数学八年级上册（2024）3 二次根式优秀ppt课件

这是一份数学八年级上册（2024）3 二次根式优秀ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了复习引入，①都含有开方运算，归纳总结，是否为二次根号，被开方数是不是非负数，二次根式，不是二次根式，典例精析，x≥2，∴x＞1等内容，欢迎下载使用。
下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.
通过表情来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.
问题3 什么数有平方根?
我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m．
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 ．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
② 被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
二次根式的概念及有意义的条件
注意：a 可以是数，也可以是式子.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
解：由 x - 2≥0，得
解：由题意得 x - 1＞0，
解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可. 若式子含分式，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论 x 为何实数，∴当且仅当 x = 1 时， 在实数范围内有意义.(2)∵无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0，∴无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方式是多项式时，常常需要将多项式变形为完全平方式加(或减)常数项的形式，再研究其取值范围.
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：
(3)二次根式作为分母如 有意义的条件：A＞0；
(4)形如 的式子有意义的条件：A≥0 且 B ≠ 0.
1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是____________.
x≥0且 x ≠ 2
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，必有 a≥0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，故 ≥0.
二次根式的被开方数或被开方式非负
由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.
解：由题意得 ∴ x = 3．∴ y = 8．∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．∵ 25 的算术平方根为 5，∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
解：由题意得∴ a = 3. ∴ b = 4.当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
若 ，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a = 0，y = b.
解：由题意得 3x - 3 = 0 且 2y - 4 = 0，解得 x = 1，y = 2.∴ x + 4y = 1 + 4×2 = 9.∴ x + 4y 的平方根为±3.
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
＝ ，
＝ ，
＝　 　 ．
（a≥0，b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商：
积的算术平方根等于算术平方根的积：
解：(1)(2)(3)
（1） ； （2） ； （3） .
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
② 被开方数中不含分母；
③ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.式子 有意义的条件是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3.若 是整数，则自然数 n 的值有（ ） A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
4. 当_____________时， 在实数范围内有意义.
解析：要在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x + 3≥0 和分母 x + 1 ≠ 0，解得 x≥-3 且 x ≠ -1.
方法总结：使一个式子有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
x≥-3且x ≠ -1
5. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
6. (1) 若式子 有意义，求 m 的取值范围；
解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，解得 m≥2，且 m ≠ -2，且m ≠ 2，∴ m＞2.
(2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围．
解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立.∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
7. 若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得∴ x = 1.∵ y＜ ，∴ y＜ .∴ .
知识点1 二次根式的性质
[答案] 16; 9; 4; 3; 12
[答案] 25; 64; 5; 8
2.下列式子正确的是( )
知识点2 最简二次根式
4.［2025邵阳月考］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
5（答案不唯一）
6.把下列二次根式化成最简二次根式：
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.