2025年甘肃省平凉市第四中学九年级中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年甘肃省平凉市第四中学九年级中考一模数学试题（解析版）-A4，共20页。
1． 全卷共150分，考试时间120分钟．
2． 考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3． 考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2. 倒数等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是倒数的含义，由乘积为1的两个数互为倒数可得本题的答案．
【详解】解：，
则的倒数等于，
故选：B．
3. 近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：1062万用科学记数法表示为．
故选：C．
4. 如图，内接于⊙O，连接、，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
5. 如图，直线l1l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（ ）
A. 56°B. 34°C. 44°D. 46°
【答案】C
【解析】
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【详解】解：如图：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．
6. 若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案．
【详解】解：根据题意得，且，
解得．
在数轴上表示
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
7. 最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷的体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意； E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ）
A. 选择“C满意”的人数最多
B. 抽样调查的样本容量是240
C. 样本中“A不满意”的百分比为
D. 若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体数量等知识；由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D．
【详解】解：由题意知，选择“C满意”的人数最多，故A正确，不符合题意；
抽取的人数中，口味“B一般”的人数为20人，其占比为，则抽取的总人数为：（人），故抽样调查的样本容量是100，故B错误，符合题意；
“A不满意”的人数为（人），样本中“A不满意”的百分比为，故C正确；不符合题意；
周末到天水吃“麻辣烫”人数为800人中，觉得口味“B一般”的人数为：（人），
即周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数为160人．不符合题意；
故选B
8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设两地距离为1，先求得甲乙的速度分别为、，再根据相遇时，两人所走路程和为1列方程求解即可．
【详解】解：设乙出发x日，甲乙相逢，
根据题意，得，
故选：D．
9. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD菱形，
∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，
∴∠ABD=65°，
∵DH⊥AB，BO=DO，
∴HO=DO，
∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为( )．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2
∴CD=2，
∵点为边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4，
由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小，
根据垂线段最短，
∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=，

所以此时AP=，
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°，
∴△APC∽△ACB，
∴，
即，
解得：AB=，
在Rt△ABC中，BC=．
故选C．
【点睛】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 把多项式分解因式的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解的方法可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 分式方程的解是_____________ .
【答案】x=2
【解析】
【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的根；
故答案为：x=2．
【点睛】考点：解分式方程．
13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________．
【答案】且
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为∶ 且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理、矩形性质，勾股定理，因为四边形是矩形，所以，，，在 中，可得，推出，因为E，F分别是 、的中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
∵E、F分别是，的中点，
∴，，，
∴的周长．
故答案：9．
15. 如图，正五边形内接于，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查三视图还原几何体，正三棱柱表面积，解直角三角形，根据三视图可知，该几何体为正三棱柱，记底面三角形高为，结合解直角三角形求出，分别算出三棱柱的侧面积和三棱柱的两个底面积，即可得到这个几何体的表面积．
【详解】解：根据三视图可知，该几何体为正三棱柱，
三棱柱的侧面积为：，
记底面三角形高为，则，
三棱柱的两个底面积为：，
这个几何体的表面积是，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共6个小题，共44分． 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简方法．
先计算乘法，再计算加减即可；
【详解】解：原式．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
①②，得③，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
19. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】先将括号内的部分进行通分，再根据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可得到答案．
【详解】，
＝（－）·
＝·
＝
【点睛】此题考查了分式的混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键．
20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得．
【小问1详解】
解：（1）如图：
【小问2详解】
．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
21. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信，因此，端午节前，学校举行“传经典乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．
（1）假如小红要通过抽签选择其中一项参加，她选到创美文的概率是 ；
（2）某班甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式、用树状图求概率等知识点，正确画出树状图成为解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）先根据题意画出树状图，然后根据树状图确定所有可能结果数和满足题意的结果数，最后运用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：小红的抽签结果共有4种可能结果，期中选到创美文的结果只有一种，则她选到创美文的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意画出树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
答：甲、乙两人同时被选中的概率．
22. 某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米． 校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米． 小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为，测得宿舍楼楼顶C的仰角为，已知测角仪的高度为米，点B，F，D在同一水平线上． 请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用． （参考数据：，，，）
【答案】校团委准备做的横幅长度不够用，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义是解本题的关键．过点E作于点G，延长交于点H．在中，在中，分贝求出米，米，再求出与42米比较即可．
【详解】解：校团委准备做的横幅长度不够用，理由如下：
如图，过点E作于点G，延长交于点H．
则米
∴米
在中，米
在中，米
∴米
∵
∴校团委准备做的横幅长度不够用．
四、解答题（二）：（本大题共5小题，共52分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a ；b ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 ；
（3）若成绩在80分及以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
【答案】（1）5，81.5；（2）90°（3）九年级一共有180名学生的体质达标
【解析】
【分析】（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数=小组人数÷小组所占的比例，因此a＝总抽取人数-其它各组人数．根据中位数定义，把总抽取人成绩进行排序，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，两位同学在80≤x＜90范围当中．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为81分，第11名为82分，即可求出中位数b．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，求出占抽取总人数的百分比，对应圆心角的度数为：360°×百分比即可．
（3）用部分估计总体，根据图表一，统计成绩在80分以上的同学人，求出占抽取总人数的百分比，因此体质达标人数=该校九年级一共有300×占抽取总人数的百分比即可．
【详解】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．
因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．
根据中位数定义，在所有抽取的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．
根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．
将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．
因此第10名为81分，第11名为82分，
因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，
因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）用部分估计总体，根据图表一，成绩在80分及以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，
因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
【点睛】本题考查统计图表有关问题，会用扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．会根据抽取总人数求分数段人数．会求中位数，会求扇形圆心角度=360º×分数段人数所占抽取人数的百分比是解题关键．
24. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
【小问3详解】
解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
25. 如图，D是以为直径的上一点，，过点D的直线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的直径为9，，求线段的长．
【答案】（1）是的切线，理由见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理的推论，可知，再根据等腰三角形三线合一性质，可得点D为的中点，再根据中位线定理可证明，然后利用平行线的性质即可证明，最后根据切线的判定定理，即可证明结论；
（2）先证明，即得，在和中，利用解直角三角形，即可分别求出和的长．
【小问1详解】
解：是的切线，理由如下：
如图，连接，，
为的直径，
，
，
，
点D为的中点，
点O为中点，
为中位线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，D为的外端点，
是的切线；
【小问2详解】
∵，
，
，，
，
即，
在中，，，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，为直角．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；
以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；
再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；
作射线，．
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72