初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理教学课件ppt

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北师大版 八年级下册第一章 三角形的证明及其应用1.三角形内角和定理第1课时 三角形内角和定理与全等三角形学习目标1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°。2.会用三角形内角和定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论。3.应用三角形内角和定理解决相关问题。复习回顾1.回顾平行线有哪些性质？两直线平行内错角相等同位角相等同旁内角互补2.我们学过的知识中哪些含有180°的关系？三角形内角和等于180°∠1=∠2∠1=∠3∠1+∠4=180°平角为180°进行新课三角形三个内角的和等于180°ABC（1）如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？（2）你能说说这个结论的证明思路吗？ABC请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。剪拼角的目的什么？构造平角如果不实际移动角，还可以怎样改变角的位置呢？已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。你学过哪些与180°有关的结论？平角为180°两直线平行，同旁内角互补曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？改变角的位置构造平角延长BC至D，过点C作射线CE ，使CE // BA已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE // BA，则∠1=∠A，∠2=∠B。∵点B，C，D在同一条直线上，∴∠1+∠2+∠ACB=180°。∴∠A+∠B+∠ACB=180°。（1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ // BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？证明：如图，过点A作直线PQ，使PQ // BC，则∠1=∠B，∠2=∠C。∵点P，A，Q在同一条直线上，∴∠BAC+∠1+∠2=180°。∴∠BAC+∠B+∠C=180°。（2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。证明：如图，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则∠1=∠C，∠3=∠B，∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。∴∠A=∠2。∵点B，D，C在同一条直线上，∴∠1+∠2+∠3=180°。∴∠A+∠B+∠C=180°。除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？两直线平行，同旁内角互补讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？转化思想添加辅助线（平行线）利用平行线的性质，转移角转化为平角或同旁内角例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)。∵∠B= 38°，∠C=62°，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°。在△ADB中，∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理)。∵∠B=38°，∠BAD =40°，∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°。我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF。求证：△ABC≌△DEF。证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形内角和定理)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－（∠D +∠E）。∵∠A =∠D，∠B =∠E，∴∠C =∠F。∵∠B =∠E，BC = EF，∠C =∠F。∴△ABC ≌ △DEF（ASA）。根据全等三角形的定义，我们可以得到练一练如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB // DE。（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BF=4，FC=3，求BE的长。（1）证明：∵AB // DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。练一练如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB // DE。（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BF=4，FC=3，求BE的长。（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+CF=EC+CF，∴BF=EC，∵BF=4，FC=3，∴EC=4，∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11。随堂练习1.已知△ABC。（1）若∠B=3∠A，∠C=5∠A，则∠A的度数是______；（2）若∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数是______。∠A+∠B+∠C=180°（1）∠A+3∠A+5∠A=180°9∠A=180°20°（2）55°+∠B+(∠B-25°)=180°2∠B+30°=180°2∠B=150°75°2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处。若∠A=24°，则∠EDC的度数为______。∠A+∠B+∠ACB=180°69°∠A+∠B=90°∠ACB=90°∠A=24°∠B=66°△BDC≌△EDC∠DEC=∠B=66°△BDC≌△EDC∠ACB=90°∠BCD=∠ECD=45°∠EDC=180°-∠DEC -∠ECD =69°证明：∵DE // BC，∴∠AED=∠C=70°。又∵∠A=60°，∴ ∠ADE=180°－70°－60°=50°。【教材P4 随堂练习 第1题】3. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且DE // BC。求证：∠ADE=50°。【教材P4 随堂练习 第2题】4. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数。解：∵BD与CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠CDB=∠AEC=90°。在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∵∠A=50°，∴∠ABD=180°-50°-90°=40°。同理∠ACE=40°。在△DCO中，∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，∵∠OCD=40°，∠ODC=90°，∴∠COD=180°-40°-90°=50°。课堂小结1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。转化思想添加辅助线（平行线）利用平行线的性质，转移角转化为平角或同旁内角2.全等三角形的性质与判定两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）全等三角形的对应边相等、对应角相等。布置作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。