数学八年级上册（2024）第22章 直角三角形22.1 直角三角形优秀同步练习题

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一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】【解答】如图所示，过点P作PQ⊥OM于Q，
∴ PQ为点P到OM的最小值
∵ OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
∴ PA=PQ
∴ PQ=3
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离。角平分线上的点到角两边的距离相等。点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度。根据 OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，过点P作PQ⊥OM可得PA=PQ=3.
2．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②5、12、13；③32、42、52；④3a、4a、5a（a＞0）；其中可以构成直角三角形的有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【答案】B
【解析】【解答】解：①92+122=225=152，故9、12、15可以构成直角三角形；
②52+122=169=132，故5、12、13可以构成直角三角形；
③由③32=9、42=16、52=25，92+162≠132，故32、42、52可以不能构成直角三角形；
④（3a）2+（4a）2=25a2=（5a）2，故3a、4a、5a（a＞0）可以构成直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理的逆定理计算各组线段中的三个长度的平方看是否存在两个数的平方和等于第三个数的平方即可判定其中可以构成直角三角形的有几组.
3．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．5，4，3B．7，24，25C．6，8，9D．9，12，15
【答案】C
【解析】【解答】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、72+242=252，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、62+82≠192，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D、92+122=152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数．
故选C．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
4．在中，，，，则点C到的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：
，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC=
AC•BC=
AB•CD，
∴，
则点C到AB的距离是
．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法列出算式S△ABC=
AC•BC=
AB•CD，再求出
即可。
5．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为 ， ， ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为 ， ， ．其中 ， ， ， ，则 （ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∴a2+b2=c2，即S1+S2=S3，
同理可得：S5+S6=S4，
∵S1=1，S2=3，S5=2，S6=4
∴S3+S4=（1+3）+（2+4）=4+6=10．
故答案为A．
【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2=S3，同理可得S5+S6=S4，然后根据S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，即可求出S3+S4的值。
6．如图， ， 平分 交 于点 ，若 ，则点 到 的距离为（ ）
A．不确定B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】过点D作DE 于点E，
平分 ，且 ，DE
故点D到AB的距离为4cm，
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DE的长.
7．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（ ）
A．B． +1C．1﹣ D．﹣
【答案】C
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
.
∴ .
∵
∴
∴点M表示的数是：1-
.
故答案为：C.
【分析】首先由勾股定理求出BC，根据同圆的半径相等得MB=BC，结合OB的值求出OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点M表示的数.
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为（ ）
A．3cmB．4cmC． cmD．5cm
【答案】A
【解析】【解答】∵∠C=90°，BC=8cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB的距离，
∵BD：DC=5：3，BC=8cm，
∴CD=3，
即D到AB的距离为3cm．
故答案为：A．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，就可得出点D到AB的距离就是线段CD的长，由已知条件BD︰DC=5︰3，及BC的长为8，就可求出CD的长，继而可得出答案。
9．在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（ ）
A．3cmB． cmC．2cm或 cmD． cm或 cm
【答案】D
【解析】【解答】解：当1cm、2cm的边为直角边时，第三边=cm，
当1cm为直角边，2cm为斜边时，第三边=cm，
∴ 第三边的 cm或 cm.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：当1cm、2cm的边为直角边时，当1cm为直角边，2cm为斜边时，根据勾股定理分别求出第三边的值，即可得出答案.
10．数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，，是的中点，平分，求证：．
小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点作交于点；
②作，交于点；
③在上取一点，使得，连接；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：①如图1，过作，垂足为点，
可得，
则，
平分，
，
在和中，
，
；
，，，
是的中点，
，
，
在和中，
，
；
，
．
②如图2，作，交于点；
，，，
根据不能证明，
这种辅助线的添加方式不能证明结论．
③如图3，在上取一点，使得，连接，
在和中，
，
；
，，
是的中点，
，
，
在和中，
，
；
，
．
故答案为：．
【分析】先利用“AAS”证出△DEF≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得 CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED， 再利用“HL”证出 Rt△AFE≌Rt△ABE，可得 AF=AB， 再 在AD上取一点F，使得DF=DC，连接EF，利用“SAS”证明△DEF≌△DCE，可得 CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°， 再逐项分析判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上的数字-2上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2，
∴OB＝＝，
又∵OB＝OP，
∴OP＝，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：.
【分析】在Rt△AOB中，用勾股定理可求得OB的值，由作图知OB=OP，再根据数轴的构成可知：原点左边的数是负数可求得点P所表示的数.
12．如图，已知平分，平分，、与直线分别交于点、，，下列结论：①；②）；③；④若，则.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD
∴，
∵，
∴，
∴，
∴结论①正确，
∵，
∴，
∴
∴结论③正确，
∵AB=BF，
∴，
∵AP平分∠BAD，
∴∠1=∠CAF，∠CAF=∠F，
∴AC∥EF，
∴∠E=∠ACP，
∵CP平分∠ACD，
∴∠2=∠ACE=∠E，
∴三角形CDE是等腰三角形，
∴CD=DE，
∴结论④正确，
故答案为：①③④.
【分析】①由角平分线的性质得，然后由题上所给条件即可证明①正确；
③由①以及角平分线的性质即可证明③正确；
④由AB=BF，AP平分∠BAD以及①可以推出∠1=∠CAF，∠CAF=∠F，证明AC∥EF，然后由CP平分∠ACD，即可证明三角形CDE是等腰三角形，即证明④正确.
13．已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．
【答案】24
【解析】【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，
∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，
故（14﹣b）2+b2=102，
解得：b1=6，b2=8，
则a1=8，a2=6，
即S△ABC= ab= ×6×8=24．
故答案为：24．
【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2019cm，则AB= .
【答案】2019cm
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE，
又 AC=BC
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为2019cm，
∴AB=2019cm.
故答案为：2019.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CD=DE，从而利用合理判断出Rt△BCD≌Rt△BED，根据全等三角形的对应边相等得出BC=BE，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换和线段的和差即可得出答案.
15．如图，在中，，是的角平分线，过点D作的平行线，交于点E，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是的角平分线，∠C=90°，
∴DC=DH，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt中，AD=
∵
∴DH=
∴CD=DH=.
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DH，由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠C=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理计算出AD，然后利用等面积法求出DH的长，从而得到CD的长.
16．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转60°得到线段，连接，.若，，，则的度数是 .
【答案】150°
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可知PB=P'B，∠PBP'=60°，
∴△PBP'是等边三角形，
∴∠BPP'=60°，PP'=PB=3，
在等边△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°=∠BPP'，
∴∠ABP=∠PBP'，
在△BAP和△BCP'中，
，
∴△BAP≌△BCP'（SAS），
∴P'C=PA=5，
∵PC2+P'P2=42+32=25，P'C2=52=25，
∴PC2+P'P2=P'C2，
∴△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°，
故答案为：150°．
【分析】由旋转的性质可得PB=P'B，∠PBP'=60°，可证△PBP'是等边三角形，可得∠BPP'=60°，PP'=PB=3，由“SAS”可证△BAP≌△BCP'，可得P'C=PA=5，由勾股定理的逆定理可得△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
【答案】解：（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；
（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，
∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．
【解析】【分析】（1）由BE=EO，根据等边对等角，可得∠EBO=∠EOB，又由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，可得∠EBO=∠OBC，即可判定EF∥BC，则可证得∠FOC=∠OCB=∠OCF，由等角对等边，即可证得OF=CF；
（2）由点O到AB的距离为4cm，根据角平分线的性质，即可得点O到BC的距离为4cm，则可求得△OBC的面积．
18．小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】解：由题意得：公里，公里，，，
（公里），
设公里，则公里，
在中，，即，
解得（公里），
答：小渝家到见面地点的距离为公里．
【解析】【分析】由题意得AB=10公里，BC=6公里，AD=BD，BC⊥AC，利用勾股定理可得AC，设AD=BD=x公里，则CD=AC-AD=(8-x)公里，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理计算即可.
19．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵∠ADC=150°
∴∠BDC=150°﹣60°=90°；
（2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，
∴其面积为××AB×AD=16，
∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，
解得BC=10，CD=6，
∴直角△BCD的面积=×6×8=24，
故四边形ABCD的面积为24+16．
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出BDC的度数；
（2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和．
20．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走3.5km，遇到障碍后又往西走1km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走3km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
【答案】解：设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C，
则AC=4-1+3=6(km)，BC=4.5+3.5= 8(km)．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=62+82=102 ，所以AB=10 km．
所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是10 km．
【解析】【分析】设过A点东西方向的直线为AD，过点B作BC⊥AD于点C， 利用已知条件可得到CA，BC的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长.
21．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24cm，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102，
在△ABC中，AB2=262，BC2=242，
而102+242=262，
即AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD= •AC•BC- AD•CD，
= ×10×24- ×8×6=96.
所以需费用96×200=19200（元）.
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC2，由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果.
22．如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．
【答案】解：设，则，
在中，，
在中，，
∴，
，
解得，
在中，．
【解析】【分析】设BD=x，然后在Rt△ABD中，求得AD2=152-x2，在Rt△ACD中，AD2=132-（14-x）2，故而得出：152-x2=132-（14-x）2，解方程求出x的值，进一步求出AD的长即可。
23．如图，等腰三角形ABC的底边BC为8cm，腰AB、AC的长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．
【答案】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵BC=8cm，
∴BD=CD= BC=4cm，
∴AD= =3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，
∴PD2+AD2=PC2-AC2，
∴PD2+32=（PD+4）2-52
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=0.25t，
∴t=7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，
∴t=25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
【解析】【分析】作AD⊥BC，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=4cm，利用勾股定理可得AD，当点P运动t秒后有PA⊥AC时，根据勾股定理可得AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，代入求解可得PD，然后求出BP，进而可得t的值；当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可得t的值.
24．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
（1）填空： ， ；
（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值；
（3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）120；90
（2）解： （2）如图2，∵DG∥EF，
∴∠BCD=∠CBF=n，∠1=∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，
∴∠ACD=90°-n°，
∴∠2=180°-（90°-n°）=90°+n°，
∴90°+n°=（120°-n°），
解得：n=36；
（3）解： 设旋转时间为t秒，BM转过2t°，QN转过3t°，分两种情况：
① 当BM与QN同方向平行时，∠ABM=∠AQN，即60°−2t=3t，解得t=12秒。
② 当BM与QN反方向平行时，∠ABM+∠AQN=180°，即2t−60+3t=180，解得t=48秒。
【解析】【解答】解：（1）如图，∵DG∥EF，
∴∠AQG=∠ABC=60°，
∴∠1=180°-∠AQG=120°；
∵∠ACB是直角三角板的直角，
∴∠ACF=90°，
∵DG∥EF，
∴∠2=∠ACF=90°；
故第1空答案为：120；第2空答案为：90；
【分析】（1） 由于DG∥EF，根据平行线的同位角性质，∠AQG=∠ABC=60° ，1与∠AQG构成平角，因此∠1=180°−60°=120°； ∠ACB是直角三角板的直角，得出∠ACF=90°，故∠2=∠ACF=90°；
（2）首先根据平行线的性质得出∠BCD=∠CBF=n，∠1=∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，进而可得出∠2=90°+n°，然后根据已知条件恰好是的倍， 即可得出关于n的等式90°+n°=（120°-n°），解方程即可求得n的值；
（3） 设旋转时间为t秒，BM转过2t°，QN转过3t°。分两种情况：① 当BM与QN同方向平行时，∠ABM=∠AQN，即60°−2t=3t，解得t=12秒；② 当BM与QN反方向平行时，∠ABM+∠AQN=180°，即2t−60+3t=180，解得t=48秒；即可得出答案。
25．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.