2025年甘肃省武威市凉州区武威十七中、十二中九年级中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年甘肃省武威市凉州区武威十七中、十二中九年级中考一模数学试题（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列天气符号中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A ．
2. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，求出和的值，直接代入要求的式子即可得出答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
故选：B．
3. 如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知，
对称轴位于轴的右侧，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，
故错误；
②对称轴为直线，得，故正确；
③抛物线与x轴交于点，
，即，
故③错误；
④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，
，
设二次函数关系式为，
抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为，
当时，，
抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点故④正确；
综上所述，正确的结论为：②
故选B．
4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则面积为（ ）
A. 8B. 16C. 24D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理．根据题意易证明是等边三角形，则由等边三角形的性质可得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
作垂足为点，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：D．
5. 如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故选：C．
6. 从四个数，，，中任取两个不同的数相乘，则乘积等于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的概率计算，用列表法或画树状图列出所有情况是解题关键．
列举出所有情况，看所求的情况占所有情况的多少即可求解．
【详解】解：画树状图得：
共有种可能得结果，任取两个不同的数相乘，乘积为的有6种，
乘积为的概率是．
故选：D．
7. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积等于9，
∴，
∵轴，轴，又点D坐标是，
∴点A坐标是，点B坐标是，
∵点D、点B在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
8. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过D作于M，

∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过G作于H，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
9. 如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可．
【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，
则它的体积是，
故选：B．
二、填空题
11. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可．
【详解】解：是方程的一个解，
，
，
，
故答案：12．
12. 已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
解得，，
，
当时，，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变换－旋转．根据旋转的性质，画出图形，数形结合即可解答．
【详解】解：如图，，
点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是，
故答案为：．
14. 如图，是的直径，若，则______．

【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，则_________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意可以得到和相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得的面积，从而可求得四边形的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
16. 如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，先证明得，，再在中利用正切的定义得到，设，，则，，，接着证明得到，然后在中利用正切的定义得到，解得，然后在中利用勾股定理可计算出．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵在中，，
设，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
在中，，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理定理，平行线的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建是解题的关键．
17. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是由三视图还原几何图形，求解圆锥的全面积；利用全面积公式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：该图形是边长即底面半径为2，母线长为4的圆锥，轴截面如图，
∴圆锥的全面积为：；
故答案为：
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、B在x轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标，根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
∴，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，得，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）将绕原点O旋转得到，画出；
（2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
（3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（2，－4）
【解析】
【分析】本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
（1）根据中心对称规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，借助中点坐标公式解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为
画图如下：
【小问2详解】
解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下：
．
则即为所求．
【小问3详解】
解：根据旋转作图，得，，
根据中点坐标公式，得，
同理可得，，它们的中点的坐标也为．
．
20. （1）解方程：
（2）计算：
（3）化简求值：，其中
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，三角函数值的混合运算，分式的化简求值；
（1）把方程化为，再利用配方法解方程即可；
（2）先计算乘方，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可；
（3）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
；
（3）
；
当时，
原式；
21. 中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
【答案】每辆汽车的售价应定为24万元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确找到题中的等量关系是解题的关键．
设每辆汽车售价降低万元，则多买辆，根据题意列出方程，解答分析即可．
【详解】解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆，
由题意得：，
化简得：，
解得：，，
要尽可能给顾客更多优惠，
取，
，
∴每辆汽车的售价应定为24万元．
22. 如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明是等边三角形，即可得到结论；
（2）过点作于点，则，由（1）可知，，求出，得到，由旋转的性质得到， ，求出，则，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
【小问2详解】
过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是关键．
23. 如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，则长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，进而可证得结论；
（2）利用直角三角形的性质，勾股定理即可解答．
【小问1详解】
证明：是半圆O的直径，
，
，
，
是半圆O的切线；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，反比例函数的图象交直线于点和点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）过点作，垂足为，取的中点连接，，根据中位线的性质即可解答．
【小问1详解】
解：设的解析式为，
将，代入得，
∴，
解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为，取的中点连接，
设，
∵，，
∴，，
，
∴点的纵坐标为
将代入，
可得，
解得，
∴点的横坐标为，
∵点，在反比例函数（）的图象上，
∴，
解得，（舍），
∴．
25. 如图，在和中，的延长线经过点C，且，

（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽；
（2）由相似三角形的性质得，而，，，则
【小问1详解】
证明：
，
，，
，
，
∽；
【小问2详解】
解：∵，
，
，，，
，
的长是
26. 如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：；
（2）若的直径为6，，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质以及对顶角相等，即可解答；
（2）求得，然后证明，利用相似三角形的性质可得的长，从而可得解答．
【小问1详解】
证明：是切线，点为切点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
可得（负值舍去）．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键．
27. 如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据题意画出图形，分类讨论是关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式的顶点式得出顶点D的坐标即可；
（2）先求出点C的坐标，再利待定系数法求出线的解析式，设，则，得出，即可求解；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况讨论：当点P在点B的下方，由得，由待定系数法求出直线的解析式，即可求解；当点P在点B的上方，如图，交于点E，设，由得，由两点间的距离公式得关于n的方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：把，代入，
得，
解得，
∴，
∴顶点D的坐标为；
【小问2详解】
解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，取最大值，
此时，
∴；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
分以下两种情况：
当点P在点B的下方，如图，
∵，
∴，
∴可设直线的解析式为，将代入得，，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
∴令，则，
∴；
当点P在点B的上方，如图，交于点E，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得或，
令，则，
∴；
综上所述，抛物线上存在一点P，使得，P点的坐标为或．