专题05 一元一次方程特殊解的四种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册练习（原卷版＋解析版）

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题型1：整数解问题…………………………………………………………… 1
题型2：相同解问题…………………………………………………………… 5
题型3：错解问题……………………………………………………………… 9
题型4：根据方程解的其他情况求值………………………………………… 11
题型5：含绝对值的方程问题………………………………………………… 14
B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 20
重难点题型分类
【题型1：整数解问题】
【例1】已知关于x的方程x−5−ax6=x+46−1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．8B．−8C．12D．−12
【答案】A
【分析】求得方程的解x=35+a，根据解是正整数，分类计算即可．
【详解】∵x−5−ax6=x+46−1，
∴6x−5+ax=x+4−6，
∴6x−x+ax=5+4−6，
∴x=35+a，
∵方程x−5−ax6=x+46−1的解是正整数，
∴5+a=1,5+a=3，
解得a=−4,a=−2
∴积为−4×−2=8，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．
【变式1-1】已知关于x的方程ax+26=x3+1的解为负整数，则整数a所有可能取值的和为（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，先求出方程的解为x=4a−2，再结合方程的解为负整数和a为整数得出a−2=−1或−2或−4，求出a的值，即可得出答案，能求出方程的解是x=4a−2是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：ax+2=2x+6，
移项得：ax−2x=−2+6，
合并同类项得：a−2x=4，
系数化为1得：x=4a−2，
∵关于x的方程ax+26=x3+1的解为负整数，a为整数，
∴a−2=−1或−2或−4，
∴a=1或0或−2，
∴整数a所有可能取值的和为1+0+−2=−1，
故选：B．
【变式1-2】若关于x的方程5x−3=kx+2有整数解，那么满足条件的整数k的取值个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键．
先解方程可得x=55−k，再根据关于x的方程5x−3=kx+2有整数解，k为整数，可得5−k=±1或5−k=±5，从而可得答案．
【详解】解：∵5x−3=kx+2，
∴5x−kx=5，即5−kx=5，
当5−k≠0时，
∴x=55−k，
∵关于x的方程5x−3=kx+2有整数解，k为整数，
∴5−k=±1或5−k=±5，
解得：k=4或k=6或k=0或k=10，
∴满足条件的整数k的取值个数是4，
故选：C．
【变式1-3】已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【答案】C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x−2−ax6=x3−2
去分母，得6x−2−ax=2x−12
去括号，得6x−2+ax=2x−12
移项、合并同类项，得4+ax=−10
将系数化为1，得x=−104+a
∵ x=−104+a是非负整数解
∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数
则−5+−6+−9+−14=−34
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式1-4】关于x的方程ax−4=3x+1的解为正整数，则a的值为 ．（a为整数）.
【答案】4或8
【分析】先通过移项、合并同类项将方程化为用含a的式子表示x的形式，再根据解为正整数确定a的值．本题主要考查了一元一次方程的解法及整数解的应用，熟练掌握一元一次方程的变形求解和根据整数解确定参数值的方法是解题的关键．
【详解】解：ax−4=3x+1
a−3x=5
则x=5a−3．
∵方程的解x为正整数，
∴a−3是5的正因数．
5的正因数有1和5．
当a−3=1时，a=4，此时x=5，是正整数．
当a−3=5时，a=8，此时x=1，是正整数．
故a的值为4或8 ，
故答案为：4或8．
【变式1-5】已知关于x的整式M=x2+6ax−3x+2，整式N=−2x2+4ax−2x+2，若a是常数，且2M+N的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx+b−3=0的解是正整数，求ab的值．
【答案】(1)a=12
(2)ab=12
【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．
（1）将M和N代入2M+N，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可；
（2）解一元一次方程可得x=3−bb=3b−1，由方程bx+b−3=0的解是正整数，即x也是正整数，再结合b为整数可得b=1，最后将a=12、b=1代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵M=x2+6ax−3x+2，N=−2x2+4ax−2x+2，
∴2M+N=2x2+12ax−6x+4−2x2+4ax−2x+2
=16ax−8x+6
=16a−8x+6
∵2M+N的值与x无关，
∴16a−8=0，解得：a=12．
（2）解：∵bx+b−3=0
∴bx=3−b，
∴x=3−bb=3b−1，
∵方程bx+b−3=0的解是正整数，
∴x是正整数，即3b−1>0，
∵b为整数，
∴b=1，
∴ ab=12．
【题型2：相同解问题】
【例1】若方程2(2x+1)=3+3x的解与关于x的方程2k+6=2(x+3)的解相同，则k的值为（ ）
A．1B．−1C．7D．−7
【答案】A
【分析】先解方程2(2x+1)=3+3x可得x=1，再将x=1代入方程2k+6=2(x+3)，得2k+6=2×(1+3)，由此即可求得k的值．
【详解】解：2(2x+1)=3+3x，
去括号，得：4x+2=3+3x，
移项，得：4x−3x=3−2，
合并同类项，得：x=1，
将x=1代入方程2k+6=2(x+3)，得：
2k+6=2×(1+3)，
整理，得：2k+6=8，
解得：k=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键．
【变式1-1】若方程x−43−8=−x+22的解与关于x的方程4x−3a+1=6x+2a−1的解相同，则代数式a−1a的值为（ ）．
A．−154B．154C．174D．−174
【答案】A
【分析】先解方程x−43−8=−x+22得出x=10，将其代入到方程4x−3a+1=6x+2a−1中求得a的值，然后代入求值即可．
【详解】解：解方程x−43−8=−x+22，
去分母，得 2(x−4)−48=−3(x+2)，
去括号，得 2x−8−48=−3x−6，
移项，合并同类项，得 5x=50，
系数化为1，得 x=10，
∵两方程同解，将x=10代入到4x−3a+1=6x+2a−1中，
可得 40−3a+1=60+2a−1，
解得 a=−4，
∴ a−1a=−4+14=−154．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程以及代数式求值等知识，理解并掌握方程的解得概念以及解一元一次方程的方法是解题关键．
【变式1-2】方程2x+1=7与a−x−43=0 的解相同，则a的值是 ．
【答案】−13
【分析】分别求出两个方程的解，再根据解相同建立方程，再求解即可．
【详解】解：∵2x+1=7，
∴x=3；
∵a−x−43=0，
∴x=3a+4；
∵两个方程的解相同，
∴3a+4=3，
∴a=−13．
【点睛】本题考查求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
【变式1-3】已知关于x的方程m+3xm−2+6=0是一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程的解与关于x的方程2x+15−1=x+n2的解相同，求n的值．
【答案】(1)3
(2)n=−75，过程见解析
【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值；
（2）根据两个方程同解可得n的值．
【详解】（1）解：根据题意，得m−2=1，m+3≠0，
解得：m=3；
（2）解：当m=3时，关于x的方程为：6x+6=0，
解得：x=−1；
因为两个方程解相同，所以将x=−1代入2x+15−1=x+n2，
得−15−1=n−12，
解方程，得n=−75．
【变式1-4】在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程；
（1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值；
（2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；
（3）若关于x的两个方程5x+343（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣193（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．
【答案】（1）m＝1；（2）a＝﹣7；（3）m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．
【分析】（1）根据题意解方程再把方程的解代入到mx＝m+1求出m即可；
（2）把a当做有理数解方程，用含a的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求a即可；
（3）把m，n当成有理数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可；
【详解】（1）解方程2x＝4得x＝2，
把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1，
解得m＝1；
（2）关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2得x＝a+12，x＝a−23，
∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，
∴a+12=a−23，
解得a＝﹣7；
（3）解关于x的两个方程5x+343（m+1）＝mn与2x﹣mn＝−193（m+1）得x＝3mn−34m−3415，x＝3mn−19m−196，
∵关于x的两个方程5x+343（m+1）＝mn与2x﹣mn＝−193（m+1）是同解方程，
∴3mn−34m−3415＝3mn−19m−196，
∴mn﹣3m﹣3＝0，
mn＝3（m+1），
∵m，n是正整数，
∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．
【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数．
【题型3：错解问题】
【例1】学习情境·错解问题 佳佳同学在解关于x的方程2x+53=x+m6−3时，去分母过程中忘记给右边的−3乘以6，最终解得方程为x=2，则m的值为（ ）
A．−7B．−6C．7D．19
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据题意得x=2是方程22x+5=x+m−3的解，再将x=2代入22x+5=x+m−3即可得出根m的值．
【详解】解：2x+53=x+m6−3去分母过程中忘记给右边的−3乘以6得到：
22x+5=x+m−3，则x=2是该方程的解，
∴将x=2代入22x+5=x+m−3中得m=19，
故选：D．
【变式1-1】小红在解方程□x+2=3x−4时，把“□”处的系数看错了，解得x=−6，她把“□”处的系数看成了（ ）
A．4B．6C．−3D．−6
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，设小红将原方程中的系数“□”看成了k，则错误的方程为kx+2=3x−4，把x=−6代入k⋅−6+2=3×−6−4，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设小红将原方程中的系数“□”看成了k，则错误的方程为kx+2=3x−4，
把x=−6代入该方程：k⋅−6+2=3×−6−4
−6k+2=−22
−6k=−24
k=4，
故选：A．
【变式1-2】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13 =x+a2−1去分母时由于粗心，方程右边的−1没有乘6而得到错解x=4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】a=1，x=−1
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．
【详解】解：∵方程右边的−1忘记乘6，求出的解为x=4，
∴22×4−1=34+a−1，
解得a=1，
则原方程为：2x−13 =x+12−1，
去分母，得4x−2=3x+3−6，
移项、合并同类项，得x=−1．
【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键．
【变式1-3】小玲在解方程2x−13=a−x2−1去分母时，方程右边的“−1”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为x=1． 请根据上述信息求方程正确的解．
【答案】x=27
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得x=3a+17，由小玲解得x=1，可求得a=2，再按照正确的解题过程求解即可得到答案．
【详解】解：小玲的解方程过程如下：
2x−13=a−x2−1
去分母得：22x−1=3a−x−1，
去括号得：4x−2=3a−3x−1，
移项得：4x+3x=3a−1+2，
合并同类项得：7x=3a+1，
系数化1得，x=3a+17，
∵小玲解得x=1，
∴3a+17=1，
∴a=2；
正确解法如下：2x−13=2−x2−1
去分母得：22x−1=32−x−6，
去括号得：4x−2=6−3x−6，
移项得：4x+3x=6−6+2，
合并同类项得：x=27．
【题型4：根据方程解的其他情况求值】
【例1】如果a，b为定值时，关于x的方程3kx+a2−x+bk4=1，它的根总是2，则a+b的值为（ ）
A．18B．15C．12D．10
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
先将方程的根代入原方程并化简得12−bk=6−2a，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得12−b=0，6−2a=0，易求a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：将x=2，代入原方程并化简得12−bk=6−2a，
∵当a，b为定值时，对任意的k成立，
∴12−b=0，6−2a=0，解得：b=12，a=3，
∴a+b=15．
故选：B．
【变式1-1】关于x的一元一次方程12024x+6=2x+b的解为x=−3，则关于y的一元一次方程12024y+5+6=2y+b+10的解为（ ）
A．−3B．−5C．−7D．−8
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程12024y+5+6=2y+b+10可变形为：12024y+5+6=2y+5+b，再根据两个方程的特点得出y+5=−3，据此求解即可．
【详解】解：方程12024y+5+6=2y+b+10可变形为：12024y+5+6=2y+5+b，
∵关于x的一元一次方程12024x+6=2x+b的解为x=−3，
∴关于y的一元一次方程12024y+5+6=2y+5+b的解为y+5=−3，
解得：y=−8．
故选：D．
【变式1-2】若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，则m−n= ．
【答案】212
【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解．
整理原式得出4k−1x=12−nk−2m，根据方程的解为1，得出n=−4,12−2m=−1，然后代数求解即可．
【详解】解：2kx+m3=x−nk6+2
4kx+2m=x−nk+12
4k−1x=12−nk−2m
把x=1代入得：4k−1=12−nk−2m，
∴n=−4,12−2m=−1，
∴m=132，
∴m−n=132+4=212，
故答案为：212．
【变式1-3】已知方程4x+2m=3x①的解与方程2x+3=5x②的解互为相反数，求：
(1)m的值；
(2)代数式m+22009⋅2m−752010的值．
【答案】(1)m=12
(2)25
【分析】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键．
（1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于m的一元一次方程，解方程即可得；
（2）将m的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得．
【详解】（1）解：方程4x+2m=3x的解为x=−2m，
方程2x+3=5x的解为x=1，
∵方程4x+2m=3x①的解与方程2x+3=5x②的解互为相反数，
∴−2m+1=0，
解得m=12．
（2）解：由（1）已得：m=12，
则m+22009⋅2m−752010
=12+22009×2×12−752010
=522009×−252010
=522009×252010
=522009×252009×25
=52×252009×25
=12009×25
=1×25
=25．
【变式1-4】已知方程2−3x＋1＝0的解与关于x的方程k＋x−2＝2x的解互为倒数，求k的值．
【答案】−1
【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k．
【详解】解：解方程2−3x＋1＝0得：x=−13．
因为方程2−3x＋1＝0的解与关于x的方程k+x−2=2x的解互为倒数，
所以关于x的方程k+x−2=2x的解是x=−3，
把x=−3代入方程k+x−2=2x得：k−3−2=−6，解得：k=−1．
【题型5：含绝对值的方程问题】
【例1】方程x−3−2=1解的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的综合运用，熟练掌握绝对值意义，解一元一次方程，是解题的关键．
由绝对值意义得x−3−2=±1，可得x−3=3，或x−3=1，可得x−3=±3或x−3=±1，解一元一次方程即可．
【详解】解：∵x−3−2=1，
∴x−3−2=±1，
∴x−3=3，或x−3=1，
当x−3=3时，
x−3=±3，
∴x1=0，x2=6，
当x−3=1时，
x−3=±1，
∴x3=2，x4=4；
∴方程x−3−2=1有4个解．
故选：D．
【变式1-1】若关于x的方程nx−2=2n−x的解满足x−32−13=0，则n=（ ）
A．10或25B．−10或25C．10或−25D．−10或−25
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|ax+b|=c的形式，然后去绝对值变为ax+b=±c的形式解出x，进而代入nx−2=2n−x，解关于n的方程，即可求解．
【详解】解：x−32−13=0
∴x−32=13
∴x−32=13或x−32=−13
解得：x=116或x=76
当x=116时，116n−2=2n−116
∴116n−2=2n−113
−16n=−53
解得：n=10；
当x=76时，76n−2=2n−76
∴76n−2=2n−73
∴−56n=−13
解得：n=25
综上所述，n=10或25
故选：A．
【变式1-2】已知关于x的绝对值方程2||x−1|−2|=a有三个解，则a= ．
【答案】4
【分析】首先去绝对值符号得到∴|x−1|−2=±12a，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：x−1=12a+2、x−1=−12a+2、x−1=−12a+2、x−1=−−12a+2，然后用含a的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，3+12a=−1−12a或3−12a=−1+12a，求出a=4或−4，再根据绝对值的非负性可得a=4．
【详解】解：∵2||x−1|−2|=a，
∴||x−1|−2|=12a
∴|x−1|−2=±12a，
当|x−1|−2=12a时，
移项得：|x−1|=12a+2，
∴x−1=±12a+2，
若x−1=12a+2，
解得：x=12a+3，
若x−1=−12a+2，
解得：x=−12a−1；
当|x−1|−2=−12a时，
移项得：|x−1|=−12a+2，
∴x−1=±−12a+2，
若x−1=−12a+2，
解得：x=−12a+3，
若x−1=−−12a+2，
解得：x=12a−1；
∴x=12a+3或−12a+3或−12a−1或12a−1，
∵方程有三个解，
∴3+12a=−1−12a或3−12a=−1+12a，
∴a=−4或4，
∵2||x−1|−2|=a
∴a>0，
∴a=4．
故本题答案为：4．
【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程．
【变式1-3】已知关于x的绝对值方程2x−1−3=a只有三个解，求a的值．
【答案】a=6
【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键．
首先根据绝对值的意义得到x−1−3=a2或x−1−3=−a2，解方程得到x=4+a2或x=−2−12a或x=4−a2或x=−2+a2，当a=0时，方程只有两个解，不符合题意，则a>0，由方程只有三个解得到4−a2=−2+a2，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵2x−1−3=a ，
∴x−1−3=a2或x−1−3=−a2，
∴x−1=3+a2或x−1=3−a2，
∴x−1=3+a2或x−1=−3−a2或x−1=3−a2或x−1=−3+a2，
∴x=4+a2或x=−2−12a或x=4−a2或x=−2+a2，
当a=0时，则4+a2=4=4−12a，−2−12a=−2+12a，即此时方程只有两个解，不符合题意；
∴a>0，
∴4+a2>4−12a，4−a2>−2−a2，4+a2>−2+12a>−2−12a，
∵关于x的绝对值方程2x−1−3=a只有三个解，
∴4−a2=−2+a2，
∴a=6．
【变式1-4】对于任意有理数x，规定：当x≥0时，fx=x+3；当x