2025年甘肃省武威市凉州区凉州区长城中学、吴家井中学九年级中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年甘肃省武威市凉州区凉州区长城中学、吴家井中学九年级中考一模数学试题（解析版）-A4，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，再进行逐一判断即可．
【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
2. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则
∴，
故选：A
3. 二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，即可判断；由图象与轴有两个交点可判断；由二次函数的对称性可得当时，，即可判断；根据二次函数的对称轴可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图象得，，
，故选项错误；
∵二次函数图象与轴有两个交点，
，故选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
，故选项错误：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
，故选项正确，
故选：．
4. 如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，连接，则，由垂径定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由此即可求出的半径．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，
过圆心且，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 画饼充饥B. 水涨船高C. 一箭双雕D. 缘木求鱼
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件；
B、“水涨船高”是必然事件；
C、“一箭双雕”是随机事件；
D、“缘木求鱼”是不可能事件；
故选B．
6. 已知反比例函数，则下列点中在这个反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例图象上．根据题意依次代入选项中得点坐标，如果等号成立则表示在图象上，反之则不在．
【详解】解：∵反比例函数，
A选项：，即A选项不符合题意，
B选项：，即B选项不符合题意，
C选项：，即C选项符合题意，
D选项：，即D选项不符合题意，
故选：C．
7. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与交于点N，与交于点P，与交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据相似性质可得，，利用可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用表示出的长，即可表示出的长，进而可得出结果．
【详解】解：如图，设与交于点N，与交于点P，与交于点Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 如图，在中， ，，，点 、 分别是、 上的动点，当 时，的最小值是（ ）
A. 8B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，解直角三角形，作，且过点作于点，过点作交的延长线于点，得出可得，进而可得出当在上，取得最小值，此时，然后分别解直角三角形，求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，作，且过点作于点，过点作交的延长线于点，
又∵
∴
∴，
∴当在上，取得最小值，此时
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴则中，
在中，，
∵
∴
∴在，
故选：C．
9. 如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体三视图是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解．
【详解】解：由图可知：该几何体的左视图是
故选B．
10. 如图，是的外接圆，P是延长线上一点，连接，且，点D是中点，的延长线交于点Q，则下列结论：①；②垂直平分；③直线和都是的切线；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】由，点D是中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分，可判断②正确；因为，，所以，可判断①正确；由，得，则，再证明，，则，可证明直线和都是的切线，可判断③正确；假设正确，，可推导出，则，与已知条件不符，所以不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵点D是中点，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
故②正确；
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵都是的半径，，，
∴直线和都是的切线，
故③正确；
假设正确，则，
∴，
∴，
∴，显然与已知条件不符，
∴不正确，
故④错误，
故选：C．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11. 一元二次方程的常数项是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解．
【详解】解∶ 一元二次方程的常数项是，
故答案： ．
12. 二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点问题．令，（表示与轴平行的直线）结合二次函数的图象即可求解．
【详解】解：有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
令，（表示与轴平行的直线），
与有两个交点，
，
，
是整数，
整数的最小值为2
故答案为：2．
13. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题．
【详解】解：令点B旋转后的对应点为
当点B在x轴上时，
令点B坐标为，
则
由旋转可知，
，，
所以点M坐标可表示为
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为，
当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
令点B坐标为，
由旋转可知，
，
所以，
所以
在和中，
，
所以，
所以，
因为点A坐标为，点B坐标为，
所以，，
所以，
则点M坐标为，
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为
综上所述：点B的坐标为或，
故答案为：或．
14. 如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出．
【详解】解：连接，如图所示：
，，
．
设的半径，
．
在中，由勾股定理得：，
解得：．
．
，，
．
是直径，
．
点分别是的中点，
是的中位线．
．
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
15. 从这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念、简单的概率计算，会利用概率公式计算概率是解答的关键．
先根据无理数的定义找出无理数，再无理数的个数除以数的总个数即可求解．
【详解】解：是分数，为有理数；是有限小数，为有理数；是无理数；是无理数；是分数，为有理数；
∴选出的这个数是无理数的概率为，
故答案为：．
16. 如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．
【详解】解：∵是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，
∴面积，
故答案为：．
17. 如图，在正方形中，为CD上一点，连接，过点作于点，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，根据勾股定理可求得，再证明，即可求得的值，先求得的值是解题的关键
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
，，
，
根据勾股定理可得，，
，
，
则，
，
，
，
，即，
解得（负值舍去），
经检验是原分式方程的解，
，
故答案为：．
18. 如图，在中，，点在上，已知，．则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键．
根据题意可得，，运用特殊角的三角函数值的计算得到，，则，，由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
三、解答题（共66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．
（1）作出关于原点O对称的；
（2）作出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）如图所示，．
【解析】
【分析】本题主要考查旋转变换、中心对称作图、坐标与图形等知识点，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质确定的对应点，然后顺次连接即可完成作图；
（2）根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接即可完成作图，最后读出的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
【小问2详解】
解：如图：即为所求．
可读出：．
20. （1）计算：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、解不等式等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值和不等式的解法是关键．
（1）利用负整数指数幂、特殊角的三角函数、绝对值法则、二次根式的性质化简进行计算即可；
（2）按照去分母、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：
（2）
21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求：
（1）若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答；
（2）设每件衬衫应降价元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出方程解答即可．
【小问1详解】
解：（元），
答：若商场每件衬衫降价元，则商场每天可盈利元；
【小问2详解】
解：设每件衬衫应降价元，
根据题意，得：，
整理，得：，
分解因式，得：，
解得：，，
要“扩大销售量，减少库存”，
应舍去，
，
答：若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元．
22. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上，
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答；
（2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：
由旋转得：，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：如图，设与交于点，
由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
解得：，
旋转角的度数为．
23. 如图，是的直径，点在上，为外一点，且，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得：，得到，推出，得到，结合，可推出，即可得证；
（2）连接，证明是等边三角形，得到，，推出，得到，，求出，，最后根据面积的和差即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
又是的半径，
直线是的切线；
【小问2详解】
解： 如图，连接，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
在中，
，
，，
，，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
（1）先求出，再利用待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，则，由，即可求解．
小问1详解】
解：把代入中，得：
，
又∵在一次函数的图象上，
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
设点的坐标为，则，
，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
．
25. 如图，是的直径，为上一点，延长到点，过点作切于点，连接，，于点，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理可得，从而可得，由切线的性质可得，推出，即可得证；
（2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
26. 如图，是的切线，A为切点，是的弦，过O作于点H．若，，．求：
（1）的半径；
（2）值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理、求余弦等相关知识点，熟练掌握切线的性质是关键．
（1）根据切线的性质可得到直角三角形，再根据勾股定理即可算出的半径；
（2）根据勾股定理可求出弦的长度，根据余弦的定义即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵是的切线，A为切点
∴
∴在中，根据勾股定理可得：
即半径为；
【小问2详解】
解：∵过点作于点，
∴在中，根据勾股定理可得：
∴．
27. 在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标．
【答案】（1）
（2），周长的最小值
（3）或
【解析】
【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解；
（3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标．
【小问1详解】
解：由题意得
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：过点作轴于，交直线于，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，
故的最大值，；
如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，
周长为
【小问3详解】
解：，，
，，
，
，
设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，
原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，
，
经过，
，
整理得：，
解得：，，
，
联立，
解得：或，
，
①当在直线的上方，
如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
②当在直线的下方，
如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，
由①同理可求：，
，
同理可求直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
解得：，，
当时，
，
不合题意舍去，
当时，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
综上所述：点的坐标为或．