2.2.2 二次函数y＝ax²和y＝ax²＋c的图象与性质 课件-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：2.2.2 二次函数 y＝ax² 和 y＝ax²＋c 的图象与性质副标题：北师大版九年级数学下册配图：同坐标系下 y＝2x²、y＝(1/2) x²、y＝-2x²（体现 a 的影响），及 y＝x²、y＝x²＋2、y＝x² - 3（体现 c 的影响）的抛物线示意图，标注开口大小、平移方向落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：理解二次项系数 a 的绝对值对 y＝ax² 图象开口大小的影响，掌握 y＝ax²＋c 与 y＝ax² 图象的平移关系，归纳两类函数的图象特征与性质。能力目标：通过画图、对比、分析，提升数形结合能力与规律探究能力，能根据 a 和 c 的值判断函数图象的形状、位置及性质。素养目标：感受函数图象的变换规律，培养逻辑推理与归纳总结意识，为后续学习更复杂二次函数图象奠定基础。第 3 页：回顾衔接・上节课核心内容回顾：上节课学习的 y＝x²（a=1）和 y＝-x²（a=-1）具有以下共同特征：顶点坐标均为（0，0），对称轴为 y 轴（直线 x=0）；a 的符号决定开口方向（a>0 向上，a0 时，开口向上；a0 时，x=0 时 y 取最小值 0；a0：x0 时 y 随 x 增大而增大；a0 时，向上平移 c 个单位（如 y=x²＋2 是 y=x² 向上移 2 个单位）；当 c0 为例）开口方向：向上（a>0）。开口大小：由 | a | 决定（|a | 越大，开口越小）。顶点与对称轴：顶点坐标为（0，c），对称轴为y 轴（直线 x=0）。最值：x=0 时，y 取最小值 c（a>0）；若 a0）向上a越大越小（0，0）y 轴y=ax²＋c（a>0）向上a越大越小（0，c）y 轴补充：当 a0 最小为 c，a|1/3|，故 y＝(1/3) x²＋1 开口更大；x=2 时，y=2×4＋1=9，y=(1/3)×4＋1=7/3，故 y＝2x²＋1 的函数值更大）第 10 页：课堂小结与作业布置小结：y＝ax² 的核心特征：a 的符号定开口方向，|a | 大小定开口大小，顶点（0，0），对称轴 y 轴。y＝ax²＋c 的核心特征：由 y＝ax² 上下平移 | c | 个单位得到，开口方向、大小不变，顶点变为（0，c），最值为 c。关键规律：“a 定形（方向、大小），c 定位（上下平移）”。作业：基础作业：教材习题 2.2 第 3、5 题（根据解析式分析图象特征，根据平移关系写解析式）。拓展作业：在同一坐标系中画出 y＝-2x²、y＝-2x²＋3、y＝-2x² - 1 的图象，观察并记录它们的开口方向、顶点坐标及平移关系，尝试总结当 a 0 时，y 随 x 的增大而增大.问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上，在 x 轴上方开口向下，在 x 轴下方关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0当 x = 0 时，y最小值=0当 x = 0 时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳顶点坐标是原点（0，0）3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最____点.2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点.1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 向上向下y轴y 轴(0,0)(0,0)4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低当 a > 0 时，a 的绝对值越大，开口越小.问题 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？当a 0 时,向上平移 c 个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移 -c 个单位长度得到.二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式(　　)A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 A问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0，1)(0，-1)y 轴y 轴向上(0,0)y 轴问题 抛物线 y = 2x2+1, y = 2x2-1 的增减性又如何？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.根据图象回答下列问题：(1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ；(3) 对称轴都是 ；(4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________；抛物线向下y 轴(0，1)，(0，−1)-1-2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________.(6) 函数的增减性都相同： _____________________________________________________.高大y = −1y = 1对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，对称轴右侧 y 随 x 增大而减小-1-2 y = -2x2 + 1 y = -2x2 - 1想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？二次函数 y = ax2 + c 的性质向上向下直线 x = 0直线 x = 0(0,c)当 x = 0 时，y最小值 = c当 x = 0 时，y最大值 = c当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0时，y随 x 的增大而增大.(0,c)想一想 1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？2. 抛物线 y = ax2 + c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标.对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c).例1 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大C分析： y = −x2 + 1 y = x2 − 1开口方向： 顶点：对称轴：增减性：向下向上(0，1)(0，−1)y 轴y 轴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大1. 填表：向上向上向下(0，0)(0，1)(0，-5)y 轴y 轴y 轴有最低点有最低点有最高点2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题：(1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2.(2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 .(3) 试说出抛物线 y = x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移 1 个单位.＞0= 01(0，1)(-1，0)，(1，0)开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3).3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若 -4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则 y1 与 y2 的大小关系是__________.y1＞y24. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　)方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．D 返回上1.抛物线y＝2x2的开口向______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值，是______.(0，0)y轴＜0＞00小0 返回2.B如图，杜老师在黑板上画出了二次函数y＝(2－a)x2的图象，则a的取值范围是(　　)A．a2C．a>0D．a