专题03 代数式化简求值的四种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册练习（原卷版＋解析版）

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题型2：整体代入求值………………………………………………………… 3
题型3：特殊值法代入求值…………………………………………………… 5
题型4：含绝对值的代数式求值……………………………………………… 7
B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 11
知识梳理
1. 数轴上A、B两点表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|
2. 数轴上A、B、C两点表示的数为a、b、c，C为线段AB的中点，则c表示的数为a+b2
重难点题型分类
【题型1：直接代入求值】
【例1】先化简，在求值：
4xy−2x2+52xy−y2+2x2+3xy，其中x=−2，y=1．
【答案】5xy+2y2；−8
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．
先根据整式的加减运算法则化简，然后将x=−2、y=1代入计算即可．
【详解】解：4xy−2x2+52xy−y2+2x2+3xy
=4xy−2x2−5xy+2y2+2x2+6xy
=−2x2+2x2+4xy−5xy+6xy+2y2
=5xy+2y2；
当x=−2、y=1时，原式=5×−2×1+2×12=−10+2=−8．
【变式1-1】先化简，再求值：2x2y−3xy+23xy+x2y，其中x=12，y=−2．
【答案】−9xy，9
【分析】整式的加减−化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则．
先去括号再合并同类项，最后代入数值计算即可．
【详解】解：2x2y−3xy+23xy+x2y
=2x2y−3xy+6xy+2x2y
=2x2y−3xy−6xy−2x2y
=−9xy．
当x=12，y=−2时，
原式=−9xy=−9×12×−2=9．
【变式1-2】先化简，再求值：2a2−2ab−b2+−a2+3ab+3b2．其中a是绝对值最小的数，b是最大的负整数．
【答案】a2−ab+b2，1
【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将原式去括号、合并同类项，再把a=0，b=−1代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：原式=2a2−4ab−2b2−a2+3ab+3b2=a2−ab+b2．
由题意，知a=0，b=−1，
所以原式=02−0×(−1)+(−1)2=1．
【变式1-3】已知代数式ay5+by3+4y+c，当y=0时，该代数式的值为−5．
(1)求c的值；
(2)当y=1时，该代数式的值为−8，求a+b的值；
(3)当y=3时，该代数式的值为−12，求当y=−3时，该代数式的值．
【答案】(1)c=−5
(2)a+b=−7
(3)2
【分析】本题考查代数式求值：
（1）把y=0代入代数式，求出c的值即可；
（2）把y=1和c的值代入代数式，求出a+b的值即可；
（3）把y=3代入代数式，求出35a+33b的值，再把y=−3代入，利用整体代入法求值即可．
【详解】（1）解：把y=0代入代数式，得：c=−5；
（2）把y=1和c=−5代入，代数式，得：a+b+4−5=−8，
∴a+b=−7；
（3）把y=3代入代数式，得：35a+33b+4×3−5=−12，
∴35a+33b=−19，
把y=−3代入ay5+by3+4y+c，得：
−35a+−33b+4×−3−5
=−35a+33b+4×−3−5
=−−19−12−5
=2．
【题型2：整体代入求值】
【例1】当x=1时，代数式px3+qx+1的值为2021，则当x=−1时，px3+qx+1的值为（ ）
A．2021B．−2021C．−2019D．2019
【答案】C
【分析】本题考查代数式求值，把x=1代入px3+qx+1，得到p+q=2020，把x=−1，p+q=2020代入px3+qx+1中，进行计算求值即可．
【详解】解：把x=1代入px3+qx+1，得：p+q+1=2021，
∴p+q=2020，
把x=−1，p+q=2020代入px3+qx+1，得：−p−q+1=−p+q+1=−2020+1=−2019；
故选C．
【变式1-1】已知 a+b=12，a+c=−2，那么代数式b−c2−2c−b−94的是（ ）
A．−1B．0C．3D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．
根据已知条件推出式子b−c与c−b的值，代入b−c2−2c−b−94计算即得．
【详解】解：∵a+b=12，a+c=−2，
∴a+b−a+c=12−−2=52，
即b−c=52，c−b=−52，
∴b−c2−2c−b−94=522−2−52−94=9．
故选：D．
【变式1-2】已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，则式子m2﹣12mn﹣72n2的值为 ．
【答案】−412
【分析】将m2﹣12mn﹣72n2变形，将2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，整体代入化简即可得到答案．
【详解】解：∵2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，
∴m2﹣12mn﹣72n2
＝m2+mn﹣12n2﹣32mn﹣3n2
＝12（2m2+2mn﹣n2）﹣32（mn+2n2）
＝12（3a﹣35）﹣32（2+a）
＝32a-352-62-32a
＝−412．
故答案为：﹣412．
【点睛】本题考查了代数式求值，根据已知条件正确对要求的代数式变形是解题的关键．
【变式1-3】已知m2+mn=−2，3mn+n2=9，求2m2−7mn−3n2的值．
【答案】−31
【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入的思想解决问题是关键．
先将2m2−7mn−3n2化为2m2+mn−33mn+n2，再将m2+mn=−2，3mn+n2=9代入求值即可．
【详解】解：∵m2+mn=−2，3mn+n2=9，
∴2m2−7mn−3n2
=2m2+mn−2mn−7mn−3n2
=2m2+mn−9mn−3n2
=2m2+mn−33mn+n2，
=2×−2−3×9
=−31．
【变式1-4】已知m2+m=−2，求2m2+m+2024的值.
【答案】2020
【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值．把m2+m=−2整体代入代数式计算即可．
【详解】解：∵m2+m=−2，
∴2m2+m+2024
=2×−2+2024
=−4+2024
=2020．
【题型3：特殊值法代入求值】
【例1】若：(x−1)4=ax4+bx3+cx2+dx+e，那么a+c的值为（ ）
A．7B．1C．0D．−1
【答案】A
【分析】本题可通过给x赋值，得到关于a、b、c、d、e的等式，进而求出a+c的值．本题主要考查了代数式求值，熟练掌握赋值法是解题的关键．
【详解】解：令x=1，则(1−1)4=a×14+b×13+c×12+d×1+e
∴0=a+b+c+d+e ①
令x=−1，则(−1−1)4=a×(−1)4+b×(−1)3+c×(−1)2+d×(−1)+e
∴16=a−b+c−d+e ②
① +②得：16=2a+2c+2e
∴a+c+e=8 ③
令x=0，则(0−1)4=a×04+b×03+c×02+d×0+e
∴1=e
将e=1代入③得：a+c+1=8
∴a+c=7
故选：A．
【变式1-1】已知(x2−x+1)6=a12x12+a11x11+a10x10+⋯+a2x2+a1x+a0，则a12+a10+a8+⋯+a2+a0的值为（ ）
A．356B．1C．3D．365
【答案】A
【分析】本题考查的代数式求值，分别取x=1和x=−1求出代数式的值，再相加除以2即可．
【详解】解：当x=1时，12−1+16=a12⋅112+a11⋅111+⋯+a2⋅12+a1⋅1+a0，
∴1=a12+a11+a10+⋯+a2+a1+a0，①
当x=−1时，−12−−1+16=a12⋅−112+a11⋅−111+⋯+a2⋅−12+a1⋅−1+a0，
∴729=a12−a11+a10+⋯+a2−a1+a0，②
①+②得：730=2a12+2a10+2a8+2a6+2a4+2a2+2a0，
∴a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=365，
故选：A．
【变式1-2】已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是4，y是最大的负整数．求：2x−cd+6a+b−y2023的值．
【答案】8．
【分析】本题考查了代数式求值，相反数，倒数，绝对值等知识，根据题意得到a+b=0,cd=1,x=4,y=−1，然后代入代数式计算即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x是4，y是最大的负整数，
∴a+b=0,cd=1,x=4,y=−1，
∴2x−cd+6a+b−y2023
=2×4−1+6×0−−12023
=8−1+0−−1
=8−1+0+1
=8．
【变式1-3】已知：3x+12+4y+24与5z+3互为相反数，求x3+y3z3的值．
【答案】x3+y3z3的值为13
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，相反数，代数式求值．
根据题意可得3x+12+4y+24+5z+3=0，由绝对值和平方的非负性，可得x，y，z的值，代入计算即可．
【详解】解：∵3x+12+4y+24与5z+3互为相反数，
∴3x+12+4y+24+5z+3=0，
∵3x+12≥0，4y+24≥0，5z+3≥0，
∴3x+12=0，4y+24=0，5z+3=0，
∴x+1=0，y+2=0，z+3=0，
∴x=−1，y=−2，z=−3，
∴x3=−13=−1，y3=−23=−8，z3=−33=−27，
∴x3+y3z3=−1−8−27=13，
∴x3+y3z3的值为13．
【题型4：含绝对值的代数式求值】
【例1】已知非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，求式子−1m−−n的值．
【答案】5或−3
【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值．根据有理数的乘方运算，可得m=±1，n=±4，然后分别代入代数式，即可求解．
【详解】解：因为非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，
所以m=±1，n=±4，
①当m=1，n=4时，−1m−−n=−1−−4=1+4=5；
②当m=1，n=−4时，−1m−−n=−1−4=1−4=−3；
③当m=−1，n=4时，−1m−−n=1−−4=1+4=5；
④当m=−1，n=−4时，−1m−−n=1−4=1−4=−3．
所以式子−1m−−n的值为5或−3．
【变式1-1】若a−1+b+3=0，则b−a+12的值为（ ）
A．−312B．−112C．−12D．212
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的非负性及代数式求值，解题的关键是利用绝对值的非负性求出a和b的值，再代入代数式计算．
根据绝对值的非负性，即几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，列出关于a、b的方程，求出a、b的值；将a、b的值代入代数式b−a+12中计算出结果，再与选项对比选出正确答案．
【详解】解：∵a−1+b+3=0，且绝对值具有非负性，即a−1≥0，b+3≥0
∴a−1=0,b+3=0
解得a=1,b=−3．
将a=1,b=−3代入b−a+12得：−3−1+12=−4+12=−312
故选：A．
【变式1-2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，x=3，则式子2(a+b)+(−cd)2016+x2的值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查相反数、倒数和绝对值，代数式求值，理解相反数和倒数的概念以及绝对值的意义是解题关键．根据相反数和倒数的概念可得a+b=0，cd=1，根据绝对值的意义可得x=±3，然后代入求值即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，|x|=3，
∴a+b=0，cd=1，x=±3，
∴x2=9，
∴原式=2×0+−12016+9=0+1+9=10，
故答案为：10．
【变式1-3】已知x=2024，y=2025，且x+y=−x+y．求x+y的值．
【答案】−1或−4049
【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，由绝对值的性质可得x=±2024，y=±2025，x+y0，且c最小，则c=1
∵a2+b2+c5+d2025=2×0+2×52=102=100
∴a2+b2+15+−12025=a2+b2=100
∵±62+±82=100，a,b为整数，且最小，则a,b都为负数，
∴a=−6，b=−8，
∴a+b+c+d=−6−8+1−1=−14，
故答案为：−14．
三、解答题
12．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数−2的点距离为4．
(1)若a−3+c+32=0，那么b，d的值是多少？
(2)求5cd−m2+2025a+bm的值．
【答案】(1)b=−3，d=−23
(2)4或8
【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，数轴上两点距离计算，非负数的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）互为倒数的两个数的乘积为1，互为相反数的两个数的和为0，则a+b=0，cd=1，再由非负数的性质得到a−3=0，c+32=0，据此求出a、c的值即可求出b、d的值；
（2）表示数m的点在表述数−2的点的右侧时，用−2加上二者之间的距离即为m的值，表示数m的点在表述数−2的点的左侧时，用−2减去二者之间的距离即为m的点，据此结合（1）所求代值计算即可．
【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1；
∵a−3+c+32=0，a−3≥0，c+32≥0，
∴a−3=c+32=0，
∴a−3=0，c+32=0，
∴a=3，c=−32，
∴b=−3，d=−23；
（2）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1；
∵数轴上表示数m的点与表示数−2的点距离为4，
∴m=−2+4=2或m=−2−4=−6，
∴5cd−m2+2025a+bm=5×1−−62+2025×0−6=5+3+0=8或
5cd−m2+2025a+bm=5×1−22+2025×02=5−1+0=4．
13．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）已知a=9，b=3．
(1)当ab>0，求a+b的值；
(2)若a>0，b>0且c是b的倒数，求c2×a+b的值．
【答案】(1)12或−12
(2)4
【分析】（1）根据a=9，b=3，得到a=±9,b=±3﹒根据ab>0，分a、b都为正数和a、b都为负数两种情况进行计算即可求解；
（2）a=9，b=3，并且a>0，b>0，求出a=9,b=3，进而求出c=13，代入c2×a+b进行计算即可求解﹒
【详解】（1）解：因为a=9，b=3，
所以a=±9,b=±3﹒
因为ab>0，
所以a、b同号﹒
当a、b都为正数时，a+b=9+3=12；
当a、b都为负数时，a+b=−9+−3=−12；
所以当ab>0，求a+b的值为12或−12；
（2）解：因为a=9，b=3，并且a>0，b>0，
所以a=9,b=3，
因为c是b的倒数，
所以c=13，
所以c2×a+b=132×9+3=19×9+3=1+3=4﹒
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算法则，含乘方的有理数混合运算，求代数式的值等知识，根据题意确定字母的取值是解题关键﹒
14．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，|x|=2且数x表示在数轴上在原点的左边．求mcd−3(a+b)+4x的值．
【答案】−9
【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数，倒数，绝对值等知识，由题意可知a+b=0，cd=1，m=−1，x=−2，代入代数式中即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：a+b=0，cd=1，m=−1，x=−2，
∴mcd−3(a+b)+4x
=−11−3×0+4×−2
=−1−0−8
=−9．
15．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）（1）若有理数x，y满足x=8，y=3，且x−y=y−x，求x+y的值；
（2）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求a+b2025−cd+ba×m的值．
【答案】（1）−5或−11；（2）−6或4
【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键．
1根据绝对值的性质确定x，y得值，然后代入x+y中计算即可；
2由相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义易得a+b=0，ba=−1，cd=1，m=±5，将已知数值代入原式计算即可．
【详解】解：1∵x=8，y=3，
∴x=±8，y=±3，
∵x−y=y−x，
∴x≤y，
∴x=−8，y=±3，
∴x+y=−8+3=−5
或x+y=−8−3=−11；
2∵a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，
∴a+b=0，ba=−1，cd=1，m=±5，
当m=5时，
原式=0−1+−1×5
=−1−5
=−6，
当m=−5时，
原式=0−1+−1×−5
=−1+5
=4，
综上，原式的值为−6或4.
16．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：3x2y−[xy2−2(xy−32x2y)+3xy]+5xy2，其中x，y满足(x−3)2+|y+13|=0．
【答案】4xy2−xy，73
【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，偶次方以及绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据非负性得出x,y的值，代入求值即可．
【详解】解：3x2y−xy2−2xy−32x2y+3xy+5xy2
=3x2y−xy2−2xy+3x2y+3xy+5xy2
=3x2y−xy2+2xy−3x2y−3xy+5xy2
=4xy2−xy，
∵x，y满足x−32+y+13=0，
∴x−3=0且y+13=0，
∴x=3，y=−13，
∴原式=4xy2−xy=4×3×−132−3×−13=43+1=73．
17．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知a+1+b−22=0，求2a2−8ab+12(ab−4a2)−12ab的值．
【答案】22．
【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，先利用去括号、合并同类项法则化简整式，然后根据绝对值和偶次方的非负性得到a和b的值，代入即可求解，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键．
【详解】解：2a2−8ab+12ab−4a2−12ab
=2a2−8ab−12ab−4a2−12ab
=2a2−8ab−12ab+2a2−12ab
=4a2−9ab，
∵a+1+b−22=0，
∴a+1=0，b−2=0，
∴a=−1，b=2，
∴原式=4×−12−9×−1×2
=4+18
=22．
18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）先化简，再求值：4x2−2xy−3x2+2−2xy+y2+3−2y2，其中x−4y=0．
【答案】x2−4xy−6，−6
【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值，先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再由x−4y=0可得x=4y，再代入计算即可．
【详解】解：4x2−2xy−3x2+2−2xy+y2+3−2y2
=4x2−8xy−3x2−4xy+2y2+6−2y2
=4x2−8xy−3x2−4xy+6
=4x2−8xy−3x2+4xy−6
=x2−4xy−6，
当x−4y=0时，
∴x=4y，
∴原式=4y2−4y⋅4y−6=−6．
19．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）【知识呈现】已知2x−15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0其中a5表示的是x5的系数，a4表示x4的是的系数，以此类推．
【灵活运用】当x=2时，2×2−15=
a5×25+a4×24+a3×23+a2×22+a1×2+a0即：35=25a5+24a4+23a3+22a2+2a1+a0．
【解决问题】（1）取x=0，则可知a0=_________．
（2）利用取特殊值法求a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
（3）利用取特殊值法求−a5+a4−a3+a2−a1+a0的值．
【拓展延伸】（4）探求a4+a2的值．
【答案】（1）−1；（2）1；（3）−243；（4）−120．
【分析】本题考查了代数式求值，采用特殊值法求代数式的值是解题的关键．
（1）把x=0代入2x−15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中即可求值；
（2）把x=1代入2x−15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中即可求值；
（3）把x=−1代入2x−15=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中即可求值；
（4）结合（2）、（3）中的结果即可求出a4+a2的值．
【详解】解：（1）当x=0时，a0=0−15=−1；
故答案为：−1；
（2）当x=1时，
2×1−15=a5+a4+a3+a2+a1+a0，
∴a5+a4+a3+a2+a1+a0=1，
（3）当x=−1时，
2×−1−15=−a5+a4−a3+a2−a1+a0，
∴−a5+a4−a3+a2−a1+a0=−35=−243，
（4）由（2）知∴a5+a4+a3+a2+a1+a0=1①，
由（3）知∴−a5+a4−a3+a2−a1+a0=−35=−243②，
①+②得：2a4+2a2+2a0=−242，
a4+a2+a0=−121，
∵a0=−1，
∴a4+a2=−120．
20．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：
如果代数式5a+3b的值为3，那么代数式2a+b+42a+b的值是多少？
爱动脑筋的小聪同学这样来解：
原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b．
我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b=3两边乘2，得10a+6b=6．
【方法运用】
（1）若a2−2a=2，则3a2−6a+1的值为_________；
（2）若m+n=2,mn=−1，求32mn−m−3n−mn的值；
【类比迁移】
（3）A,B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A,B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？
【答案】（1）7；（2）−13；（3）2或4小时
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可；
（2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可；
（3）由题意易得3(a+b)=60，则a+b=20，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可．
【详解】解：（1）∵a2−2a=2，
∴3a2−6a+1
=3(a2−2a)+1
=3×2+1
=6+1
=7，
故答案为：7；
（2）∵m+n=2，mn=−1，
∴3(2mn−m)−(3n−mn)
=6mn−3m−3n+mn
=7mn−3(m+n)
=7×(−1)−3×2
=−7−6
=−13；
（3）由题意得3(a+b)=60，
则a+b=20，
若相遇前两人相距20千米时，
(60−20)÷(a+b)=40÷20=2（小时），
若相遇后两人相距20千米时，
(60+20)÷(a+b)=80÷20=4（小时），
即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米．