人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形15.3.2 等边三角形当堂达标检测题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形15.3.2 等边三角形当堂达标检测题，共12页。
基础夯实
知识点 1 等边三角形的概念及性质
1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为( )
A.24°B.36°C.48°D.56°
2.「2025贵州黔东南州期末」如图,AD 是等边△ABC 的一条中线，若在边AC上取一点 E，使得AE=AD，连接DE,则∠EDC的度数为( )
A.30°B.20°C.25°D.15°
3. 如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点，当△DEF 为等边三角形时,AD=3,则线段 CF 的长为
4. 如图,△ABC 是等边三角形,BD 是AC 边上的高,延长 BC 至 E,连接DE,使DB=DE.
(1)求∠BDE 的度数.
(2)求证:△CED 是等腰三角形.
知识点 2 等边三角形的判定
5.「2025云南昆明期末」下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.∠A=∠B=∠C
B. AB=BC,AC=BC
C. AB=BC,∠B=60°
D. AB=BC,∠A=∠C
6.「2025天津和平期末」如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子(图中 CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中 CN)的倾斜角为45°，那么MN的长是 米.
7.「2025江苏南京师大附中月考」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点 E、D,连接AE、AD.求证:△AED 是等边三角形.
能力提升
8.「2024山东泰安中考，〔如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点 B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数是( )
A.45°B.39°
C.29°D.21°
9.「2023江西中考，」将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点 B，C表示的刻度分别为 1 cm，3c m，则线段AB的长为 cm.
10.「如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分△ABC 的外角∠ABD,AE∥BD 交 BE 于 E,则△ABE的周长是 .
11.「2025山东聊城期末，」如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆 BC的长度相等，点E 在 DC 的延长线上，且∠BCE=2∠BCD,若CD的长度为30cm,则此时B，D 两点之间的距离为 cm.
12.「2025河南开封期末, 」如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点 E为AD 上一点,连接BD,CE交于点 F,CE∥AB.
(1)判断△DEF的形状，并说明理由.
(2)若AD=12,CE=7,求CF的长.
素养提优
13.「2025河南信阳期中」如图，点O 是等边△ABC内的一点,D 是△ABC 外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由.
(3)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形?
第2课时 含30°角的直角三角形的性质基础夯实
知识点含30°角的直角三角形的性质
1.「2023贵州中考」2023年5月26 日, “2023 中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是( )
A.4mB.6mC.10mD.12 m
2.「2025四川广安期末」如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为
( )
A.1.5B.2C.3D.4
3.教材如图所示的是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC，DE分别垂直于横梁AC，若 DE = 1.8 m,∠A = 30°,则斜梁 AB 的长为 m.
4.「2025河南商丘月考」如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分∠ACB.
(1)求∠A 的度数.
(2)若BE=4,求AE的长.
能力提升
5.「2025天津外国语学校期末，的。」如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点D,若∠B=30°,BC=8cm,则BD的长为( )
A.7 cmB.6cmD.5cm
6.「如图，杆AB可以绕转轴A 点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B 相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.已知AB=AC，当杆AB 与水平面夹角为30°时,测得 BC=8 dm,则点 B 到 AD的距离为 .
7.「2025山东威海期中, 金」在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点，过点 D 分别向AC，AB作垂线，垂足分别为 E，F.
(1)当点 D 在BC的什么位置时,DE=DF? 并说明理由.
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=120°,AE=8,求 CE的长.
15.3.2 等边三角形
第 1 课时等边三角形的性质与判定基础夯实
知识点 1 等边三角形的概念及性质
1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为 (B)
A.24°B.36°C.48°D.56°
2.「2025贵州黔东南州期末」如图,AD 是等边△ABC 的一条中线，若在边AC上取一点 E，使得AE=AD，连接DE,则∠EDC的度数为 (D)
A.30°B.20°C.25°D.15°
3. 如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点，当△DEF 为等边三角形时，AD=3，则线段CF的长为 3 .
4.如图，△ABC是等边三角形，BD 是AC 边上的高,延长BC 至 E,连接DE,使DB=DE.
(1)求∠BDE 的度数.
(2)求证:△CED是等腰三角形.
解析 答案(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∵ BD是AC边上的高,∴∠DBE=30°,
∵DB=DE,∴∠E=∠DBE=30°,
∴∠BDE=180∘−30∘−30∘=120∘.
(2)证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,
∴CD=CE,∴△CED 是等腰三角形.
知识点 2 等边三角形的判定
5.「2025云南昆明期末」下列条件不能判定△ABC 是等边三角形的是 (D)
A.∠A=∠B=∠C
B. AB=BC,AC=BC
C. AB=BC,∠B=60°
D. AB=BC,∠A=∠C
6.「2025天津和平期末」如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子(图中 CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中 CN)的倾斜角为45°，那么MN的长是 1.6 米.
7.「2025江苏南京师大附中月考」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点 E、D,连接AE、AD.求证:△AED 是等边三角形.
证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=12×180∘−120∘=30∘,
∵AB、AC边的垂直平分线分别交 BC 于点 E、D,
∴AE=BE,AD=CD,
∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,
∴∠AED=∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,
∴ ∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=60°,
∴ △ADE是等边三角形.
能力提升
8.「2024山东泰安中考，〔如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点 B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数是 (B)
A.45°B.39°
C.29°D.21°
9.「2023江西中考，」将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点 B，C表示的刻度分别为 1 cm，3cm，则线段AB 的长为 2 cm.
10.「如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分△ABC 的外角∠ABD,AE∥BD 交 BE 于 E,则△ABE的周长是 15 .
11.「2025山东聊城期末, 」如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E 在 DC 的延长线上，且∠BCE=2∠BCD,若CD的长度为30cm,则此时B,D 两点之间的距离为 30 cm.
12.「2025河南开封期末, 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点 E 为AD 上一点,连接BD,CE交于点 F,CE∥AB.
(1)判断△DEF 的形状，并说明理由.
(2)若AD=12,CE=7,求 CF的长.
解析 答案(1)△DEF 是等边三角形.理由:
∵AB=AD,∠A=60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴∠ADB=∠ABD=60°,
∵CE∥AB,
∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,
∴ △DEF 是等边三角形.
(2)如图,连接AC交BD 于点O,
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC垂直平分BD,
∴AO⊥BD,
∴∠BAO=∠DAO=30°,
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAO=∠DAO,
∴AE=CE=7,∴DE=AD-AE=12-7=5,
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=5,∴CF=CE-EF=2.
素养提优
13. 「2025河南信阳期中」如图，点O 是等边△ABC 内的一点,D 是△ABC 外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由.
(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?
含 30°角的直角三角形的性质
基础夯实
知识点 含 30°角的直角三角形的性质
1.「2023贵州中考」2023年5月26日, “2023 中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是 (B)
A.4mB.6mC.10mD.12m
2.「2025四川广安期末」如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为
(B)
A.1.5B.2C.3D.4
3.她数据如图所示的是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC，DE分别垂直于横梁AC，若 DE = 1.8 m,∠A = 30°,则斜梁 AB 的长为7.2m.
4.「2025河南商丘月考」如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分∠ACB.
(1)求∠A 的度数.
(2)若BE=4,求AE的长.
解析 答案(1)∵ ED 垂直平分BC,
∴EC=EB,
∴∠ECD=∠B=30°,
又∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠ECB=30°,
∴ ∠A=180°-(∠B+∠ACE+∠ECB)= 90°.
(2)∵ ED 垂直平分BC,
∴EC=EB=4,
由(1)知∠A=90°,∠ACE=30°,
∴AE=12EC=2.
能力提升
5.「2025天津外国语学校期末， 如图所示，在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若∠B=30°,BC=8cm,则BD的长为 (B)
A.7cmB.6cmD.5cm
6.「如图，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B 相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.已知AB=AC，当杆AB 与水平面夹角为30°时,测得 BC=8 dm,则点 B 到 AD的距离为 4d m .
7.「2025山东威海期中, 金心」在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点，过点 D 分别向AC，AB 作垂线，垂足分别为E，F.
(1)当点 D 在 BC的什么位置时,DE=DF? 并说明理由.
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=120°,AE=8,求 CE的长.