沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.1 直角三角形精品同步测试题

这是一份沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）22.1 直角三角形精品同步测试题，文件包含第22章直角三角形单元知识巩固卷原卷版doc、第22章直角三角形单元知识巩固卷解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．
C．4，5，6D．6，8，10
【答案】D
【解析】【解答】解：A、都不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
B、不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
C、，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
D、，则这组数是勾股数，此项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股数的概念，“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，对选项逐个判断即可．
2．以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，，C．2，3，4D．3，4，5
【答案】D
【解析】【解答】A、因为1+2=3，不满足两边之和大于第三边，所以三边组不成三角形。A错误；
B、因为 所以构不成直角三角形。B错误；
C、因为 所以构不成直角三角形。C错误；
D、因为 所以能构成直角三角形。D正确；
故答案为：D
【分析】准确应用三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。判断三边能否组成三角形，再进一步应用勾股定理逆定理判断三边能否构成直角三角形。
3．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】 ∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴的度数是，
故选：A.
【分析】根据三角形内角和求出、，再根据角平分线的性质求出，最后求出.
4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】【解答】解：由勾股定理得： ，是有理数，不是无理数；
，是无理数；
，是无理数，
即网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理分别求出三角形三边的长，再根据无理数的定义判断即可。
5．如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，再添两个条件不能够全等的是（ ）
​
A．AB=A′B′，BC=B′C′B．AC=AC′，BC=BC′
C．∠A=∠A′，BC=B′C′D．∠A=∠A′，∠B=∠B′
【答案】D
【解析】【解答】解：A选项，AB=A′B′，BC=B′C′，
可利用HL 判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
同理B选项，也可利用HL 判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
C选项∠A=∠A′，BC=B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
D选项，∠A=∠A′，∠B=∠B′，只能证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
故选D．
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．
6．如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC的边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC=6，空白部分的面积为10.5，则阴影部分面积为( )
A．10.5B．12 C．15D．17
【答案】D
【解析】【解答】解：据题意知：∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°，
∴∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠FAC=∠ABC，
∴易证△FAM≌△ABN(AAS)，
∴S△FAM=S△ABN，
∴S△ABC=S四边形FNCM，
根据勾股定理知：AC2+BC2=AB2，
∵ AC+BC=6，
∴（ AC+BC）2=AC2+BC2+2AC×BC=36，
∴AB2 +2AC×BC=36，
∴AC×BC=，
∵AB2-2S△ABC=10.5，
∴AB2 -AC×BC=10.5，
∴3AB2=57，
∴2AB2=38，
∴ 阴影部分面积为 38-2×10.5=17，
故答案为：D .
【分析】根据三角形全等得S△FAM=S△ABN，从而得S△ABC=S四边形FNCM，再根据题意得AB2-2S△ABC=10.5，从而得2AB2=38，最后利用面积差得 阴影部分面积 .
7．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADC中，已知AB=AD，AC=AC.
A、添加CB=CD后，可根据SSS判定△ABC≅△ADC，所以本选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC后，可根据SAS判定△ABC≅△ADC，所以本选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA后，不能判定△ABC≅△ADC，所以本选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°后，可根据HL判定△ABC≅△ADC，所以本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
8．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的顶端B向下移动到B′，使梯子的顶端B′ 到地面的距离为5m，同时梯子的底端A移至A′，那么AA′（ ）．
A．小于2mB．等于2m
C．大于2mD．小于或等于2m
【答案】C
【解析】【解答】解：在 ， ，
由勾股定理 ，
，
又 ，
根据勾股定理：
，
，
，
，
，
即 ，
故答案为：C．
【分析】在中分别用勾股定理即可求解。
9． 在中，的对边分别是，下列命题中的假命题是（ ）
A．若，则
B．若，则不是直角三角形
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【解析】【解答】解：A、若a2=（b+c）（b-c）=b2-c2，则b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，故原命题是真命题，此选项不符合题意；
B、虽然a2+b2≠c2，但当a2+c2=b2或b2+c2=b2的时候，△ABC是直角三角形，故原命题是假命题，此选项符合题意；
C、根据勾股定理，a∶b∶c=3∶4∶5满足勾股定理，故原命题是真命题，此选项不符合题意；
D、根据三角形内角和得出∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，故原命题是真命题，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理对A、B、C进行判断；根据三角形内角和对D进行判断即可.
10．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤B．①③④C．①③④⑤D．①③⑤
【答案】C
【解析】【解答】解： ① 由题意知：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°
∴∠O'BA=∠OBC
∴△AO'B≌△OBC（SAS）
故①正确
② 如图：连接OO'
由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°
∴△OBO'为等边三角形
∴O'O=OB=4，故②错误
③由 ① 知：△AO'B≌△OBC（SAS）
∴OC=O'A=5
由 ② 知：O'O=4，△OBO'为等边三角形
∵OA=3，∠BOO'=60°
∴AO2+O'O2=O'A2
∴∠AOO'=90°
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°
故③正确
④
∴ 四边形面积 =
故④ 正确
如图2将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'
∴△AOC≌△AO'B
∴OC=O'B=5，OA=O'A=3，∠O'AO=∠AOO'=60°
∴△O'OA是等边三角形
∴OO'=AO=3
∴
由 ③可知：
∵∠AOO'=60°
∴∠O'OB=90°
∴
∴
故 ⑤ 正确
故答案为：C.
【分析】①根据旋转性质可得：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°，可得：∠O'BA=∠OBC，因此可得：△AO'B≌△OBC（SAS）.
② 由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°，△OBO'为等边三角形.
③由 ①可证△OBO'为等边三角形.
再根据勾股定理的逆定理可得：AO2+O'O2=O'A2因此可得∠AOO'=90°，这样可证：
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°.
④根据等边三角形的面积公式可得：，再根据直角三角形的 面积公式可得：，再根据割补法可得： 四边形面积 =.
⑤ 将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'，再同 ③ 分别证明△AO'O是等边三角形，△O'OB是直角三角形，再分别求出：，
再根据割补法可得：.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若一直角三角形两边长分别为6和8，则斜边长为 .

【答案】8cm或10cm
【解析】【解答】（1）当边长为8cm的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8cm；（2）当边长为8cm的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为 cm，
故该直角三角形斜边长为8cm或10cm.
【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4cm的边是否为斜边，所以要分两种情况讨论：（1）边长为4cm的边为斜边；（2）边长为4cm的边为直角边.
12．一个直角三角形的两条直角边分别为、，则这个直角三角形斜边上的高为
【答案】cm
【解析】【解答】解：设这个直角三角形斜边上的高为，
由勾股定理得，直角三角形斜边长，
由三角形的面积公式得，，
解得，，
故答案为：cm．
【分析】先求出直角三角形斜边长，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，△ABC 的面积为24cm2，在AB 同侧分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】24
【解析】【解答】解：由勾股定理，得，则阴影部分的面积为
【分析】根据勾股定理得到 根据圆的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.
14．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．
下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①符合题意；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
同理可得，∠CPA=∠ABC，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE=2∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC，
∴∠CPA=∠CEA，
∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB；故②符合题意；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③符合题意；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④符合题意．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的性质和判定、三角形的面积公式及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可。
15．如图，在 中，∠ABC＝90°，分别以 的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为100，76．则字母a代表的正方形的面积是 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别为100，76，
∴AB2＝76，AC2＝100，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴BC2＋AB2＝AC2，
∴BC2＝ ．
故字母a代表的正方形的面积是24
故答案为24．
【分析】利用勾股定理的特点即可求解．
16．如图，四边形ABCD中，点E在CD上， 交AC于点F， ，若 ， ，则 .
【答案】7
【解析】【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠AFB=∠CAD，
∵ ，
∴△ABF≌△DCA（AAS），
∴AD=AF，AC=BF，
过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°， ，
∴DG=GC=3，
∴GF=GC-FC=3-2=1，
设AD=AF=x，则AG=x-1，
由勾股定理得32+（x-1）2=x2，
解得x=5，
∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，
故答案为：7.
【分析】根据题意易证得△ABF≌△DCA（AAS），得出AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°， ，设AD=AF=x，则AG=x-1，再利用勾股定理求得x，即可由BF=AC=AF+CF算出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
18．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？
​
【答案】解：设AE=xkm，则BE=（25﹣x）km；
由勾股定理，得
AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，
则x2+152=（25﹣x）2+102，
解得x=10，
∴E应建在距A 10km处．
【解析】【分析】设AE=xkm，则BE=（25﹣x）km．根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程求得x，即AE的长度即可．
19．如图，在中，，平分，于点．若，．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：平分，，，
．
在和中，
，
，
．
答：的长为3.
（2）解：，，
．
在中，由勾股定理，得：
，
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
的长为3．
答：的长为3.
【解析】【分析】
（1）由于角平分线上的点到角两边距离相等，再利用“HL”可得到AE等于AC；
（2）先利用勾股定理可求出BC长，再将BC的长度转化到Rt的斜边和直角边DE上，再利用勾股定理即可；由于DE＝DC，当然也可先求出BC长，再利用等面积法求出DE长，即．
（1）解：平分，，，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：，，
．
在中，由勾股定理，得：
，
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
的长为3．
20．右图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理.
【答案】解： = ，
另一方面 = ，
即 ，
∴
【解析】【分析】本题的关键是找出中间小正方形的面积的两种计算方法：一种是小正方形的边长可表示为（b-a），用正方形的面积公式计算，另一种是小正方形的面积可用大正方形的面积-4个全等的直角三角形的面积即可得证。
21．为了绿化校园．学校计划在如图所示的一块四边形的空地（图中阴影部分）上种植草皮，经测量，请求出空地的面积．
【答案】解：，
在中，有．
在中，，
．
是，且．
答：空地的面积是．
【解析】【分析】先在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AB的长度，再根据勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，然后分别求出Rt△ABD的面积和Rt△ABC的面积，再把它们相减即可。
22．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．
（1）求证：MF=ME；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
【答案】（1）证明：因为 CF⊥AB于F，BE⊥AC于E ，所以 和均为直角三角形，又因为 M为BC的中点 ，所以所以
（2）由（1）知所以则所以又因为在中：则四边形的内角和为360°，所以
40°
【解析】【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形及四边形的内角和，（1）根据在直角三角形中三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得证；
（2）根据（1）知得到在根据补角的关系可得：在利用三角形内角和求出再利用四边形内角和为360°求解即可.
23．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
【答案】解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°．
∴∠C=30°，
∴∠ABC=2∠C=60°
【解析】【分析】由轴对称的性质可知 ∠ABD=∠EBD 、 ∠DBE=∠C ，再根据直角三角形两锐角互余即可解答。
24．下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．
（1）直接写出结果： ；
（2）求证：．
【答案】（1）3
（2）证明：延长交的延长线于点，
四边形为菱形，
，
，B，
为边的中点，
，
，
．
又，
，
．
【解析】【解答】解： (1)∴ABCD是菱形
∴AB=AD=6
∵，为边的中点，
∴中，EF是斜边中线
∴（直角三角形中斜边中线等于斜边一半）
故第一空填：3
【分析】（1）根据已知条件，可知EF是直角三角形中斜边上的中线，故EF可求；
（2） 看到求证，说明DF是角平分线，且DF垂直底边，我们想到等腰三角形的三线合一定理，因此我们求证存在等腰三角形，按照这个思路，引辅助线，补全图形；由上一问，易证F是底边中点，整理思路，求证即可。
25．如图，AO⊥OM，OA＝4cm，点B从O点出发沿射线OM运动，速度为1cm/s，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE.
（1）当t=3s时，
①求AB的长；
②连接AF，求AF的长。
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度.
【答案】（1）解：①当t=3s时，OB=3cm，
∵AO⊥OM，OA＝4cm
∴AB=5cm；
②如图，连接AF，过点F作FC⊥AO于点C，
易证正方形CFBO，CF=BF=BO=3cm，CA=3+4=7cm，
∴AF=cm.
（2）解：如图，过点E作ED⊥MO于点D，
在Rt△OBA和Rt△DEB中，∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠DBE=90°.
∴∠OAB=∠DBE
又∵∠AOB=∠BDE=90°，AB=EB
∴ΔAOB≌ΔBDE
∴OB=DE，BD=AO=4cm
∵BF=BO=DE，∠FPB=∠EPD
∴ΔFPB≌ΔEPD
∴BP=PD=BD=2cm，PB的长度不变为2cm.
不变；2cm.
【解析】【分析】