1.6 利用三角函数测高 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：1.6 利用三角函数测高副标题：北师大版九年级数学下册配图：学生使用测角仪测量旗杆高度的场景示意图（标注关键测量点与工具）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握利用三角函数测高的核心原理，了解常见测高工具的使用方法。能力目标：能设计并实施利用三角函数测高的实践方案，提升动手操作、数据处理与问题解决能力。素养目标：体会数学与现实生活的紧密联系，培养严谨的科学态度与团队协作精神，渗透数学建模与转化思想。第 3 页：原理回顾・核心依据基础模型：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若已知观测点到物体底部的水平距离（邻边 BC）和观测物体顶部的仰角（∠B），可通过tanB = 对边 AC / 邻边 BC，推导得出物体高度AC=BC×tanB。特殊情况补充：若测量时包含测角仪高度（如测角仪支架高度 h），则物体总高度 = AC+h。若无法直接测量水平距离，可通过两次观测（不同位置测仰角）构建方程组求解。图示：标注 “水平距离、仰角、测角仪高度、物体高度” 的直角三角形模型图。第 4 页：测高工具・认识与使用核心工具及用途：测角仪：测量观测目标的仰角（或俯角），由量角器、瞄准器、支架组成（配图展示结构）。卷尺（或测距仪）：测量观测点到物体底部的水平距离，或测角仪支架高度（标注量程与精度）。标杆：辅助确定水平基准线（如在观测点与物体间立标杆，校准水平距离测量）。工具使用注意事项：测角仪需调至水平（观察支架气泡水平仪），避免角度测量偏差。卷尺测量时需拉直，防止因弯曲导致距离读数偏大。第 5 页：方案设计・单观测点测高（基础版）适用场景：物体底部可到达（如旗杆、路灯杆，能直接测量观测点到物体底部的水平距离）。测量步骤：确定观测点：在物体（如旗杆）正前方选择平坦地面作为观测点 O，确保 O 与物体底部 B 在同一直线上且无遮挡。测水平距离：用卷尺测量观测点 O 到物体底部 B 的水平距离 OB，记录数据（如 OB=15m）。测仰角：将测角仪架在观测点 O，瞄准物体顶部 A，读取仰角∠AOB，记录数据（如∠AOB=30°）。测仪器高度：用卷尺测量测角仪支架底部到地面的高度 h（即观测点高度），记录数据（如 h=1.2m）。计算过程：先求物体顶部到测角仪瞄准线的垂直高度 AB₁：AB₁=OB×tan∠AOB=15×tan30°≈8.66m。再求物体总高度 AB：AB=AB₁+h≈8.66+1.2=9.86m（保留两位小数）。数据记录表格：| 测量项目 | 数据记录 | 单位 ||----------------|----------|------|| 水平距离 OB | 15 | m || 仰角∠AOB | 30 | ° || 测角仪高度 h | 1.2 | m || 物体总高度 AB | 9.86 | m |第 6 页：方案设计・双观测点测高（进阶版）适用场景：物体底部不可到达（如河流对岸的树木、高楼底部有障碍物，无法直接测量水平距离）。测量步骤：确定观测线：在物体（如对岸树木 CD）一侧选择两点 A、B，使 A、B、D（物体底部）在同一直线上，测量 AB 的距离（如 AB=20m）。测第一次仰角：在 A 点架测角仪，瞄准物体顶部 C，测得仰角∠CAE=45°（E 为 A 点正上方与 C 平齐的点），记录数据。测第二次仰角：在 B 点架测角仪（保持测角仪高度与 A 点一致，均为 h=1.5m），瞄准物体顶部 C，测得仰角∠CBF=30°（F 为 B 点正上方与 C 平齐的点），记录数据。计算过程：设 CE=CF=x（物体顶部到测角仪瞄准线的垂直高度），AD=y（A 点到物体底部 D 的水平距离），则 BD=AB+AD=20+y。在 Rt△ACE 中，tan45°=x/y → x=y（因 tan45°=1）。在 Rt△BCF 中，tan30°=x/(20+y) → x=√3/3 (20+y)。联立方程：y=√3/3 (20+y)，解得 y=10 (√3+1)≈27.32m，x≈27.32m。物体总高度 CD=x+h≈27.32+1.5=28.82m。图示：标注 A、B 观测点，CE、CF 垂直高度，AD、BD 水平距离的示意图。第 7 页：实践操作・小组任务与分工任务主题：测量学校操场旗杆（或教学楼外墙某一竖直高度）的高度。小组分工（4 人一组）：操作员 1：负责架设与调试测角仪，测量仰角并记录。操作员 2：使用卷尺测量水平距离、测角仪高度，确保数据准确。记录员：填写数据表格，核对测量数据，避免记录错误。计算员：根据测量数据，运用三角函数公式计算物体高度，验证结果合理性。操作注意事项：测量过程中保持场地安全，避免在斜坡、障碍物附近操作。同一测量项目至少重复 2 次，取平均值作为最终数据，减少误差。第 8 页：误差分析・原因与改进常见误差来源：工具误差：测角仪刻度不精确、卷尺拉伸变形，导致角度或距离读数偏差。操作误差：测角仪未调平、瞄准目标时视线偏移，或卷尺测量时未保持水平。环境误差：大风天气导致测角仪晃动，或阳光直射影响视线瞄准，造成观测误差。改进措施：选择精度较高的测量工具（如电子测角仪、激光测距仪），替代传统工具。增加测量次数（如同一项目测量 3 次），通过求平均值降低偶然误差。选择无风、光线适宜的天气进行实践操作，减少环境因素干扰。第 9 页：拓展应用・生活中的测高场景场景 1：建筑施工：工程师利用三角函数测量建筑物高度，核对施工进度是否符合设计图纸。场景 2：林业调查：工作人员测量树木高度，估算木材蓄积量或评估树木生长状况。场景 3：户外探险：探险者通过测量悬崖高度，规划攀爬路线或选择安全下降方式。思考问题：除了三角函数，还有哪些方法可以测量物体高度？（如影子法、相似三角形法，可简要对比不同方法的适用场景）第 10 页：课堂小结与作业布置小结：两种测高方案：单观测点（底部可到达）、双观测点（底部不可到达）的核心步骤。测高原理：基于直角三角形边角关系，利用正切函数建立高度与水平距离、仰角的关联。实践要点：工具正确使用、数据准确记录、误差合理分析。作业：基础作业：完成教材习题 1.6 第 1、3 题，巩固测高公式的应用。实践作业：回家后选择家中或小区内的物体（如阳台护栏高度、树木高度），使用简易工具（如量角器、直尺）测量并计算高度，撰写 1 份简短的测高报告（包含测量步骤、数据、计算过程）。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法测出它们的高度吗？ 通过这节课的学习，相信你就行.活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：测倾器(或经纬仪、测角仪)、皮尺等测量工具.测量倾斜角测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.度盘铅锤支杆问题1：如何测量倾斜角？问题2：如何使用测倾器？1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0° 刻线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置.2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.MPQα仰角根据测量数据，你能求出目标 M 的仰角或俯角吗？说说你的理由.测量底部可以到达的物体的高度问题3：如何测量底部可以到达的旗杆的高度？ 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图 CE 的长度.AαCEla1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α ； 2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ；3. 量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN 的高度.问题4：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？MN = ME + EN = l·tanα + a例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是 5m，大门距主楼的距离是 30 m，在大门处测得主楼顶部的仰角是 30°，而当时侧倾器离地面 1.4 m，求学校主楼的高度(精确到 0.01m).解：如图，作 EM 垂直 CD 于 M 点，根据题意，可知∠DEM = 30°，BC = EM = 30 m， CM = BE = 1.4 m. 在 Rt△DEM 中，DM = EM tan30° ≈ 30×0.577 = 17.32 (m)，CD = DM + CM = 17.32+1.4 ≈ 18.72 (m). ∴学校主楼的高度约为 18.72 m 测量底部不可以到达的物体的高度问题 1：在黄浦江的另一端，你能测量东方明珠的高度呢？ 在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中 α 和 β ），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.CDMNEαβ问题 2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α.AαCE2. 在测点 A 与物体之间 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β.BDβ3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.ab根据测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？CD = AB = CE－DE = =b∴MN = + a ∴ME = 30° 45° 60 m解：由表格中数据，得α = 30° ，β = 45°，答：大楼高度为 .(1) 到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高.(2) 如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离? 利用三角函数测高测倾器的认识及使用测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）利用解三角形的知识，求出物体的高度1.如图所示，在离上海东方明珠塔 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角 ∠BAC为 25° (在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为 1.7 m.求上海东方明珠塔的高 BD.（结果精确到 1m .）解：如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m，答：上海东方明珠塔的高度 BD 为 468m.从而 BC = 1000×tan25°≈ 466.3 (m).因此，上海东方明珠塔的高度 BD = 466.3+1.7 ≈ 468 (m).2.如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高为 1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到 1 m)解：如图，设 AB′ = x m.由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m.∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ， 返回30°1.[教材P22“活动一”变式]测量倾斜角可以用测倾器．简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成，测量时，使支杆OM的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合(如图①)，转动度盘，使观测目标P与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝________. 返回2.C某数学小组看到一棵古树，该数学小组想测量这棵古树的高度．如图，在点C处测得这棵古树的顶端A的仰角为62°，测得BC＝10 m，则该树的高AB为(　　) 返回3.81 返回4.B如图，为了测量塔AD(塔的底部不可到达)的高度，站在B处看塔顶A的仰角为60°，然后向后走80 m(BC＝80 m)，到达C处，此时看塔顶A的仰角为30°，则该塔AD的高度是(　　)5.(4分)[2024陕西中考]如图，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得点C的仰角∠CBE＝45°，AB＝10 m．求山顶点C处的海拔高度．(小明身高忽略不计，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90) 返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！