3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆副标题：北师大版九年级数学下册配图：左侧为 “切线判定定理” 示意图（直线 l 垂直于⊙O 半径 OA 外端 A，标注 l 是⊙O 切线），右侧为 “三角形内切圆” 示意图（⊙I 内切于△ABC，标注圆心 I、切点 D、E、F 及半径 r）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：掌握切线的两种判定方法（距离法、垂直法），理解三角形内切圆、内心的定义与性质，熟记内心是三角形三条角平分线的交点，能计算简单三角形的内切圆半径。能力目标：能运用切线判定定理证明直线是圆的切线，通过内心性质解决 “角度计算”“半径求解” 等问题，提升几何推理与综合分析能力。素养目标：体会 “判定与性质” 的逻辑对应，感受内切圆与三角形的位置关联，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。第 3 页：回顾衔接・切线的性质与判定的关联知识回顾：上节课切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径（已知 “是切线”，推 “垂直关系”）；直线与圆相切的数量关系：圆心到直线的距离 d = 半径 r（可用于判断位置关系）。思考引入：反过来，若 “圆心到直线的距离 d=r”，能否判定直线是圆的切线？若 “直线垂直于圆的半径，且垂足在圆上”，能否判定直线是圆的切线？第 4 页：核心模块 1・切线的判定定理1. 判定方法一：距离法（从位置关系逆推）判定依据：若圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，则这条直线是圆的切线。符号语言：设⊙O 半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，若 d=r，则 l 是⊙O 的切线。应用场景：已知或可计算 “圆心到直线的距离” 时，优先用此方法。例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以 C 为圆心、r=4.8 为半径画圆，求证：AB 是⊙C 的切线。证明：过 C 作 CD⊥AB 于 D，计算 CD 的长（即圆心 C 到 AB 的距离 d）；由勾股定理得 AB=10，由面积公式得 S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×CD→CD=(6×8)/10=4.8；∵ CD=r=4.8，即 d=r，∴ AB 是⊙C 的切线。2. 判定方法二：垂直法（切线判定定理）定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。关键词解析：“经过半径外端”：直线与半径的垂足在圆上（排除 “垂足在圆内” 的情况）；“垂直于这条半径”：直线与半径的夹角为 90°。符号语言：如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l 经过 A 点（OA 外端），且 l⊥OA，则 l 是⊙O 的切线。证明（反证法）：假设 l 不是⊙O 的切线，则 l 与⊙O 有两个交点或无交点；若有两个交点，A 为其中一点，OA=r，过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OPr，也与 OP=OA=r 矛盾；故假设不成立，l 是⊙O 的切线。例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过 C 作 CD⊥AB 于 D，延长 CD 至 E，使 DE=CD，求证：BE 是⊙O 的切线。证明：连接 OB、OC，∵ OA=OB，CD=DE，∴ OD 是△ABE 的中位线（三角形中位线定理）；∴ OD∥BE，又∵ CD⊥AB，即 OD⊥CE，∴ BE⊥CE；∵ OC=OB（半径），CD=DE，∴ △OCD≌△OED（SSS），∴ ∠OED=∠OCD=90°；即 BE⊥OE，且 OE 是半径（E 在⊙O 上），∴ BE 是⊙O 的切线。3. 判定方法总结判定方法适用场景关键步骤距离法已知或可求圆心到直线的距离 d1. 计算 d；2. 比较 d 与 r；3. 若 d=r，判定为切线垂直法已知直线过圆上一点（可连接半径）1. 连接过该点的半径；2. 证明直线与半径垂直；3. 判定为切线第 5 页：核心模块 2・三角形的内切圆与内心1. 定义三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。作图步骤（以△ABC 为例）：作∠A、∠B 的角平分线，交于点 I（内心）；过 I 作 ID⊥AB 于 D（ID 为内切圆半径 r）；以 I 为圆心、ID 为半径画圆，即为△ABC 的内切圆（与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F）。2. 内心的性质内心是三角形三条角平分线的交点；内心到三角形三条边的距离相等（均等于内切圆半径 r）；内心一定在三角形内部（与外心位置不同，外心可能在外部）。3. 内切圆半径的计算（面积法）公式推导：设△ABC 的三边为 a、b、c，内切圆半径为 r，面积为 S，则：S = S△IAB + S△IBC + S△IAC = (1/2) cr + (1/2) ar + (1/2) br = (1/2)(a+b+c) r；故 r = 2S/(a+b+c)（a+b+c 为三角形周长）。例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，求其内切圆半径 r。解答：计算面积 S=(1/2)×3×4=6；周长 a+b+c=3+4+5=12；由公式得 r=2×6/12=1。第 6 页：典例精讲・综合应用例题 4：切线判定与内心结合如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，连接 IE、IF，∠A=60°，求证：四边形 AEDI 是矩形？（修正：应为 “四边形 IFCE 是正方形”，需调整条件）调整例题：如图，△ABC 中，∠C=90°，内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，求证：四边形 IFCE 是正方形。证明：∵ ⊙I 切 AC 于 F，切 BC 于 E，∴ IF⊥AC，IE⊥BC（切线性质定理）；∵ ∠C=90°，∴ 四边形 IFCE 是矩形（有三个直角）；∵ IF=IE（内心到三边距离相等，均为半径 r），∴ 矩形 IFCE 是正方形。例题 5：内切圆半径与角度计算如图，△ABC 的内切圆⊙I 与三边切于 D、E、F，∠BIC=120°，求∠A 的度数。解答步骤：∵ I 是内心，∴ IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB（内心性质）；∴ ∠IBC=(1/2)∠ABC，∠ICB=(1/2)∠ACB；在△BIC 中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(1/2)(∠ABC+∠ACB)=120°；∴ (1/2)(∠ABC+∠ACB)=60°→∠ABC+∠ACB=120°；在△ABC 中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°。第 7 页：易错警示与避坑指南常见易错点：切线判定定理条件缺失：仅证明 “直线垂直于半径”，忽略 “经过半径外端”（如直线垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）；混淆 “内心” 与 “外心”：误将内心（角平分线交点）当作外心（垂直平分线交点），或误记内心到顶点的距离为半径（内心到边的距离为半径）；内切圆半径公式误用：将 “r=2S/(a+b+c)” 记为 “r=S/(a+b+c)”，忽略系数 2。避坑技巧：用垂直法判定切线时，在步骤中明确标注 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件，缺一不可；用 “位置 + 距离” 区分内心与外心：内心在三角形内部，到边的距离相等；外心位置不确定，到顶点的距离相等；推导内切圆半径公式时，结合 “三个小三角形面积之和等于大三角形面积”，强化对公式系数 2 的记忆。第 8 页：课堂练习・分层巩固基础题：（1）在△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，AB=13，其内切圆半径 r=。（答案：2，提示：r=2S/(a+b+c)=2×30/30=2）（2）如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于 A，则 l 是⊙O 的，依据是______。（答案：切线，切线判定定理）中档题：如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E，且 DE⊥BC，求证：AB=BC。（提示：连接 OD，证 OD∥BC，OD=OB=AB/2，得 BC=AB）提升题：如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若 AB=5，BC=6，AC=7，求 AD 的长。（答案：3，提示：设 AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，列方程组 x+y=5，y+z=6，x+z=7，解得 x=3）第 9 页：课堂小结与作业布置小结：切线判定：两种方法（距离法 d=r，垂直法 “过半径外端且垂直半径”），需根据已知条件灵活选择；三角形内切圆与内心：内心是角平分线交点，到三边距离相等（为半径 r），半径公式 r=2S/(a+b+c)；核心关联：切线的判定与性质是 “互逆” 关系，内心与外心分别对应 “角平分线” 和 “垂直平分线” 的交点。作业：基础作业：教材习题 3.6 第 4、5、6 题（切线判定证明、内切圆半径计算）；拓展作业：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其内切圆半径 r 及内心到 A 点的距离（答案：r=3，距离 = 5）；实践作业：用尺规作图法作出一个锐角三角形的内切圆，测量并验证 “内心到三边距离相等”。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，（1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？圆的切线的判定llllll直线 l 与 ⊙O 先 ，再 ，最后又 .r相切相交相切（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ldllr图1图2图3rr当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理几何语言：∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A，∴BC 为⊙O 的切线.例1 判断：(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) ×××利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件： (1) 直线经过半径的外端； (2) 直线与这半径垂直.总结缺一不可已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.总结证明切线的方法 ： (1) 定义法(交点个数)；(2) 数量关系法(证明 d = r)；(3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB.求证：直线 AB 是⊙O 的切线.证明：连接 OC (如图).∵ OA = OB，CA = CB，∴ AB ⊥ OC.∴ OC 是⊙O 的半径.∴ AB 是⊙O 的切线.例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙O 的切线．证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，∴ DE = DB.∴ AC 是⊙O 的切线.有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ).方法总结常见证切线作辅助线的方法：思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同.三角形的内切圆及内心探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？最大化利用里圆面积最大里圆与三边相切如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I.与三角形三边都相切三个内角的平分线的交点圆心到三边距离都相等I例4 已知：△ABC.求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.作法：1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 与三角形三边都相切ID这样的圆可以作出几个? 为什么?∵直线 BM 和 CN 只有一个交点 I，并且点 I 到△ABC 三边的距离相等.∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个.1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形.例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°， 求 ∠BOC 的度数.解：∵∠A = 70°∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°∵⊙O 是 △ABC 的内切圆∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB) =180°- ×110° = 125°.（ √ ）1. 判断下列命题是否正确.(1) 经过半径外端的直线是圆的切线.(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线 是圆的切线.(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （×）（×）（√ ）（√ ）（ √ ）（ √ ）2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)A．40° B．55°C．65° D．70°解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°. ∵D、E、F 为⊙O 的切点，∴∠OEA＝∠OFA＝90°. ∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA －∠OFA ＝110°.∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.B3.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.连接 ODOD∥AC∠ODF = ∠AED = 90°AD 平分∠CAB ∠ODA =∠OAD = ∠DAC 证明：连接 OD.∵AD 平分∠CAB，OA = OD，∴∠ODA =∠OAD =∠DAC.∴ OD∥AC.又∵ DE⊥AC ，∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线. 返回C1.下列直线中，一定是圆的切线的是(　　)A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．与圆心的距离等于半径的直线D．经过圆的直径一端的直线 返回2.D如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是(　　)A．OA2＋PA2＝OP2 　　B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° 　　D．OP＝2OA 返回3.60如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝______°时，AC与⊙O相切.4.(4分)如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰好使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切. 返回证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD.又∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切． 返回5.B已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点 返回6.D如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，D为⊙O与BC的切点，∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是(　　)A．40° B．50° C．60° D．70° 返回7.115°[教材P93“习题3.8”第2题变式]如图，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC的度数是________. 返回8.15如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心．若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为________. 返回9.解：面积最大的圆即为△ABC的内切圆，分别作∠ACB，∠ABC的平分线，交点为点O，过点O作BC的垂线，垂足为点E.以点O为圆心，以OE为半径作⊙O.⊙O就是所求作的圆．图略．(4分)[教材P92“例2”变式]如图，有一块三角形材料(△ABC)，请在这块材料上作一个面积最大的圆. 返回10.C如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判定CE是半圆O的切线的是(　　)A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECFC．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60°切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d = r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.三角形内切圆有关概念内心概念及性质必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！