专题07 线段上动点问题的三种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册练习（原卷版＋解析版）

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题型1：求值问题……………………………………………………………… 1
题型2：存在性问题…………………………………………………………… 4
题型3：定值问题……………………………………………………………… 6
B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 10
知识梳理
1. 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。
重难点题型分类
【题型1：求值问题】
【例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．
(1)【特例感知】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，则A，B两点之间的距离为_____________，线段AB的中点表示的数为_____________；
(2)若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b．
①【分类讨论】若a>b>0，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若a>0>b，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若0>a>b，则A，B两点之间的距离为：AB=_____________；
②【类比探究】线段AB的中点表示的数为_____________；
(3)【综合运用】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当P，Q相遇时，停止运动，设运动时间为t秒（t>0），点P，Q在运动过程中，
① P，Q两点之间的距离为_____________；（用含t的代数式表示）
②若点M为PA的中点，点N为QB的中点，线段MN的长度为_____________．（用含t的代数式表示）
【变式1-1】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，AB表示点A和点B之间的距离，且a、b满足a+62+b−12=0．
(1)填空：a=_____，b=_____；
(2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P、Q分别为AM、BN的中点，设运动时间为t秒（0≤t≤9）；
①问运动时间为多少时，点M与点N重合？
②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由；
③增加点O为原点，若OP=NQ，求t的值．
【变式1-2】如图，在数轴上点A表示−2，点B表示6．P、Q为数轴上两点，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点后，立即以原来的速度返回向右运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)用含有t的代数式表示点P表示的数为 ；
(2)当t为何值时，PQ=6；
(3)在运动过程中，若P、Q、B三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，求t的值．
【变式1-3】如图，数轴上的点O是数轴上的原点，点A表示数10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→ O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）
(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；
(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；
(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．
【题型2：存在性问题】
【例1】在数轴上，点A，B，C表示的数分别是−6，10，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．
(1)运动前线段AB的长度为________；
(2)当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？
(3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB=12AC？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】已知数轴上点A，B对应的数字分别是−5和4，点P为数轴上的一点，对应的数是x．
(1)若点P在线段AB上，且满足AP=2BP，求x．
(2)若点P到A，B的距离之和为13，求x．
(3)若点P从原点出发向右运动，与此同时点A，B也一并向右运动，点A，P，B的运动速度分别是每秒4个单位，2个单位，1个单位．是否存在某一时刻t，使得其中一点是另外两个点的中点．若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为 −8、4，点P为数轴上任意一点， 其对应的数为x．
(1)MN的长为______；
(2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；
(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒t>0．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值．
【变式1-3】如图所示，点O表示数轴的原点，M点在原点的左侧，所表示的数是m，N点在原点的右侧，所表示的数是n，并且关于x的多项式m+1x4−3xn−1−7是三次二项式．

(1)求线段MN的长；
(2)动点P从点M出发，沿线段MN运动，到达N点停止，速度是12个单位长度/秒，点A为线段PO的中点，设运动时间为t秒，请用含有t的式子表示线段OA的长；
(3)在（2）的条件下，是否存在t值，使线段OA的长度是14？并说明理由．
【变式1-4】已知数轴上A，B两点对应数分别为−2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．
(1)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
(2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等．
【题型3：定值问题】
【例1】如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式1-1】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0+3t；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0−2t．
【探究】已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b，且a,b分别为−4,8．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点A,B同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当P,Q两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，M,N分别是线段AP,BP的中点，则在运动过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请直接写出线段MN的长度；若不是，请说明理由．
【变式1-2】已知数轴上A、B两点对应的数分别为−1和−5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
(1)若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，MNAB是否为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【变式1-3】如图1，在数轴上，A，B两点所表示的数分别是−6，4，点P以每秒3个单位的速度从点A向右运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向左运动，设运动时间为1．
(1)当t=1时，求P，Q两点之间的距离；
(2)当点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，求运动时间t；
(3)如图2，将长度为2的线段MN(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1，在点P，Q出发的同时，线段MN以每秒a个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点P到线段MN中点的距离与点Q到线段MN中点的距离的和是一个定值，若存在，求出a的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由．
【变式1-4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足a+9+b−52=0．
(1)a= _______；b= ______；
(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．
①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度？
②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒nn>1个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3+AQ的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由．
能力提升
一、单选题
1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段AB=20cm，O是线段AB上的中点，P、Q是线段AB上的动点，点P沿A→B→A以4cm/s的速度运动，点Q沿B→A以2cm/s的速度运动．若P、Q点同时运动，当OP=OQ时，运动时间为（ ）．
A．0s、10s或53sB．0s、5s或103s
C．0s、103s、203s或10sD．0s、5s、53s或103s
2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB=24cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运动，M为AP的中点，N为BP的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动4s后，MN=12cm；
②在点P运动过程中，2BM−BP值随着点P位置的变化而变化；
③当AN=6PM时，运动时间为2.4s．
A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题
3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段AB=21cm，AO=5cm，半径OM=3cm，当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30°的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 cms．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且AB=18．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ．
三、解答题
5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足a+32+b−9=0.
(1)求线段AB的长；
(2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？
(3)点P为射线BA上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的PA的中点，N为线段的PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否会发生改变？若不变，求出MN的长度，若改变，请说明理由．
6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点A，B，C在同一直线上，且AB=mAC，则dABC=m．例如AB=6，AC=3，则dABC=2．
(1)如图1，O为数轴的原点，点P，Q表示的数分别为4和−2，则dOPQ=_______．
(2)如图2，已知线段AB=12cm，点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．设运动时间为t．
①请用含有t的代数式分别表示dAPB和dAQB．
②当t为何值时，dAQB−dAPB=12．
③若线段PQ的中点为M，直接写出dAMB=13时t的值．
7．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BP向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动．
【问题探究】（1）点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s
①若AP=8cm，当动点C，D运动了2s时，求CD的长度；
②若经过t秒，点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求t的值；
【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求AP的长度．
8．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB=m,CD=n，且m，n满足m−4+n−82=0，点M，N分别为AB,CD中点．

(1)求线段AB,CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN=4，求此时线段BC的长；
(3)若BC=24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
9．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+c−72=0．

(1)a=______，b=______，c=______．
(2)点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）
(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F．请问：AB−OPEF的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
10．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点C,D,E都在直线AB上，C是线段AB的中点，E是线段CB的中点，CE=4．

(1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时，求DC和AB的长．
(2)若P是直线AB上的动点，动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动，运动时间为t秒．
①已知另一动点Q从点E出发，以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动．是否存在PB=QB？若存在，求出此时运动的时间t；若不存在，请说明理由．
②当动点P在线段AC上运动时，M,N分别是线段AC和BP的中点，试判断AB−CP与线段MN之间的数量关系，并说明理由．
11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行以下操作探究：
操作一：
（1）折叠数轴，若数1表示的点与数−1表示的点重合，则数−2表示的点与数______表示的点重合，数a表示的点与数______表示的点重合；
操作二：
（2）折叠数轴，数−2表示的点与数6表示的点重合，回答以下问题：
①数2023表示的点与数______表示的点重合；
②数轴上A、B两点之间的距离为20，其中点4在B的左侧，若A、B两点折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______；
③在②的条件下，若数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合，则点N到点B的距离______；
操作三：
（3）在数轴上剪下10个单位长度（从−2到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1:2:2，则折痕处对应的点所表示的数是______．
12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上有A、B两点，A、B两点所表示的有理数分别是3k−3和4−4k，其中k为最大的负整数．
(1)求线段AB的长；
(2)线段AB上的两个动点，点M为PQ的中点，点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为4个单位/秒，设运动时间为t秒，OM的长为dd≠0，用含t的式子表示d；
(3)在（2）的条件下，t为何值时，PQ=6，并求此时线段PB的长．
13．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【新知理解】
我们规定：对于数轴上不同的三个点A，B，C，若点C到点A的距离恰好为点C到点B的距离的n（n为正整数）倍时，即AC=nBC，则称点C是“A，B的n级关联点”．
（1）数轴上点A，点B表示的数分别为−5，3．
①线段AB的长为______；
②若点C是“A，B的3级关联点”，则点C表示的数为______；
【解决问题】
（2）在（1）的条件下，点P在数轴上所对应的数是−2，且不与A，B两点重合，作“A，P的2级关联点”，记为A'，作“B，P的4级关联点”，记为B'，且满足A'，B'分别在线段AP和BP上，求3PA'+5PB'的值．
【拓展应用】
（3）数轴上A，B两点表示的数分别为−2，8，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“A，P的1级关联点”，记为D，作“B，Q的3级关联点”，记为E，两点同时出发，设运动时间为t0