福建省福建省龙岩市第二中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省福建省龙岩市第二中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据定义解答本题即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，由定义可知A、C、D不是中心对称图形，不符合题意，
选项B中的图形是中心对称图形，符合题意，
故选：B．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 实心铁球投入水中会沉入水底
B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C. 打开电视，正在播放《大国工匠》
D. 抛掷一枚硬币，正面向上
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，该选项符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，该选项不合题意；
C、打开电视，正在播放《大国工匠》，是随机事件，该选项不合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解，
，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4. 如图，从外一点P引的两条切线，切点分别是A、B，若，则弦的长是（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵，为的切线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
5. 一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键．
【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的，
所以小球最终停留在黑砖上的概率是，
故选：A．
6. 已知圆锥的母线长为6，侧面展开图的面积是12π，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．
【详解】解：∵母线为6，设圆锥的底面半径为x，
∴圆锥的侧面积=π6x=12π．
解得：x=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7. 对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是直线x＝1
C. 顶点坐标是（﹣1，2）
D. 当x≥﹣1时，y随x增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y=a（x-h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，
∵a=1＞0，所以开口向上，A选项错误；
对称轴为直线x=-1，B选项错误；
顶点坐标为（-1，2），所以C选项正确；
∵a=1＞0，
∴当x≥﹣1时，y随x增大而增大．所以D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ．
8. 如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵正五边形中，
∴，，
∴，
故选：B．
9. 已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．分同号和异号两种情况讨论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
当同号，即或，，
当异号时，即 ；
故选：D．
10. 点是抛物线上位于对称轴异侧的两点，且，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．根据对称轴为：，分类讨论和在对称轴的左右两侧，再根据，即可求出的值．
【详解】解：∵对称轴为直线：
∴对称轴为直线
当在的左侧，即，解得
∴，解得
∴无解
当在的右侧，即，解得
∴，解得，
∴，
∵抛物线开口向下，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 如图，的直径，弦，，垂足为，则的长为__________．
【答案】
【解析】
分析】连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的直径，
∴，
∵弦，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
12. 二次函数图象的对称轴是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴求解即可；
【详解】∵，
，
∴，
∴对称轴是；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴，准确计算是解题的关键．
13. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
14. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，
∴，解得：．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15. 扇形的半径为3，圆心角为90°，则该扇形的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积的计算公式直接解答即可．
【详解】解：扇形面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形面积的计算公式．
16. 如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，函数（x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是；③点B的纵坐标是1；④点O关于直线BD的对称点一定在函数的图象上．其中正确的是 _____（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】设点A（x，y），根据正方形的性质以及AB=2，得到点B（，y），点D（x，），再求得点A、B、D的坐标，以及原点(0，0)关于直线BD的对称点的坐标，即可判断．
【详解】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点B、点D在函数y=（x＞0）的图象上，
∴点B的坐标为（，y），点D的坐标为（x，），
∵AB=2，则AD=2，
∴，即3-xy=2y，
，即3-xy=2x，
∴x=y，
∴3-x2=2x，
解得：x=-3(舍去)或x=1，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，1），点D的坐标为（1，3），
∵四边形ABCD是正方形，
∴点C的坐标为（3，3），
∴O，A，C三点在同直线上，故①正确；
点A横坐标为1，故②错误；
点B纵坐标为1，故③正确；
由正方形对角线互相垂直且对角线交点是对角线中点，
则B、D的中点为(，)，即为(2，2)，
设原点(0，0)关于直线BD的对称点为(a，b)，
有，，
∴a=4，b=4，
∵4×4≠15，
∴(4，4)不在函数y=的图象上，故④错误；
综上，正确的结论有①③．
故选：①③．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，正方形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法，解一元二次方程即可，
（2）根据公式法，解一元二次方程即可，
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：观察题目，选择适合的方法，解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
移项，得：
配方：
即：
，，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：，
移项，得：
，，
故答案为：，．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，点的横坐标为．
（1）求的值及点的坐标；
（2）根据图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）当时，自变量x取值范围为或．
【解析】
【分析】（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可；
（2）由反比例函数图象在一次函数图象的上方可得时，自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数过A点，且点A的横坐标为，
∴，
∴，
又∵反比例函数的图象过A，B两点，
∴，
∴反比例函数关系式为，
由，解得或，
∴；
【小问2详解】
由函数的图象可得，
当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标问题，利用图象法求解不等式的解集，熟悉数形结合的方法解题是关键．
19. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，再根据“”可得 进而可得结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
在和中，
，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，根据“”得到是解题关键．
20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解．
（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．
小问1详解】
解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的有3种，
∴小嘉和小琪两人恰好选择同一支付方式的概率为：．
21. 如图，在中，．
（1）求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
（2）已知，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可；
（2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
由（1）可知，连接
又
故的半径为：2
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当，W随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23. 如图，是的直径，为的切线，弦，垂足为，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，先证明，再，得，然后根据，得，得到，根据切线的判定定理得出结论；
（2）连接，设，则， 在中，由勾股定理，得，由面积法求出，再由勾股定理，得，再证明是的中位线，得，从而得，即可证得是等腰直角三角形，即由勾股定理得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

是的切线，
，
∴，
∵，O是圆心，是的弦，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
即，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
证明：连接，如图，

设，则，
在中，由勾股定理，得，
∵
∴
∴，
在中，由勾股定理，得，
由（1）得，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理，得．
【点睛】本题考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，三角形中位线，等腰直角三角形，熟练掌握切线的判定定理和垂径定理是解题的关键．
24. 在等边中，，点E、F分别在和上，且，连接．
（1）如图1，若D为上的点，且，连接，求证：；
（2）若，将绕着点F顺时针旋转，得到，连接，设，直接写出的长（用含m的式子表示）；
（3）如图2；M为的中点，连接，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论；
（2）根据旋转的性质，得到；过作，易得为等边三角形，推出，证明，得到，进而得到，再进一步即可得出结论；
（3）延长至，使得，连接和，证明，推出为等边三角形，得到，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：绕着点顺时针旋转，
．
为等边三角形．
如图，过作，则，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
．
即，
，
∵，，
∴；
【小问3详解】
解：延长至，使得，连接和，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴．
，
为等边三角形．
．
过点作，则：，
∴，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．化为最简二次根式，解题的关键是掌握等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形．
25. 已知抛物线经过，两点，与c轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第四象限抛物线上一动点，直线与y交于点D，连接．
①如图1，若时，求点C的坐标；
②如图2，直线与抛物线交于点E，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②是定值，定值为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求解；
（2）①解，求出A、B两点坐标；作轴于点H，证明，得出，设，用含t的代数式表示出，，，代入求出t值即可；②利用待定系数法依次求出直线和的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出点E的坐标，再根据，即可证明是定值．
【小问1详解】
解：抛物线经过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①由（1）知，
令，则，
解得，，
点A在点B的左侧，
，．
如图，作轴于点H，
若，则，
轴，
，
，
又，
，
，
，
点C为在抛物线的第四象限上，
设，
，，，
，
化简得，
解得，
点C在第四象限上，
，
，
此时，
点C的坐标为；
②是定值，定值为，理由如下：
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
．
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点E的横坐标为，
点E的纵坐标为：，
，
，
．