八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形习题

这是一份八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若等边三角形的边长是，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
2．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形的三条边都相等
B．等边三角形的三个内角都等于
C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D．等腰三角形具有等边三角形的性质
3．如图，在等边中，是边上一点，以为边向右侧构造等边，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
第4题图
第5题图
第3题图
6．如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为( )
A．B．C．D．
7．如图，中，，以、为边在的外侧作等边和等边，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
第7题图
第8题图
第6题图
8．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ）
①；②为的平分线；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．如图，在中，D为上一点，，且，，则 ．
10．如图，等边中，是高，延长到点E，使，则 °．
11．如图，在中，，D，E是内两点，连接，，延长交于点M，连接并延长交于点N．若平分，，，则的长是 ．
第10题图
第11题图
第9题图
12．如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为 ．
三、解答题
13．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，．
(1)当是等腰三角形时， ；
(2)求证：；
(3)求的最小值；
(4)当是等腰三角形时，直接写出的度数．
14．如图，已知和都是等边三角形．
(1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ．
(2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明．
(3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(4)连接，求证：平分．
15．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，．
(1)求证：；
(2)在图中过作交于，若，求的周长．
16．如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
17．已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
(1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证：
①
②；
(2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
18．已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接．
(1)如图①，若点E在线段上，且，则 ；
(2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M．
①求的度数；
②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．A
4．A
5．D
6．D
7．D
8．C
二、填空题
9．5
10．30
11．8
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：由题意可知，，
为等边三角形，
又是等边三角形，
．
是边上的高，
，
．
是等腰三角形，
．
．
．
故答案为：；
（2）证明：，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，，，
．
在和中，
；
（3）解：是等边三角形，
，．
，
，．
由（2）知，
．
当时，最小，
最小值为；
（4）解：的大小为或或；
理由如下：
当是等腰三角形时，
分三种情况讨论：
时，
，
，
，
时，
则，
，
时，
则．
．
综上，的大小为或或．
14．【解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
在和中，，
∴ ()，
∴ ，
∴
，
故答案为： ；；
（2）同（1）可证，
∴．
在和中，
，
∴ ()，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）成立．证明：如图，设与交于点O．
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴ ()，
∴．
∵，
∴．
（4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图．
由（3）得，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
15．【解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在图中过作交于，
∵是等边三角形，是中线，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为．
16．【解】（1）证明：为等边三角形，
，
平分，
，
在和中，
，
．
（2）证明：，
，
即，
，
为等边三角形．
17．【解】（1）证明：①是等边三角形，
．
，
是等边三角形，
，
．
②和是等边三角形，
，
．
在和中，
，
．
，
．
（2）解：．
理由：延长并截取，连接，如图2所示：
同（1）得：是等边三角形，，
．
，
．
18．【解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，平分，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①都是等边三角形，
，
，
，
．
∵为等边三角形，平分，
，，
，
．
，
；
②的面积是定值，定值为20．理由如下：
如图，过点B作于点H．
在中，，
，
．