2025年甘肃省武威市凉州区西营镇中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年甘肃省武威市凉州区西营镇中考一模数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分，每小题3分）
1. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故选：．
2. 将抛物线沿x轴向右平移3个单位得到一条新抛物线，若点均在新抛物线上，则a与b的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 与m的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为，根据抛物线的增减性解答即可．
本题考查了抛物线的平移，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远，函数值越小，对称轴直线，
∵，
∴．即．
故选：C．
3. 如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键．
过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为；
则第4次旋转结束时，点(的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
则第2022次旋转结束时，点的坐标为．
故选：C．
4. 如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质．
先根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此即可得出答案．
【详解】解：连接，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
又，
．
故选：．
5. 从，1中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象交x轴于负半轴的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．根据列表法或树状图求出概率即可．
【详解】解：画树状图：
共有种等可能的结果数，其中时一次函数的图象交x轴于负半轴共有种等可能的结果数，
故．
故选A．
6. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则k的值为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得k的值．
【详解】解：一次函数的图象过点，
，
将代入中，
得：，
故选：A
7. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，
根据黄金分割的性质得，再代入计算即可.
【详解】解：∵点E是的黄金分割点，
∴.
∵，
∴.
故选：B.
8. 在扇形中，的长为，，则扇形的半径为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题涉及扇形弧长公式，通过已知的弧长和圆心角，利用弧长公式来求解半径．
将已知条件代入弧长公式，然后通过计算得出半径的值．
【详解】解：由题意得：，
，
故答案为：8．
9. 如图，在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．先求出，在上取点，使得，得到，利用三角形外角的性质得到，证明是等腰直角三角形，设，求出，则，然后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：在上取点，使得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）
A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二的个数，从而算出总的个数．
【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个．
故选：C．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11. 若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可．
【详解】解：把方程得，
解得
故答案：
12. 一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的顶点式．
根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴该二次函数的表达式可以为，
又∵开口向下，
∴，
可取，此时函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）
13. 如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键．
【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形是求解的关键．根据为直径，得出，根据，得出，，根据勾股定理求出，由切线得出，证明，证明，根据等积法求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，过点A作轴于点B，连接，若的面积为4，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于A、C两点，
∴，
由反比例函数中的几何意义得：，
∴，
，
∵，
．
故答案为：．
16. 如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则的面积与的面积之比为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，得到，得出，得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
17. 如图，是等边三角形，点D是三角形内一点，满足，连接，，，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，解直角三角形的应用以及垂线段最短的基本事实，以为边在的右侧作等边，连接，结合等边可证，进而可证得，过点A作于点F，利用三角函数还可求得，再根据与的大小关系可得即，进而求得答案．
【详解】解：如图，以为边在右侧作等边，连接，
∵和为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点B、D、E在同一直线上，
∵，
∴，即，
在与中，

∴，
∴，
∴，
过点A作于点F，
在中，，
则，
当点D不与点F重合时，，则，
当点D与点F重合时，，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
18. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5，
∴这个几何体的表面积是，
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，先画的高，再将线段绕点D逆时针旋转，画对应线段；
（2）在图2中，先画的角平分线，再将线段绕点F旋转，画对应线段（点G与点A对应）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）取格点T，连接交于点D，线段即为的高．取格点J，构造等腰直角三角形，交于点E，线段即为所求；
（2）取格点T，作射线交于点F，线段即为所求．取格点K，J，连接交射线于点H（可以证明），取格点M，N，连接交的延长线于点G（，由，推出），连接，线段即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，线段，即为所求；
【小问2详解】
解：如图2中，线段即为所求．
．
20. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组．
（1）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可；
（2）分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
21. 随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的30万人增加到2024年的万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的30万人增加到2024年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为．
22. 如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

（1）求证：；
（2）若时，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由即可证明；
（2）证明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，可知，，，
∴，
即，
∴．
【小问2详解】
解：∵在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴在中，．
23. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点
（1）求证：与相切；
（2）当时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论；
（2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
24. 新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
【答案】（1）
（2）摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率．
【小问1详解】
解：∵，，
∴当抽中时，由能判断，①符合题意；
当抽中时，由能判断，②符合题意；
当抽中时，由不能判断，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种
能证明概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：补全树状图，如图，
∵，
∴当抽中①，②，不能判断；
当抽中①，③，能判断；
当抽中①，④，能判断；
当抽中②，①，不能判断；
当抽中②，③，能判断；
当抽中②，④，能判断；
当抽中③，①，能判断；
当抽中③，②，能判断；
当抽中③，④，不能判断；
当抽中④，①，能判断；
当抽中④，②，能判断；
当抽中④，③，不能判断；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）当时，求函数值y的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值；
求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【小问1详解】
解：，
，，
∴，
，
点A的坐标为，
把代入，得；
【小问2详解】
解：∵当时，，
又反比例函数在时，y随x的增大而减小，
当时，y的取值范围为
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，解决此题的关键是要熟练掌握反比例函数的图象性质．
26. 如图，内接于，为的直径，点为劣弧的中点，连接、，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得：，根据切线的定义，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，，根据圆周角定理可得：，根据等角的余角相等可得：，根据对顶角相等可得：，根据等角对等边可证结论成立；
连接，因为，所以，由可知，因为是的直径，可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例，可得：，从而可求的长度．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
为的切线，
，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接，
，
，
，
为的直径，
，
，，
，
，
即，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是根据圆的一些性质找边和角之间的关系．
27. 综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点P的坐标为；
（3）存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
【小问3详解】
存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，