初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形课时练习，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（ ）
A．3B．6C．6D．7
4．如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．3B．C．7D．8
6．如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（ ）
A．3.5B．5C．7D．10
7．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
8．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
9．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
二、填空题
10．在中，则的度数为 度．
11．在中，，，，则的周长是 ．
12．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ．
13．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ．
14．如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米．
15．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ．
16．如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ．
三、解答题
17．如图，在中，D为延长线上的一点，．求证：是等边三角形．
18．如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：．
19．如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，分别是边上的点，且．求证：．
20．如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，．求证：是等边三角形；
21．如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明．
22．如图，和均为等边三角形，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
23．已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接．
(1)如图，若点在线段上，且，则______度．
(2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点．
求的度数；
若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：A
2．A
【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解．
【详解】解：∵等边三角形的边长为，
∴，
∵将沿直线折叠，点A落在点处，
∴，
∴阴影部分图形的周长为：
．
故选：A
3．B
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即此时两点之间的距离为．
故选：B ．
4．A
【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解．
【详解】解：等边的边，点是的中点，
，，
，
，
．
故选：．
5．C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵等边三角形的边长为7，
∴，
∵点E，F是边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长是：，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
先连接，，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值．
【详解】解：连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∵是边上的高，
是边上的中线，即垂直平分，
，
∴，
∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为，
等边中，是边的中点，
，
的最小值为7，
故选：C．
7．B
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质．
先由是等边三角形，推出，由此可以证明是等边三角形．接着在中，由“所对的直角边等于斜边的一半”求出，再用证明，得到，最后即可求出的周长．
【详解】解：，
，
是等边三角形，
，，
，
∵，
，
同理：，
是等边三角形．
．
在中，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查等腰三角形的判定．①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合，那么这个三角形是等腰三角形．
根据题中条件，结合图形可得共7个等腰三角形．
【详解】解：①∵为等边三角形，
∴，
∴为等腰三角形；
②∵分别是三个角的角平分线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
③为等腰三角形；
④为等腰三角形；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
⑥∵，
∴，
∵，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴为等腰三角形；
⑦为等腰三角形．
故选：B．
9．B
【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
即：，
，
，故结论正确，
，
，
即：，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，故结论正确，
又，
是等边三角形，
，
，
，故结论正确，
，
，故结论正确，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，故结论不正确，
综上，正确的结论有，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．60
【分析】根据条件可判断是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵
∴是等边三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是关键．
11．12
【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：，，
是等边三角形，
，
的周长．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，判断出是等边三角形是解题的关键．
12．/度
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数．
【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线，
∴，，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边对等角，由等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出，则，由等边对等角可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案．
【详解】解：根据题意，米，
，
，
∴为等边三角形，
米，
故答案为：．
15．3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解．
【详解】解：点在边上，
当时，的值最小，
又是等边三角形，
，
故答案为：3．
16．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，证明，得到，再根据即可得到答案．
【详解】解：在等边三角形中，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
17．证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
由，可得，结合，即可判定是等边三角形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
18．见解析
【分析】先证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得到，再利用等角的余角相等证得，然后利用等角对等边证得，
从而可得．
【详解】证明：是等边三角形，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，等腰三角形的判定与性质等知识，证明垂直平分是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题关键，连结，过点D作交于点M，再作交于点N．结合等边三角形性质证明，得出，进一步证明，即可得出结论．
【详解】证明：连结，过点D作交于点M，再作交于点N．
是等边三角形，D为的中点，
是的平分线，，
．
又，
，
．
在和中，
，
，
．
在与中，
，
，
．
20．证明：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∴，
∴是等边三角形
21．，证明见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：，理由如下：
∵在等边中，，是中线，
∴，，，，
∴，，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明；
（2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
，
∴，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
．
23．(1)
(2)①；②是定值，
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形面积计算，解题的关键是利用等边三角形边和角的特殊性证明全等，结合辅助线转化角度与距离关系．
（1）利用等边三角形角平分线性质得角度，结合及等边的边角关系，计算．
（2）①通过证明转化角度，推导的度数；②作，利用角度关系证为定值，结合长度判断面积是否为定值．
【详解】（1）∵是等边三角形，是角平分线，
∴，，．
∵，
∴．
又∵ 是等边三角形，则，
∴ ．
故答案为：．
（2）①∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴ ．
在 和中，
∴，则．
∵ 是等边的角平分线，
∴，则，即．
又∵是的一个外角，
∴．
②过B作于（即，则即为的高．
由①知，则，
在中，，
∴（定值）．
∵，的面积，
∴ 的面积是定值．