3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：3.4.1 圆周角和圆心角的关系副标题：北师大版九年级数学下册配图：左侧为同弧所对的圆心角与圆周角示意图（标注∠AOB 为圆心角，∠ACB 为圆周角，弧 AB 为公共弧），右侧为生活中的圆周角场景（如自行车轮辐条形成的角）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：理解圆周角与圆心角的定义，掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）及推论，明确两类角的区别与联系。能力目标：能在圆的图形中识别圆周角与圆心角，通过定理证明培养逻辑推理能力，运用定理解决 “角度计算”“弧相等判定” 等问题，提升几何分析能力。素养目标：体会 “从特殊到一般” 的定理推导思想，感受几何图形中角与弧的对应关系，培养严谨的数学思维与数形结合意识。第 3 页：情境导入・认识圆周角与圆心角复习旧知：圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角（如⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径，∠AOB 为圆心角，它所对的弧为⌒AB）。圆心角性质：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。生活观察（配图）：站在圆形广场边缘 A、B 两点，观察中心雕塑 O，形成的∠AOB 是圆心角；站在广场边缘 C 点，观察 A、B 两点，形成的∠ACB，顶点 C 在圆上，两边 CA、CB 与圆相交，这类角是什么角？引出概念：像∠ACB 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。第 4 页：核心概念・圆周角与圆心角的定义1. 定义对比（结合图示）角的类型顶点位置两边特征示例（⊙O 中）圆心角圆心两边均为半径（与圆相交）∠AOB（顶点 O 在圆心，OA、OB 为半径）圆周角圆上两边均与圆相交（不一定是半径）∠ACB（顶点 C 在圆上，CA、CB 与圆交于 A、B）2. 概念辨析（判断下列角是否为圆周角）图 1：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边在圆内→不是（两边需均与圆相交）；图 2：顶点在圆内，两边与圆相交→不是（顶点需在圆上）；图 3：顶点在圆上，两边均与圆相交→是（符合圆周角定义）；图 4：顶点在圆上，一边为半径，另一边与圆相交→是（两边均与圆相交，满足定义）。3. 关键提醒圆周角的 “顶点在圆上” 和 “两边与圆相交” 两个条件缺一不可；圆心角是圆周角的特殊情况吗？不是，两者顶点位置不同，圆心角顶点在圆心，圆周角在圆上。第 5 页：探究活动・圆周角与圆心角的数量关系1. 猜想提出（特殊情况）情境 1：圆周角的一边经过圆心（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，OC 为半径，CB 为弦，∠AOB 为圆心角，均对⌒AB）。分析：OA=OC（半径），故△AOC 为等腰三角形，∠OAC=∠OCA；∠AOB 是△AOC 的外角，故∠AOB=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，即∠ACB=1/2∠AOB。猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2. 定理证明（分三种情况）情况 1：圆心在圆周角的一边上（如上情境 1），已证∠ACB=1/2∠AOB；情况 2：圆心在圆周角的内部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 内部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；故∠ACB=∠ACD+∠BCD=1/2 (∠AOD+∠BOD)=1/2∠AOB；情况 3：圆心在圆周角的外部（如图，⊙O 中，∠ACB 为圆周角，圆心 O 在∠ACB 外部，连接 CO 并延长交⊙O 于 D）：由情况 1 得：∠ACD=1/2∠AOD，∠BCD=1/2∠BOD；故∠ACB=∠ACD-∠BCD=1/2 (∠AOD-∠BOD)=1/2∠AOB；3. 圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。符号语言：在⊙O 中，若∠ACB 是圆周角，∠AOB 是圆心角，且两者都对⌒AB，则∠ACB=1/2∠AOB。延伸：同弧或等弧所对的圆周角相等（因它们都等于同圆心角的一半）。第 6 页：定理推论・拓展应用1. 推论 1（直径所对的圆周角）直径所对的圆周角是直角。推导：直径所对的圆心角为 180°（平角），故圆周角 = 1/2×180°=90°；符号语言：在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 为圆周角（对⌒AB），则∠ACB=90°；逆用：90° 的圆周角所对的弦是直径（若圆周角为 90°，则它所对的圆心角为 180°，弦为直径）。2. 推论 2（同圆或等圆中）若两个圆周角相等，则它们所对的弧相等；若两个圆周角所对的弦相等，则它们所对的弧相等（需结合圆的对称性）。第 7 页：典例精讲・定理应用（角度计算）例题 1：基础计算如图，⊙O 中，⌒AB 所对的圆心角∠AOB=100°，求⌒AB 所对的圆周角∠ACB 的度数。解答：由圆周角定理，∠ACB=1/2∠AOB=1/2×100°=50°。思路提炼：直接应用 “同弧所对的圆周角 = 圆心角的一半”，明确角所对的弧是关键。例题 2：结合直径的计算如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，∠ACD=30°，求∠BAD 的度数。解答步骤：∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；∠ACD 与∠ABD 所对的弧均为⌒AD，故∠ACD=∠ABD=30°（同弧所对的圆周角相等）；在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-30°=60°。思路提炼：先利用直径得直角，再通过 “同弧圆周角相等” 转化角度，结合直角三角形内角和求解。第 8 页：典例精讲・定理应用（证明与实际场景）例题 3：证明弧相等如图，在⊙O 中，AB=AC，求证：⌒AB=⌒AC。解答步骤：连接 OB、OC（半径），则 OB=OC（同圆半径相等）；∵ AB=AC，OA=OA，∴ △OAB≌△OAC（SSS）；∴ ∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）；或用圆周角：取圆上一点 D，连接 AD、BD、CD，∵ AB=AC，∴ ∠ADB=∠ADC（同弦所对的圆周角相等），故⌒AB=⌒AC。思路提炼：证明弧相等可转化为证明所对的圆心角或圆周角相等，结合全等或等腰三角形性质。例题 4：实际场景（测直径）如图，用测角仪在点 C 测得圆形工件上 A、B 两点的夹角∠ACB=90°，若 AC=6cm，BC=8cm，求圆形工件的直径 AB 的长。解答：∵ ∠ACB=90°，且 A、B、C 在圆上，∴ AB 是圆的直径（90° 圆周角所对的弦是直径）；在 Rt△ABC 中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm。思路提炼：利用 “90° 圆周角对直径” 的逆用，将实际测角问题转化为直角三角形计算。第 9 页：易错警示与避坑指南常见易错点：混淆 “所对的弧”：误将不同弧所对的圆周角与圆心角套用定理（如∠ACB 对⌒AB，∠AOB 对⌒AB，才能用定理）；忽略 “同圆或等圆” 条件：在不同圆中，即使圆心角相等，圆周角也不一定相等（因半径不同，弧长不同）；逆用推论错误：误将 “直径所对的角是直角” 记为 “直角所对的弦是直径”，需强调 “直角是圆周角”。避坑技巧：解题时先标注角所对的弧，确保圆周角与圆心角对应同一条弧；遇到直径相关问题，优先联想到 “90° 圆周角”，遇到 90° 圆周角，优先联想到 “直径”；不同圆中比较角的大小，需先判断是否为同弧或等弧。第 10 页：课堂练习・分层巩固基础题：（1）⊙O 中，圆心角∠AOB=120°，则⌒AB 所对的圆周角为______°。（答案：60）（2）如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=30°，则∠ABC=______°。（答案：60）中档题：如图，⊙O 中，⌒AB=⌒CD，∠AOB=50°，求∠COD 和∠CED 的度数（E 为圆上一点）。（答案：∠COD=50°，∠CED=25°）提升题：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=100°，求∠C 的度数（提示：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理，答案：80°）。第 11 页：课堂小结与作业布置小结：核心定理：同弧或等弧所对的圆周角 = 圆心角的一半，本质是 “角与弧的对应关系”；关键推论：直径对直角，直角对直径；同圆中，等圆周角对等弧；应用技巧：计算时找 “同弧的圆心角与圆周角”，证明时转化 “弧相等→角相等” 或 “角相等→弧相等”。作业：基础作业：教材习题 3.4 第 1、2、3 题（角度计算与证明）；拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD=30°，若 AB=10，求 CD 的长（答案：5）；实践作业：观察生活中的圆形物体（如井盖、圆桌），尝试用 “直径对直角” 的原理测量其直径。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角， 如∠BOC.A 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角（ ∠ABC ）有关.问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 顶点在☉O上，角的两边分别与 ☉O 相交.圆周角的定义（两个条件必须同时具备，缺一不可）顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.例如：∠ACB.·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.顶点 A 不在圆上顶点 A 不在圆上边 AC 没有和圆相交√√√圆周角定理及其推论当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？如图，∠AOB = 80°.提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？圆心 O 在∠C 的内部圆心 O 在∠C 的一边上圆心 O 在∠C 的外部(2) 这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系?猜想：改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？圆心 O 在∠C 的内部圆心 O 在∠C 的一边上圆心 O 在∠C 的外部证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)∴ ∠AOB = 2∠C，∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C.∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，∴ ∠AOB = ∠A +∠C.圆心 O 在∠C 的内部圆心 O 在∠C 的外部试一试：你能完成另两种情况的证明吗？情况二：圆心 O 在∠C 的内部提示：能否转化为前一种已证明的情况?过点 C 作直径 CD. 由已证可得：情况三：圆心 O 在∠C 的外部提示：能否也转化为第一种已证明的情况?过点 C 作直径 CD. 由已证可得:圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？● O所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC . 根据圆周角定理，● O推论：同弧所对的圆周角相等.1. 如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.(1) ∠BOC = °，理由是 ;(2) ∠BDC= °，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.∴∠ACB = ∠AOB = 25°.同理∠BAC = ∠BOC = 35°. 1. 判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）√××2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则 ∠AOB = ．166°3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = .50°4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 .解：连接 OA、OB.∵∠C = 30° ，∴∠AOB = 60°又∵OA = OB ，∴△AOB 是等边三角形.∴OA = OB = AB = 2，即半径为 2.2 返回C1.下图中，∠α为圆周角的是(　　) 返回2.∠BAC∠D和∠C 返回3.B[2025重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　)A．40° B．50° C．80° D．100° 返回4.B如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC的度数为(　　)A．60° B．75° C．80° D．90° 返回5.C[教材P104“复习题”第5题变式]如图，点A，B，C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB＝52°，则∠OAC的度数为(　　)A．52° B．45° C．26° D．20° 返回6.B如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　　)A．28° B．34°C．56° D．62° 返回7.5如图，⊙O的直径是10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝30°，则BC＝________. 返回8.D[教材P80“随堂练习”第2题变式]如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　)A．∠B B．∠CC．∠DEB D．∠D 返回9.28° 返回10.55[2024北京中考]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝________°.11.(4分)如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝47°，求∠ADB的度数. 返回圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等.1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！