2025年甘肃省酒泉市九年级中考一模数学试卷（解析版）-A4

这是一份2025年甘肃省酒泉市九年级中考一模数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解决本题的关键．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：根据倒数的定义得的倒数为，
故选：B．
2. 2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会，下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂除法、同底数幂相乘、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂除法、同底数幂相乘、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． ，该该选项错误，不符合题意；
B． ，该该选项错误，不符合题意；
C． ，该该选项正确，符合题意；
D． ，该该选项错误，不符合题意．
故选C．
5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可．
【详解】解：如图，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴，
∵水面和杯底互相平行，
，
．
故选：B．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C. 了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键．
利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可．
【详解】解：A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故该选项错误，不符合题意；
B．“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故该选项错误，不符合题意；
C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故该选项错误，不符合题意；
D．由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
7. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数．
详解】解：∵，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，解分式方程、一元二次方程、以及一元一次方程，理解“和美点”的定义是解题关键．根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，再求出个选项中的“和美点”即可．
【详解】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，
A、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意；
B、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意；
C、，则，此时无解，即函数不存在“和美点”，符合题意；
D、，解得：，，即点和点为函数的“和美点”，不符合题意；
故选：C．
9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，
故选：．
10. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可．
【详解】解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动
由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm
∴cm
由菱形性质得：c m，⊥
同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm
∴cm
∴cm
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】根据题意得：αβ=﹣1．
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程得定义及根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，即，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
14. 如图，矩形对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴该矩形的面积是；
故答案为：．
15. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可．
【详解】解：当时，即
解得，（舍去）
∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒．
故答案为：2．
16. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为________．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查已知弧长求圆心角的度数，设点转过的度数为，根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：设点转过的度数为，由题意，得：，
∴；
∴点转过的度数为，
故答案为：90．
三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤）
17 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．先计算二次根式的乘法、负整数指数幂、绝对值，再加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为，0，1．
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是，
整数解为，0，1．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
当时，原式．
20. 如图，四边形是矩形，连接．
（1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可；
（2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
21. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解．
（1）晓玲选择机器人技术的概率是______；
（2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．
（1）利用概率公式计算即可．
（2）不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【小问1详解】
解：共4种等可能结果，其中1种符合题意，
∴晓玲选择机器人技术的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种，
（晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）．
22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为．
（1）求点到的距离的长；
（2）设建筑物的高度为（单位：）：
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）：
②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
（2）①；②建筑物的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数测高方法是解决问题的关键．
（1）根据题意得到，利用含的直角三角形性质计算即可得到答案；
（2）①根据题意，在和解直角三角形，数形结合，由代值求解即可得到答案；②过点作，垂足为，如图所示，利用矩形判定与性质，在中，解直角三角形求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意知，
在，，，
∴，即的长为；
【小问2详解】
解：①在中，，
∴，
在中，由，，，得，
∴，即的长为；
②过点作，垂足为，如图所示：
根据题意，，
∴四边形是矩形，
∴，，可得，
在中，，，
∴，即，
∴，
答：建筑物的高度约为．
四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤）
23. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
【答案】（1）40，见解析
（2）
（3）225人
【解析】
【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图；
（2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解；
（3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解．
此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意．
小问1详解】
这次随机抽取的学生总人数：（人），
“电视观看”的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
B“手机观看”所占圆心角，
故答案为：；
【小问3详解】
这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人），
答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】该题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求得的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标．
【小问1详解】
解：把点代入得，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴，即反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：直线与轴交于点，则点的坐标分别为：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
（负值已舍去），
把代入得，，
．
25. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等：
（1）如图所示，连接，根据等边对等角结合三角形外角的性质证明，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理可得；
（2）设的半径为，则，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵水平地面切于点B，
∴，即，
∴，即；
【小问2详解】
解：设的半径为，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的直径为．
26. 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）正方形边长为15
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出；
（2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可．
（3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图2，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图2，连接，，，
正方形中，，，
，
又，
，
，
由（2）知，
，
是的中垂线，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，即，
，即正方形的边长为15．
（3），
理由如下：过点作交于点，如图3，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
由勾股定理，得，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，此时
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解；
（2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可；
（3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
设直线的关系式为，
将，代入，
得，
解得：，
∴直线的关系式为，
如图，过点作轴于点，交于点，
由题设点的坐标为，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，
此时，
则最大值为，此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
作点关于直线的对称点，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，
此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，
如图，过点作轴，交直线于点，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
设直线的表达式为，
把代入，得，
∴，
∴直线的表达式为，
则点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，