福建省龙岩第一中学锦山学校九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省龙岩第一中学锦山学校九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：魏洁 审核人：李俊、苏标容）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x2+1=0B. y2+x=1C. 2x+1=0D. x+=1
【答案】A
【解析】
【详解】A. 是一元二次方程，故A正确；
B. 是二元二次方程，故B错误；
C. 是一元一次方程，故C错误；
D. 是分式方程，故D错误；
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B. 某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C. 若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
D. “明天我市会下雨”是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的定义进行判断即可.
【详解】A若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B. 某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C. 若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D. “明天我市会下雨”是随机事件，故本选项正确；
故选D
【点睛】本题考查了概率的定义，注意区分必然事件、可能事件、随机事件的区别.
3. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则BC的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得再代入数据进行计算即可.
【详解】解： ，

，，，

经检验符合题意.
故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.
5. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）

A cmB. cmC. cmD. 1cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解．
【详解】正六边形的任一内角为，
（如图），

，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
6. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据进行求解是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
故选C．
7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A. 63°B. 126°C. 116°D. 117°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，
∴∠A=∠DCE=63°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．
【详解】解：由题意得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设关于函数解析式为，由图象可把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
10. 如图，是直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 如果平分，
C. 如果平分，那么
D. 如果，那么也是的切线
【答案】B
【解析】
【分析】A．由圆周角定理可得，便可判断正误；
B．由角平分线与等腰三角形的性质可知为等腰直角三角形，可得与的数量关系，便可判断正误；
C．由角平分线与等腰三角形的性质得，便可判断正误；
D．证明，得，便可判断正误．
【详解】解：A．∵、是所对的圆心角、圆周角，
∴；故选项正确，不合题意；
B．∵平分，是的切线，
∴
∵，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选项错误，符合题意；
C．∵平分，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
故选项正确，不合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（SAS），
∴，
∴也是的切线，
故选项正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的有关性质与定理，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 计算：_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算.
【详解】，
，
故答案为：1.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，在中考中经常出现，需要掌握特殊角的三角函数值.
12. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】根据用频率估计概率的方法即可进行解答．
【详解】解：由表可知：经过大量重复试验，成活的频率逐渐稳定到，
∴该种幼树在此条件下移植成活的概率是，
故答案为：．
【点睛】利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
13. 关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，再根据根与系数的关系建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2，设它的另一个根为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根之积等于”是解本题的关键．
14. 已知二次函数部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性和图象性质判断即可；
【详解】∵抛物线的对称轴为，
∴点关于直线的对称点为，
当时，函数值y大于2；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
15. 如图，内接于，，，则半径为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理得应用．
【详解】解：如图，连接，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 已知二次函数的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 _____（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【详解】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x2．
∴2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图1：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
三、解答题（共9题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接运用公式法解一元二次方程即可；
（1）直接运用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，．
18. 如图，已知是坐标原点，、．
（1）以原点点为位似中心，相似比为2，将放大两倍得到，直接写出点的坐标为_____________；
（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）利用位似图形的性质得出B、C点对应点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点C、B绕点O逆时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据弧长公式列式计算即可．
【小问1详解】
解：如图：的坐标分别为：或；

故答案为：或．
【小问2详解】
解：如图所示：即为所求，B点所经过的路线长为：．
19. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
【答案】（1）100名，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：本次被调查的学生有名；
选择“足球”的人数为名，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率是；
20. 已知中，点为的中点，．
（1）在线段上求作一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由可得，根据作一个角等于已知角的作图方法作，交于点N，则点N即为所求．
（2）由相似三角形的性质可得，由中点的定义可得，则，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∴如图，作，交于点N，则点N即为所求．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，即．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1）求的面积；
（2）若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把点代入直线，求出m的值，然后把点A代入，求出k的值，再求出B点的坐标，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）结合图象，利用图象法，即可求出当时，自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵函数的图象与直线交于点，
∴将点代入有：，
∴，
∴将点代入有：，
∴，
设点B的坐标为，则将点代入，
可得，
解得（舍去）或，
∴
设直线交轴于点，则，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，点，点B，
∴当时，有
自变量x的取值范围为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数图像和性质．
22. 如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
（1）求证：是的切线；
（2）若与相切于点，，，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图：连接，由可得，则，所以即可结论；
（2）如图：连接，可证明四边形是正方形，则，设,则,由勾股定理得解得，最后根据图形即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
∵与相切于点G，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设,
∵，
∴，且,
∴，解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．

（1）求滑道所在抛物线的解析式；
（2）求甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，请直接写出长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）米
（3）
【解析】
【分析】（1）点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，当甲同学滑到点时，距地面的距离为米，距点的水平距离为米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
【小问1详解】
解：依题意，点到地面的距离为米，
设点坐标为，，代入 ，
解得，
点距地面的距离为米，距点的水平距离为 米，
的坐标 ，，
由题意得：，，
故设滑道所在抛物线的解析式为 ，
将的坐标，代入，得 ，
解得：，
则 ；
【小问2详解】
令，，
解得： 不合题意，舍去，
又将 代入 ，
解得 ，
甲同学从点滑到地面上点时，所经过的水平距离为 米．
【小问3详解】
根据上面所得 ，， ，时，此时，
则点不可往左，可往右，则最小值为，
又，
，
．
长度的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
24. 将绕点逆时针旋转得到，且点落在的延长线上，连接．
（1）如图1，若，，交于点．①求的度数；②直接写出的值．
（2）如图2，若点分别为，的中点，连接并延长交于点，求证：．
【答案】（1）①；②
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据旋转得到，，，，从而
，，进而
得到；
②由，得到，
，再根据，得到，根据含直角三角形的三边关系得
到从而有；
（2）连接，如图所示，由，为的中点，根据等腰三角形性质到，
，则，进而，再由，是的中点，
根据等腰三角形性质得到，，从而四点共圆，由圆周角定理
得，从而确定．
【小问1详解】
解：①∵绕点逆时针旋转得，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②．
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，是的中点，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，综合性较强，涉及旋转性质、角度和差倍分关系、含直角三角形的三边关系、等腰三角形性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点，灵活运用几何性质推理是解决问题的关键．
25. 已知关于x的二次函数（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过两点，求二次函数的表达式；
（2）若，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）k的值为或3
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；
（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．
【小问1详解】
将代入，得
，
解得，
∴次函数的表达式是；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴函数解析式为，
∵，
∴，即，
∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，
∴当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得；
当时，
当时有最大值，即；
当时有最小值，，
∵，
∴，
解得或（舍去）
综上，k的值为或3．
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率