2.1 二次函数 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：2.1 二次函数副标题：北师大版九年级数学下册配图：包含抛物线（如喷泉水流、拱桥轮廓）与函数图像的示意图落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，能识别二次函数。能力目标：能根据实际问题列出二次函数表达式，提升数学建模与分析能力。素养目标：感受二次函数在生活中的广泛应用，培养抽象概括与数形结合思想。第 3 页：情境导入・生活中的二次函数情境 1：喷水问题一个喷水池的水流呈抛物线状，水流高度 h（单位：m）与水平距离 x（单位：m）的关系为 h = -x² + 2x + 1，这个关系式有什么特点？情境 2：面积问题用长为 20m 的篱笆围一个矩形菜园，设矩形的一边长为 x m，面积为 y m²，试写出 y 与 x 的关系式（y = x (10 - x) = -x² + 10x）。情境 3：利润问题某商品每件成本 10 元，售价 x 元时，每天销量为 (20 - x) 件，总利润 y 元与售价 x 的关系式为 y = (x - 10)(20 - x) = -x² + 30x - 200。思考：上述三个关系式有哪些共同特征？第 4 页：核心概念・二次函数的定义定义：一般地，形如y = ax² + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0） 的函数，叫做二次函数。关键点解读：自变量：x 是自变量，取值范围通常为全体实数（实际问题需结合题意限定）。二次项系数：a ≠ 0（若 a = 0，函数变为 y = bx + c，是一次函数或常数函数，不再是二次函数）。项的组成：二次项：ax²（次数为 2，是函数的核心项）；一次项：bx（次数为 1，b 可以为 0，此时函数为 y = ax² + c）；常数项：c（次数为 0，c 可以为 0，此时函数为 y = ax² + bx）。最简形式：当 b = 0 且 c = 0 时，二次函数可简化为 y = ax²（如 y = 2x²、y = -3x²）。第 5 页：二次函数的一般形式与辨析一般形式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0），其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项。实例辨析（判断下列函数是否为二次函数，若是，指出 a、b、c）：y = 3x² + 2x - 1→ 是二次函数，a = 3，b = 2，c = -1。y = 2x - 5→ 不是，无二次项（a = 0），是一次函数。y = x² + √2x→ 是二次函数，a = 1，b = √2，c = 0。y = -x²→ 是二次函数，a = -1，b = 0，c = 0。y = (x + 1)² - x²→ 化简为 y = 2x + 1，不是二次函数（a = 0）。总结：判断二次函数需先化简表达式，再看是否满足 “含二次项且二次项系数不为 0”。第 6 页：典例精讲・列二次函数表达式例题 1：几何图形类已知一个直角三角形的一条直角边长为 x cm，另一条直角边长比它大 2 cm，设斜边长为 y cm，试写出 y 与 x 的函数表达式（不要求化简）。解答：由勾股定理得 y² = x² + (x + 2)²，即 y = √[x² + (x + 2)²]（x > 0，因边长为正）。注意：虽含二次项，但因是无理函数，不属于二次函数，需强调二次函数的表达式为整式。例题 2：实际应用类某工厂要制作一个无盖的长方体铁盒，底面是边长为 x cm 的正方形，高为 5 cm，设铁盒的表面积为 y cm²，求 y 与 x 的函数表达式。解答：表面积 = 底面积 + 4 个侧面积，即 y = x² + 4×(x×5) = x² + 20x（x > 0）。验证：表达式为 y = x² + 20x，a = 1 ≠ 0，是二次函数。第 7 页：二次函数自变量的取值范围基本原则：解析式有意义：若函数表达式含分母，分母不为 0；含二次根式，被开方数非负（但二次函数本身是整式，仅需考虑实际意义）。实际问题有意义：结合具体情境，自变量需满足 “非负性”“合理性”（如长度、面积、数量为正）。实例分析：情境 2 中 “矩形菜园面积 y 与边长 x”：x > 0 且 10 - x > 0，即 0 < x < 10。情境 3 中 “商品利润 y 与售价 x”：x > 10（售价高于成本）且 20 - x > 0（销量为正），即 10 < x < 20。函数 y = 2x²：自变量 x 可取全体实数（无实际限制时，整式函数自变量取值为全体实数）。第 8 页：拓展延伸・二次函数与一次函数的区别对比维度二次函数（y = ax² + bx + c，a ≠ 0）一次函数（y = kx + b，k ≠ 0）自变量最高次数2 次1 次图像形状抛物线（开口向上或向下）直线（倾斜的或水平的）表达式形式含二次项（核心项），一次项、常数项可选含一次项（核心项），常数项可选取值范围影响实际问题中常有限制，解析式无额外限制实际问题中常有限制，解析式无额外限制图示：并列展示二次函数 y = x² 与一次函数 y = x 的图像，直观对比差异。第 9 页：课堂练习・巩固提升基础题：下列函数中，是二次函数的有（ ）① y = -x² + 2x；② y = 2x - 1；③ y = x² + ；④ y = (x - 1)² - x²。A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个（答案：A，仅①是）中档题：一个长方形的长是宽的 2 倍，设宽为 x，面积为 y，求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围（答案：y = 2x²，x > 0）。提升题：某小区要建一个圆形喷水池，喷水池的周长为 C，面积为 S，试写出 S 与 C 的函数表达式，并判断是否为二次函数（答案：S = C²/(4π)，是二次函数，a = 1/(4π)，b = 0，c = 0）。第 10 页：课堂小结与作业布置小结：二次函数的定义：y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0），核心是 “二次项系数不为 0”。能根据实际问题列二次函数表达式，明确自变量的取值范围（结合实际意义）。区分二次函数与一次函数的关键：自变量最高次数是否为 2。作业：教材习题 2.1 第 1、2、4 题（基础巩固）。实践任务：观察生活中与二次函数相关的场景（如投篮轨迹、吊灯曲线），尝试描述其变量关系，下节课分享。2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 不是，是反比例函数.不是，x 最高次数是二次.不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件.不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值.y = kx + b ( k≠0 )；问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 二次函数的定义(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式.果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子. y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000.对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个关系式是函数关系式吗？银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式.100(1 + x) 100(1 + x)2存款额是 100 分析：答：y = 100x2 + 200x + 100. y 是 x 的函数 (1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗?y = x(20 - x) = -x2 + 20x (2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?S = x(20 - x) = -x2 + 20x当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100.设矩形的其中一边长为 x，面积为 S.解得 x = 10.当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75.解得 x1 = 5，x2 = 15.同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征.y = -5x² + 100x + 60000y = 100x2 + 200x + 100y = -x2 + 20x二次函数的定义：a 为二次项系数，ax2 叫做二次项；b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数.同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量)①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ；④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.不是，等式右边是分式.不是，x 的最高次数是 3.y = 6x + 9(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；(2) a，b，c 为常数，且 a≠0；(3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；(4) 等式的右边自变量的最高次数为 2.判断一个函数是否为二次函数的步骤： y = x2 y = -5x² + 100x + 60000 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0)y = x(20 - x) b = 0 c = 0 b = 0，c = 0二次函数的一般形式：1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值：(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；∴ m = 1.(2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0.问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？① y = -5x² + 100x + 60000② y = 100x2 + 200x + 100 ①∵600-5x＞0，x≥0，∴0≤x＜120，且 x 为整数.② x＞0. ③∵20-x＞0，∴0＜x＜20.③y = -x2 + 20x二次函数的自变量取值范围二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1