难是什么？你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC >∠A。证明：如图，延长BP，交AC于点D。∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∴∠BPC＞∠A。角度模型飞镖型：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD8字型：∠A+∠B=∠C+∠D1.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，则∠DAC的度数为_______。100°设∠1=α，∴∠2=∠1=α。又∠1+∠2=∠4，∴∠4=2α，∴∠3=2α。∵∠2+∠3=180°-∠BAC=60°，∴α+2α=60°，∴α=20°。∴∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°。【教材P6 随堂练习 第1题】2.如图，在△ABC 中，∠A=45°， 外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数。解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角，∠DCA=100°，∠A=45°，∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。∵∠DCA+∠ACB=180°，∴ ∠ACB=80°。【教材P6 随堂练习 第2题】3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB，∠2= ∠BAC+ ∠ACB，∠3= ∠ABC+ ∠BAC。∵∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°。三角形的外角三角形的外角和等于360°。