1.5 三角函数的应用 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：1.5 三角函数的应用副标题：北师大版九年级数学下册配图：包含仰角、俯角、坡角的生活场景示意图（如高楼测量、山坡修路）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：理解仰角、俯角、坡角、坡度的概念，掌握三角函数在实际测量、工程问题中的应用方法。能力目标：能将实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量，提升数学建模与运算能力。素养目标：感受数学与生活的紧密联系，培养应用数学解决实际问题的意识，渗透转化与数形结合思想。第 3 页：概念辨析・关键术语核心概念（结合图示讲解）：仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角（如测量树顶、山顶）。俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角（如从楼顶看地面标志物）。坡角：斜坡与水平面的夹角（用 α 表示）。坡度（坡比）：斜坡的垂直高度与水平宽度的比（i=h/l=tanα，通常写成 1:m 的形式）。易错提醒：仰角与俯角均为视线与水平线的夹角，而非与铅垂线的夹角。第 4 页：情境导入・问题初探生活问题：小明站在距离大楼底部 20m 的平地上，用测角仪测得大楼顶部的仰角为 60°，已知测角仪高度为 1.5m，求大楼的高度（结果保留根号）。思考引导：如何将该问题转化为直角三角形问题？已知条件（20m、60°、1.5m）分别对应直角三角形的哪些元素？过渡：带着这些问题，我们学习三角函数在实际中的具体应用。第 5 页：类型一・仰角与俯角问题（测高度 / 距离）例题：如图，为测量某山的高度 AB，在山底 C 处测得山顶 A 的仰角为 45°，沿坡度 i=1:√3 的斜坡 CD 向上走 100m 到达 D 处，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 30°，求山高 AB（结果保留根号）。解题步骤：构建模型：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，形成 Rt△CDF、Rt△ADE、Rt△ABC。求 DF 与 CF：由坡度 i=1:√3 得∠DCF=30°，DF=100×sin30°=50m，CF=100×cos30°=50√3 m。设未知数列方程：设 AE=x，在 Rt△ADE 中，DE=AE/tan30°=√3 x；在 Rt△ABC 中，AB=BC，即 x+50=√3 x + 50√3，解得 x=50，故 AB=50+50=100m。方法小结：遇仰角俯角问题，常作 “水平辅助线” 构建直角三角形，利用公共边或相等线段建立方程。第 6 页：类型二・坡角与坡度问题（工程设计）例题：某水利工程需要修建斜坡渠道，斜坡的坡度 i=1:2.4，渠道水平宽度为 12m，求斜坡的长度及坡角（精确到 0.1m、1°）。解题步骤：求垂直高度：由坡度 i=h/l=1/2.4，得 h=12×(1/2.4)=5m。求斜坡长度：斜坡长度为√(12²+5²)=13.0m。求坡角：tanα=5/12≈0.4167，α≈22.6°。方法小结：坡度是垂直高度与水平宽度的比，对应直角三角形的对边与邻边，可结合勾股定理与三角函数求解。第 7 页：类型三・方位角问题（确定位置）例题：如图，一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 30° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 60° 方向航行至 C 港，若 A 港到 B 港的距离为 20nmile，B 港到 C 港的距离为 10√3 nmile，求 A 港到 C 港的距离（结果保留根号）。解题步骤：分析方位角：由题意得∠ABC=30°+60°=90°，△ABC 为直角三角形。求 AC 长度：AC=√(AB²+BC²)=√(20²+(10√3)²)=√(400+300)=√700=10√7 nmile。方法小结：方位角问题需先根据方向描述确定三角形内角，判断是否为直角三角形，再选择合适方法求解。第 8 页：解题流程・通用模板审题意：明确已知条件（角度、长度）与所求问题，标注关键术语（仰角、坡度等）。画图形：根据题意画出示意图，构建直角三角形（若非直角三角形，通过作辅助线转化）。标元素：在图中标注已知边、角及未知量，明确直角三角形的边角对应关系。选公式：根据已知元素类型，选择勾股定理或三角函数（sin、cos、tan）列方程。算结果：代入数据计算，注意单位统一与结果精度要求（如保留根号、精确到指定位数）。验答案：检查计算过程是否正确，结果是否符合实际情境（如长度为正、角度在 0°-90° 之间）。第 9 页：易错警示与拓展延伸易错点：混淆方位角描述（如 “北偏东” 与 “东偏北”）。忽略测角仪高度、堤坝顶部宽度等实际细节，导致模型构建错误。计算时未统一单位（如米与千米、海里与公里）。拓展延伸：当实际问题涉及非直角三角形时，可通过作高将其分割为两个直角三角形，再分别求解（如测量不可到达的两点距离）。第 10 页：课堂小结与作业布置小结：三类实际问题（仰角俯角、坡角坡度、方位角）的模型构建方法。三角函数应用的核心：“转化实际问题为直角三角形问题”。解题流程：审 — 画 — 标 — 选 — 算 — 验。作业：教材习题 1.5 第 2、4、6 题（基础巩固）。实践任务：用测角仪（或自制工具）测量学校旗杆高度，记录测量数据并计算（写出完整解题过程）。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？引例 如图，海中有一个小岛 A，该岛四周 10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55° 的 B 处，往东行驶 20 n mile 后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处. 之后，货轮继续向东航行. 货轮继续航行会有触礁的危险吗？D【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.北东与方位角有关的实际问题解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，设 AD = x ， 则在 Rt△ABD 中，在 Rt△ACD 中，解得所以，这船继续向东航行是安全的.BACD 25°55°北东由 BC = BD - CD，得1. [贺州中考]如图，在 A 处的正东方向有一港口B. 某巡逻艇从 A 处沿着北偏东 60° 方向巡逻，到达 C 处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 n mile/h 的速度行驶 3 h 到达港口 B. 求 A，B 间的距离.（ ，结果精确到 0.1 n mile ）解：如图所示，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则∠ACD = 60°，∠BCD = 45°.在Rt△BCD 中，DD在Rt△ACD 中，即 A，B 间的距离约为 114.7 n mile.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 实际问题画出平面图形生活问题数学化 数学问题（作辅助线，构造直角三角形）设未知量 建立方程（构造三角函数模型）（代入数据求解） 求解方程解答问题仰角和俯角问题 如图，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处.测得仰角为 60°，那么该塔有多高?（小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m ）解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m.30°60°50 m 如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.2.[内江中考]如图，有两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB的高为 120 m，从 DA 的顶点 A 测得 CB 顶部 B 的仰角为 30°，测得其底部 C 的俯角为 45°，这两座建筑物的地面距离 DC 为多少米？（结果保留根号）E解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.则四边形 ADCE 为矩形，∴ AE = DC.设 BE = x .在Rt△ABE中，∠BAE = 30°，E利用坡角解决实际问题 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 40° 减至 35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到 0.01 m).40°35°4 m？40º35º4 m？解：如图∠ACD = 40°，∠ABD = 35°，AC = 4m.Rt△ACD 中， ∴ AD = 4sin40°. A B C 坡角铅直高度h水平宽度lα坡度或坡比3. [十堰中考]如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，AD = 3 m，坝高 AE = DF = 6 m，坡角∠α = 45°，∠β = 30°，求 BC 的长.解：∵AD∥BC，且 AE⊥BC，DF⊥BC，∴四边形 AEFD 是矩形.∴AE = DF = 6m，AD = EF = 3m.∵∠α = 45°，∠β = 30°，∴BE = AE = 6m，利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24 米，那么旗杆的高度约是 ( )B2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 等于 °． 903. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高 度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米). 20.9 米4. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？65°34°PBCA解：如图 ，在 Rt△APC 中，PC ＝ PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈ 80×0.91= 72.8在Rt△BPC 中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130.19 海里．65°34°PBCA45°30°BA200 米5. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45°，求飞机的高度 PO.P解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C. 则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．6. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).  45°30°4米12米ABCD在 Rt△BCF 中，同理可得因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）．解：作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E、F．由题意可知 DE＝CF＝4(米)，　 CD＝EF＝12(米)． 在 Rt△ADE 中， 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． 返回D1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(　　)A．35 n mileB．35cos 37° n mileC．35tan 37° n mileD．35sin 37° n mile 返回2.[教材P19”想一想 “变式]如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为____________. 返回3.82.0如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30 m，则电梯楼的高BC约为________m．4.(4分)如图，小明家在公寓楼AB中，小区中新修了高为19 m的活动中心楼CD，小明测得公寓楼与活动中心楼的距离AC为50 m，站在点M处测得活动中心楼CD的顶端D的仰角为42°，公寓楼AB的顶端B的仰角为53°，小明的观测点N距地面1 m．求公寓楼AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 返回5.[教材P20“随堂练习”第2题变式] 如图，某市在建高速路的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8 m，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________. 返回 返回6.30°8 返回7.[2025西安交大附中期中]如图，小红想利用所学知识来测量小雁塔的高度，已知测角仪和塔底A在同一水平面，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24 m到达D处，在D处测得塔顶B的仰角为40°，则小雁塔的高度约为________．(结果精确到1 m．参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 57°≈0.84，cos 57°≈0.54，tan 57°≈1.54)44 m 返回8.如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为______________m.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！