3.4.2圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：3.4.2 圆周角和直径的关系及圆内接四边形副标题：北师大版九年级数学下册配图：左侧为 “直径与直角圆周角” 示意图（AB 为直径，∠ACB=90°），右侧为 “圆内接四边形” 示意图（ABCD 内接于⊙O，标注对角∠A 与∠C、∠B 与∠D）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：熟练掌握 “直径所对的圆周角是直角” 及其逆定理的应用，理解圆内接四边形的定义与 “对角互补” 性质，明确圆内接四边形与圆周角的关联。能力目标：能运用 “直径与直角圆周角” 的关系解决几何证明与计算，通过圆内接四边形性质推导角的数量关系，提升逻辑推理与几何综合分析能力。素养目标：体会 “特殊与一般”“转化与化归” 的数学思想，感受圆内接四边形在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。第 3 页：回顾衔接・直径与圆周角的核心关系知识回顾：上节课推论：直径所对的圆周角是直角（如图，AB 为⊙O 直径，C 为圆上一点，则∠ACB=90°）；逆定理：90° 的圆周角所对的弦是直径（若∠ACB=90° 且 C 在⊙O 上，则 AB 为⊙O 直径）。思考引入：若用直角三角板的直角顶点在圆上，两直角边与圆相交，斜边是否一定为圆的直径？四个顶点都在圆上的四边形（如圆形钟面上的四个刻度点组成的四边形），其内角有什么特殊关系？第 4 页：模块一・直径与圆周角关系的深化应用1. 逆定理的几何证明例题 1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，求证：A、B、C 三点在以 AB 为直径的圆上（即 “直角三角形的三个顶点共圆，斜边为直径”）。证明：取 AB 的中点 O，连接 OC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）；∵ ∠ACB=90°，∴ OC=OA=OB=AB/2；∴ 点 A、B、C 到点 O 的距离均等于 AB/2，故三点在以 O 为圆心、AB 为直径的圆上。结论：所有直角三角形的三个顶点都共圆，且斜边为外接圆的直径（直角三角形的外接圆性质）。2. 综合计算（结合勾股定理）例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为圆上两点，∠ACD=45°，AB=8，求 AD 的长。解答步骤：∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）；∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=45°（同弧所对圆周角相等）；△ADB 为等腰直角三角形，AD=AB/√2=8/√2=4√2。思路提炼：遇直径优先构造直角，结合 “同弧圆周角相等” 转化角度，再用特殊三角形性质（如等腰直角三角形）或勾股定理计算边长。第 5 页：模块二・圆内接四边形的定义与性质1. 定义圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。（示例：矩形、正方形的四个顶点共圆，外接圆以对角线为直径；等腰梯形的四个顶点也共圆）反例：平行四边形（非矩形）的四个顶点不共圆（因对角相等但不互补，无法满足圆内接四边形性质）。2. 性质探究（动手操作 + 推理）操作：在⊙O 上取四个点 A、B、C、D，连接形成四边形 ABCD，测量∠A 与∠C、∠B 与∠D 的度数。观察：∠A + ∠C≈180°，∠B + ∠D≈180°（对角之和为 180°）。证明（圆内接四边形对角互补）：连接 OA、OC（半径）；∠A 是圆周角，所对的弧为⌒BCD，故∠A=1/2⌒BCD 的度数；∠C 是圆周角，所对的弧为⌒BAD，故∠C=1/2⌒BAD 的度数；∵ ⌒BCD + ⌒BAD=⊙O 的周长（360°），∴ ∠A + ∠C=1/2 (360°)=180°；同理可证∠B + ∠D=180°。性质总结：圆内接四边形的对角互补（即对角之和为 180°）。3. 推论（外角性质）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DCE 是外角，则∠DCE=∠A）。证明：∠DCE + ∠BCD=180°（平角定义）；∠A + ∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补）；∴ ∠DCE=∠A。第 6 页：模块三・圆内接四边形性质的应用1. 角度计算例题 3：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=110°，∠B=80°，求∠C 和∠D 的度数。解答：由对角互补得：∠C=180°-∠A=180°-110°=70°；∠D=180°-∠B=180°-80°=100°。2. 几何证明例题 4：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，若∠CBE=50°，求证：∠ADC=50°。证明：∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的外角，∠ADC 是∠CBE 的内对角；由外角性质得：∠CBE=∠ADC；∵ ∠CBE=50°，∴ ∠ADC=50°。3. 实际场景（测量角度）例题 5：如图，为测量圆形零件上 A、B 两点的夹角，工人师傅在圆上取点 C、D，组成四边形 ABCD，测得∠A=105°，∠B=75°，∠C=60°，求∠D 的度数，并判断 AB 是否为直径（提示：若 AB 为直径，∠ADB=90°）。解答：∠D=180°-∠B=180°-75°=105°；若 AB 为直径，则∠ADB=90°，但题目未提及 D 的位置，需补充条件（如∠ADB=90°）方可判断；仅从现有角度无法直接确定 AB 为直径。第 7 页：综合应用・跨模块融合题例题 6：如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=130°，求∠ABD 的度数。解答步骤：∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）；四边形 ABCD 内接于⊙O，∴ ∠A + ∠BCD=180°（对角互补），故∠A=180°-130°=50°；在 Rt△ABD 中，∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°。思路提炼：本题融合 “直径与直角圆周角” 和 “圆内接四边形对角互补”，需先通过四边形性质求∠A，再利用直角三角形内角和求目标角，体现知识的综合关联。第 8 页：易错警示与避坑指南常见易错点：误用直径与圆周角关系：忽略 “圆周角的顶点在圆上”，如误将圆内任意直角的斜边当作直径（需强调顶点在圆上）；混淆圆内接四边形的 “对角” 与 “邻角”：误认为邻角互补（实际是对角互补，邻角不一定互补）；外角性质记错：将 “外角等于内对角” 记为 “外角等于邻角”（内对角是指与外角不相邻的对角）。避坑技巧：应用直径与圆周角关系时，先标注 “圆周角的顶点是否在圆上”，避免条件缺失；分析圆内接四边形时，用 “对角标序号”（如∠1 与∠3、∠2 与∠4 为对角），直观区分对角与邻角；遇到外角问题，先延长边明确外角位置，再找对应的内对角（不相邻的对角）。第 9 页：课堂练习・分层巩固基础题：（1）直角三角形的斜边为 10cm，则其外接圆的半径为______cm。（答案：5）（2）四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=85°，则∠C=°，若∠B=100°，则∠D=°。（答案：95，80）中档题：如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，∠ABC=30°，AC=4，求 AB 的长。（答案：8）提升题：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AD 至 E，若∠CDE=120°，∠B=70°，求∠A 和∠C 的度数。（答案：∠C=60°，∠A=110°）第 10 页：课堂小结与作业布置小结：直径与圆周角：核心是 “直径对直角，直角对直径”，直角三角形外接圆以斜边为直径；圆内接四边形：定义为 “四点共圆”，性质是 “对角互补”，推论是 “外角等于内对角”；综合应用：需明确 “直径→直角”“四边形→对角互补” 的转化路径，结合圆周角定理关联知识。作业：基础作业：教材习题 3.4 第 4、5、6 题（直径与圆周角计算、圆内接四边形角度求解）；拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠AOC=100°，求∠D 的度数（答案：130°）；实践作业：用圆形纸片剪出一个圆内接四边形，测量四个内角的度数，验证 “对角互补” 性质，并记录测量结果。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题 1 什么是圆周角？ 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.问题 2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .一半直径所对应的圆周角如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°.证明：∵BC 为直径， ∴∠BOC＝180°，如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？解：弦 BC 是直径.连接 OC、OB，注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.∴ BC 是⊙O 的一条直径.∴ B、O、C 三点在同一直线上.∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.∵圆周角∠A＝90°，∵ BC 为直径， ∴∠BAC = 90°.几何语句：∵∠BAC = 90°，∴ BC 为直径 .几何语句：推论 直径所对的圆周角是直角.推论 90° 的圆周角所对的弦是直径.AB 为直径 ∠ADB = 90°1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.∠ACD = 25°∠B = 25°∠BAD= 90°-∠B= 65°解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴∠ADB = 90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，∴∠B = 25°.∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°解析：∵BD 是 ⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选 C.C(1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？圆内接四边形及其性质解：∠BAD 与∠BCD 互补.∴∠BAD 与∠BCD 互补.∴∠BAD +∠BCD = 180°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，∵AC 为直径，∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立.∴∠BAD 与∠BCD 互补.∴∠BAD +∠BCD = 180°.∵∠1 +∠2 = 360°，12四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.推论 圆内接四边形的对角互补.根据以上讨论你能发现什么结论？几何语句：∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）.CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112°C基础练习1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数.解：连接 BC.∵AB 是 ⊙O 直径，∴∠ACB = 90°.∴∠B = ∠D = 26°.∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.3. (肥城)如图，四边形 ABCD 内接⊙O ，∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( )A. 4 B. C. D.2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°，求∠BAC 的度数 ( )A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°CB4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论.能力提升解：△BDE 为等腰直角三角形.证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，∠DBE =∠DBC +∠CBE，∴ ∠BED =∠DBE.∴ BD = ED.∵ AB 为直径，∴ ∠ADB = 90°.∴ △BDE 是等腰直角三角形. 返回C1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为(　　)A．80° B．60° C．50° D．40° 返回2.A如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　)A．30° B．45° C．60° D．90° 返回3.B[教材P83“随堂练习”第2题变式]用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的是(　　) 返回4.A如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　)A．65° B．55° C．50° D．75°5.解：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径．由圆周角定理，得∠ABC＝∠ADC＝30°，∵AC＝5，∴AB＝2AC＝10.即⊙O的直径长为10.(8分)如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，AC＝5.(1)求⊙O的直径长； 返回6.C如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数为(　　)A．50° B．80° C．100° D．160° 返回7.D[教材P82“想一想”变式]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点E是AB延长线上一点，若∠CBE＝65°，则∠ADC的度数为(　　)A．115° B．130° C．50° D．65° 返回8.C如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)A．50° B．100° C．130° D．150° 返回9.60°[2024滨州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D的度数是________. 返回10.D[2025西安高新一中一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC的度数是(　　)A．28° B．56° C．46° D．26° 返回11.圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！