2.3 确定二次函数的表达式 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：2.3 确定二次函数的表达式副标题：北师大版九年级数学下册配图：展示三种表达式形式（一般式、顶点式、交点式）对应的抛物线示意图，标注关键条件（如顶点、与 x 轴交点、任意三点）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：掌握根据 “已知顶点与一点”“已知与 x 轴交点及一点”“已知任意三点” 三种条件，分别选择顶点式、交点式、一般式求二次函数表达式的方法。能力目标：能根据题目给出的条件，灵活选择最优表达式形式，提升代数运算与问题分析能力，熟练求解二次函数解析式。素养目标：体会 “数形结合” 与 “方程思想” 在求函数表达式中的应用，培养逻辑推理与灵活应变能力，为二次函数的综合应用奠定基础。第 3 页：回顾衔接・二次函数的三种表达式形式三种核心表达式：一般式：y = ax² + bx + c（a≠0），适用于已知函数图象上任意三点的情况（需列三元一次方程组求解 a、b、c）。顶点式：y = a (x - h)² + k（a≠0），适用于已知函数顶点坐标 (h,k) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。交点式（两根式）：y = a (x - x₁)(x - x₂)（a≠0），适用于已知函数图象与 x 轴两个交点坐标 (x₁,0)、(x₂,0) 及任意一点的情况（仅需求一个未知量 a）。思考：已知二次函数的顶点为 (2,3)，且过点 (1,5)，应选择哪种表达式求解析式更简便？若已知函数过 (0,2)、(1,3)、(2,6) 三点，又该选哪种形式？第 4 页：类型一・已知顶点与一点，用顶点式求表达式适用条件：明确给出顶点坐标 (h,k)，且已知图象上另一个任意点的坐标。解题步骤：设二次函数的顶点式为 y = a (x - h)² + k（将已知顶点 (h,k) 代入，表达式中仅 a 为未知量）；将已知的另一个点的坐标 (x₀,y₀) 代入顶点式，得到关于 a 的一元一次方程；解方程求出 a 的值；将 a 的值代入顶点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式）。例题：已知二次函数的顶点为 (1,-2)，且图象过点 (3,2)，求该函数的表达式。解答：设顶点式为 y = a (x - 1)² - 2（h=1，k=-2）；代入 (3,2)：2 = a (3 - 1)² - 2 → 2 = 4a - 2；解方程：4a = 4 → a=1；表达式为 y = (x - 1)² - 2，整理为一般式：y = x² - 2x - 1。小结：顶点式需先定 “顶点”，再用 “一点” 求 a，计算量最小，优先选择。第 5 页：类型二・已知与 x 轴交点及一点，用交点式求表达式适用条件：明确给出函数图象与 x 轴的两个交点坐标 (x₁,0)、(x₂,0)，且已知图象上另一个任意点的坐标。解题步骤：设二次函数的交点式为 y = a (x - x₁)(x - x₂)（将已知交点 x₁、x₂代入，表达式中仅 a 为未知量）；将已知的另一个点的坐标 (x₀,y₀) 代入交点式，得到关于 a 的一元一次方程；解方程求出 a 的值；将 a 的值代入交点式，整理为最简形式（可根据需求化为一般式或顶点式）。例题：已知二次函数的图象与 x 轴交于 (2,0) 和 (4,0)，且过点 (1,3)，求该函数的表达式。解答：设交点式为 y = a (x - 2)(x - 4)（x₁=2，x₂=4）；代入 (1,3)：3 = a (1 - 2)(1 - 4) → 3 = a (-1)(-3) → 3 = 3a；解方程：a=1；表达式为 y = (x - 2)(x - 4)，整理为一般式：y = x² - 6x + 8。注意：若交点坐标为 (-m,0)，则交点式中写为 (x + m)（如交点 (-1,0)，对应 (x + 1)）。第 6 页：类型三・已知任意三点，用一般式求表达式适用条件：已知函数图象上三个不共线的任意点的坐标（无顶点、无交点信息）。解题步骤：设二次函数的一般式为 y = ax² + bx + c（a≠0）；将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组；解三元一次方程组，求出 a、b、c 的值；将 a、b、c 的值代入一般式，得到函数表达式。例题：已知二次函数的图象过 (0,1)、(1,2)、(2,5) 三点，求该函数的表达式。解答：设一般式为 y = ax² + bx + c；代入三点得方程组：当 x=0，y=1：c=1；当 x=1，y=2：a + b + c = 2；当 x=2，y=5：4a + 2b + c = 5；解方程组：由 c=1，代入第二个方程：a + b = 1；代入第三个方程：4a + 2b = 4 → 2a + b = 2；联立：2a + b - (a + b) = 2 - 1 → a=1，代入 a + b=1 得 b=0；表达式为 y = x² + 1。小结：一般式需解三元方程组，计算量较大，仅在无顶点、无交点信息时使用。第 7 页：典例精讲・灵活选择表达式形式例题 1：条件含顶点与交点已知二次函数的顶点为 (3,4)，且图象与 x 轴交于 (1,0)，求该函数的表达式。分析：已知顶点，优先选顶点式。解答：设顶点式为 y = a (x - 3)² + 4；代入 (1,0)：0 = a (1 - 3)² + 4 → 0 = 4a + 4 → a=-1；表达式为 y = -(x - 3)² + 4，整理为一般式：y = -x² + 6x - 5。例题 2：条件模糊，需先推导关键信息已知二次函数的图象过点 (2,0)，且对称轴为 x=1，过点 (3,5)，求该函数的表达式。分析：对称轴 x=1，可推导顶点横坐标 h=1，选顶点式；或由对称轴 x=1 及交点 (2,0)，推导另一个交点为 (0,0)（对称点），选交点式。解答（顶点式）：设顶点式为 y = a (x - 1)² + k；代入 (2,0)：0 = a (2 - 1)² + k → a + k = 0；代入 (3,5)：5 = a (3 - 1)² + k → 4a + k = 5；联立解得：a=5/3，k=-5/3；表达式为 y = (5/3)(x - 1)² - 5/3，整理为一般式：y = (5/3) x² - (10/3) x。第 8 页：方法总结・表达式选择口诀与注意事项选择口诀：有顶点，选顶点（已知顶点或可求顶点，优先用顶点式）；有交点，选交点（已知与 x 轴两个交点，用交点式）；三点乱，选一般（已知任意三点，无特殊信息，用一般式）。注意事项：无论选择哪种形式，最后需根据题目要求判断是否需要化为一般式（若无要求，保留所选形式即可）；用交点式时，需注意交点坐标的符号（如交点 (-2,0) 对应 (x + 2)，而非 (x - 2)）；解方程组时，可先利用特殊点（如与 y 轴交点，x=0 时 y=c）简化计算，减少运算量。第 9 页：课堂练习・分层提升基础题：（1）已知二次函数顶点为 (0,-3)，且过点 (1,2)，求表达式（答案：y = 5x² - 3）。（2）已知二次函数与 x 轴交于 (3,0) 和 (-1,0)，且过点 (0,-3)，求表达式（答案：y = x² - 2x - 3）。中档题：已知二次函数过 (1,1)、(2,4)、(3,9) 三点，求表达式（提示：观察三点特征，可简化计算，答案：y = x²）。提升题：已知二次函数的图象过点 (1,3)，且当 x=2 时，y 取得最大值 5，求该函数的表达式（答案：y = -2 (x - 2)² + 5 或 y = -2x² + 8x - 3）。第 10 页：课堂小结与作业布置小结：三种表达式的适用条件：顶点式（顶点 + 一点）、交点式（两交点 + 一点）、一般式（任意三点）。核心解题思路：设表达式→代入已知点→解方程（组）→求参数→写解析式。关键技巧：根据条件灵活选形式，利用特殊点简化计算。作业：基础作业：教材习题 2.3 第 1、2、4 题（分别用三种形式求表达式）。拓展作业：已知二次函数的图象与 x 轴交于 A (-2,0)、B (4,0)，且过点 C (1,-9)，分别用交点式和一般式求表达式，并比较两种方法的优劣。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： .  2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法(1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入(3) 解：方程(组)(4) 还原：写出解析式2 个待定系数，需要 2 个点坐标1 个待定系数，需要 1 个点坐标想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？二次函数 y＝ax2＋bx y＝ax2 y＝ax2＋c y＝ax2＋bx＋cy = a(x - h)2 + k顶点坐标 + 另一点坐标两个点坐标两个点坐标一个点坐标三个点坐标一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗?顶点法求二次函数的表达式分析：观察图象，已知顶点坐标为(4，3)，则设抛物线为顶点式 y = a(x - h)2 + k .再在图象找一点坐标(10，0).1.设：表达式2.代：坐标代入3.解：方程4.还原：写出表达式解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (4，3) 代入 y = a(x - h)2 + k 得y = a(x - 4)2 + 3，再把点 (10，0) 代入上式得 a(10 - 4)2 + 3 = 0，  1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.∴所求的二次函数的表达式是∴　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2，3)和 (－1，－3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)， 3 = 4a + c，－3 = a + c，∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5.a = 2，c=－5.解得{{特殊条件的二次函数的表达式　　2. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，解得∴ y = -x2 - 6x.{{a = -1，b = -6.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，求这个二次函数的表达式.解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1.∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)，∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1.在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x - h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗?一般式法求二次函数的表达式例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 1.设：一般式2.代：坐标代入3.解：方程(组)解： 设这个二次函数的表达式是y = ax2 + bx + c，把 (－1，10)，(1，4)，(2，7) 代入y = ax2 + bx + c 得∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 .∴所求二次函数表达式为 4.还原：写出解析式小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系.1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表.求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 解：设所求二次函数的解析式为 y = at2 + bt + c.将 (0，0 )，(2，19)，(4，36) 三点代入解析式中，得注意：取点取整数点.求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ x2 + 2x - 3 = 0 (x - 1)(x + 3) = 0x1 = 1，x2 = -3 y = x2 + 2x - 3 y = (x - 1)(x + 3) 交点法求二次函数的表达式 y = ax2 + bx + c (a≠0) y = a(x - x1)(x - x2)交点式图象与 x 轴的两个交点例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 分析：(-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的交点.1.设：交点式设这个抛物线表达式为 y = a(x + 3)(x + 1).2.代：坐标代入再把点 (0，-3) 代入上式得∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，3.解：方程(组)解得 a = -1.4.还原：写出表达式∴ 二次函数的表达式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2.解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2，∴ 图象经过另一点 (3，0).故可设该二次函数的表达式为 y = a(x − 1)(x − 3).将点 (0，−3)代入，得−3 = a(0 − 1)(0 − 3)，∴ 该二次函数的表达式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3.知识点5(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(0，1)，C(2，1) 两点纵坐标相同，为 1，∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于(0，0)，(2，0) 两点的二次函数y = a(x-0)(x-2)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-0)(x-2)+1.1.设：解析式设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1.2.代：坐标代入再把点 (1，2) 代入上式得∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，3.解：方程(组)解得 a = -1.4.还原：写出解析式∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1， 即 y = -x2 + 3x + 1.还有其他的方法吗？ 将 A(0，1)代入解析式中，得解得 a = -1.顶点式方法∴ 二次函数的解析式是 y = -x2 + 3x + 1.ABC设抛物线为 y = a(x - 1)2 + 21 = a(0 - 1)2 + 2则顶点为 B(1，2).1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 分析：y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. .2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .y = -2(x-1)2+6 返回C1.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标是(1，0)，那么二次函数的表达式为(　　)A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 返回2.B[教材P43“随堂练习”第2题变式]已知二次函数y＝ax2＋bx＋1，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝4，则a，b的值分别为(　　)A．1，2 B．1，－2C．－1，2 D．－1，－2 返回3.－1已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表，则m的值为________.4.(0，1)(1)点C的坐标为______，点D的坐标为______；(3，3)(2)求抛物线的函数表达式. 返回 返回5.y＝3x2 返回6.y＝－3(x－1)2＋3已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为________________. 返回7.D与抛物线y＝2x2＋5形状相同、开口方向相反，且顶点坐标为(－1，2)的抛物线是(　　)A．y＝－2(x＋1)2－2 B．y＝－2(x－1)2＋2C．y＝2(x＋1)2＋2 D．y＝－2(x＋1)2＋2 返回8.解：由题意可得，二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，所以设该二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－2，将点(1，10)的坐标代入表达式，得4a－2＝10，解得a＝3，所以该二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2＝3x2＋6x＋1.(4分)已知二次函数的图象经过点(1，10)，且当x＝－1时，y有最小值－2，求该二次函数的表达式. 返回9.2已知抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1，且经过点C(2，8)，则可设该抛物线的函数表达式为y＝a(x＋______)(x－______)，将点C(2，8)的坐标代入，得方程______________，解得a＝____，故该抛物线的函数表达式为____________.14a＝82y＝2x2＋2x－410.(4分)如图，已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，且OB∶OC∶OA＝3∶2∶1.求抛物线的函数表达式和BC的长. 返回合适的函数解析式坐标代入写出解析式解含参方程组②已知三点坐标①已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与 x轴的两个交点已知条件选择适当的方法用一般式法：y = ax2+bx+c用顶点法：y = a(x - h)2 +k用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标)待定系数法求二次函数解析式④已知抛物线上纵坐标相同的两点顶点法或交点法平移纵坐标必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！