第16章 二次根式 拔尖检测卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

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第16章 拔尖检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列各式：①eq \r(6)，②eq \r(\f(1,9))，③eq \r(27)，④eq \r(0.2)，⑤eq \r(x2＋1)中，最简二次根式有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列运算正确的是(　　)A．eq \r(2)＋eq \r(3)＝eq \r(5) B．eq \r(2)×eq \r(5)＝eq \r(10) C．2÷eq \r(2)＝1 D．eq \r((－5)2)＝－53．下列二次根式中，与eq \r(2)是同类二次根式的是(　　)A．eq \r(\f(1,2)) B．eq \r(4) C．eq \r(6) D．eq \r(12)4．估计eq \r(32)×eq \r(\f(1,2))＋eq \r(20)÷eq \r(2)的值在数轴(如图)上对应的点可能是(　　)A．M B．N C．P D．Q5．化简(eq \r(3)－2)2 026×(eq \r(3)＋2)2 026的结果为(　　)A．1 B．eq \r(3)－2 C．eq \r(3)＋2 D．－eq \r(3)－26. 若一次函数y＝(2－a)x＋a－1的图象经过第一、二、三象限，则化简eq \r(a2－2a＋1)＋eq \r(4－4a＋a2)的结果是(　　)A．2a－3 B．3－2a C．－1 D．17．采用如图所示的方式在长方形木板上截出两个面积分别为8 cm2和50 cm2的正方形木板后，剩余的木板(阴影部分)的面积为(　　)A．42 cm2　　　　　B．27 cm2　　　　　C．12 cm2　　　　　D．10 cm28. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积．对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊数学家海伦给出了求其面积的海伦公式：S＝eq \r(p(p－a)(p－b)(p－c))，其中p＝eq \f(a＋b＋c,2).我国宋代数学家秦九韶给出了著名的秦九韶公式：S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2)))\s\up12(2)))).若一个三角形的三边长分别为eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(6)，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为(　　)A．eq \f(\r(7),2) B．eq \f(\r(14),2) C．eq \f(7,2) D．eq \r(14)9. 已知max{eq \r(x)，x2，x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max{eq \r(x)，x2，x}＝max{eq \r(9)，92，9}＝81.当max{eq \r(x)，x2，x}＝eq \f(1,2)时，x的值为(　　)A．－eq \f(1,4) B．eq \f(1,16) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)10．如果f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，并且f(eq \r(1))表示当x＝eq \r(1)时f(x)的值，即f(eq \r(1))＝eq \f((\r(1))2,1＋(\r(1))2)＝eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))表示当x＝eq \r(\f(1,2))时，f(x)的值，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))\s\up12(2))＝eq \f(1,3)，那么f(eq \r(1))＋f(eq \r(2))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))＋f(eq \r(3))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))＋…＋f(eq \r(n))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,n))))的值是(　　)A．n＋eq \f(1,2) B．n－eq \f(3,2) C．n－eq \f(5,2) D．n－eq \f(1,2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．若eq \r(3x－3)在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．12．若一个三角形的边长分别为eq \r(8)，3eq \r(2)和4eq \r(2)，则它的周长为________．13．若最简二次根式eq \r(3a＋4)与eq \r(19－2a)是同类二次根式，且eq \r(4a－3x)＋eq \r(y－a)＝0，则x，y的平方和的算术平方根为________．14．在进行实数的化简时，我们可以用“eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)”的方式，如eq \r(24)＝eq \r(2×2×6)＝eq \r(22)×eq \r(6)＝2eq \r(6).利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式．(1)已知a为正整数，若eq \r(304a)是整数，则a的最小值为________；(2)设b为正整数，若m＝eq \r(\f(720,b))，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：(1)|－6|－eq \r(2)×eq \r(8)＋22; (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(48)－4\r(\f(1,8))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(\f(1,3))－2\r(0.5))).16．先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\r(\f(1,x))＋\r(12y)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(\f(x,4))－y\r(\f(3,y))))，其中x＝8，y＝eq \f(1,27).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．已知x＝eq \f(1,2＋\r(3))，y＝eq \f(1,2－\r(3)).(1)求x＋y和xy的值；(2)求代数式eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)的值．18.对于任意的正数m，n，定义运算“※”：m※n＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\r(n)(m≥n)，,\r(m)＋\r(n)(m”“＝”或“0，b>0，由(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，得a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．例如：已知x>0，求式子x＋eq \f(4,x)的最小值．解：令a＝x，b＝eq \f(4,x)，则由a＋b≥2eq \r(ab)，得x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4.请根据上面材料回答下列问题：(1)当x>0时，式子x＋eq \f(9,x)的最小值为________．(2)如图①，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，这个长方形花园的长、宽分别为多少米时，所用的篱笆最短？最短是多少米？(3)如图②，由线段AD，DC，CB，BA首尾相连围成一个图形ABCD，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，△AOB和△COD的面积分别是6和12，设△AOD的面积为S1，△COB的面积为S2，求S1＋S2的最小值．答案一、1.B　2.B　3.A　4.C　5.A　6.D　7.C　8.B9. C　【点拨】∵eq \r(x)有意义，∴x≥0.①令eq \r(x)＝eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(1,4)，此时eq \r(x)＞x＞x2，符合题意；②令x2＝eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(\r(2),2)，此时eq \r(x)＞x＞x2，不合题意；③令x＝eq \f(1,2)，则eq \r(x)＞x＞x2，不合题意．∴当x＝eq \f(1,4)时，max{eq \r(x)，x2，x}＝eq \f(1,2).故选C.10. D　【点拨】∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，∴f(n)＝eq \f(n2,1＋n2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))\s\up12(2))＝eq \f(1,1＋n2).∴f(n)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＝eq \f(n2,1＋n2)＋eq \f(1,1＋n2)＝1.∴f(eq \r(2))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))＋f(eq \r(3))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))＋…＋f(eq \r(n))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,n))))＝n－1.又∵f(eq \r(1))＝eq \f(1,2)，∴f(eq \r(1))＋f(eq \r(2))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))＋f(eq \r(3))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))＋…＋f(eq \r(n))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,n))))＝n－eq \f(1,2).故选D.二、1.1x≥1　12.9eq \r(2)　13.514.(1)19　(2)±2eq \r(6)　【点拨】(1)∵eq \r(304a)＝eq \r(4×4×19a)＝4eq \r(19a)，eq \r(304a)是整数，∴a的最小值为19.(2)∵m＝eq \r(\f(720,b))＝eq \r(\f(12×12×5,b))＝12eq \r(\f(5,b))，b为正整数，m是大于1的整数，∴当b＝5时，m取得最大值12；当b＝180时，m取得最小值2.∴m的最大值与m的最小值的积的平方根为±eq \r(12×2)＝±2eq \r(6).三、15.【解】(1)原式＝6－eq \r(16)＋4＝6－4＋4＝6.(2)原式＝4eq \r(3)－4×eq \f(\r(2),4)－3×eq \f(\r(3),3)＋2×eq \f(\r(2),2)＝4eq \r(3)－eq \r(2)－eq \r(3)＋eq \r(2)＝3eq \r(3).16.【解】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\r(\f(1,x))＋\r(12y)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(\f(x,4))－y\r(\f(3,y))))＝eq \r(x)＋2eq \r(3y)－2eq \r(x)＋eq \r(3y)＝－eq \r(x)＋3eq \r(3y).当x＝8，y＝eq \f(1,27)时，原式＝－eq \r(8)＋3eq \r(3×\f(1,27))＝－2eq \r(2)＋1.四、17.【解】(1)∵x＝eq \f(1,2＋\r(3))＝eq \f(2－\r(3),(2＋\r(3))(2－\r(3)))＝2－eq \r(3)，y＝eq \f(1,2－\r(3))＝eq \f(2＋\r(3),(2－\r(3))(2＋\r(3)))＝2＋eq \r(3)，∴x＋y＝4，xy＝1.(2)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)＝eq \f(x2＋y2,xy)＝eq \f((x＋y)2－2xy,xy)＝eq \f(42－2,1)＝14.18.【解】(1)48※75＝eq \r(48)＋eq \r(75)＝4eq \r(3)＋5eq \r(3)＝9eq \r(3).(2)∵3※2＝eq \r(3)－eq \r(2)，8※12＝eq \r(8)＋eq \r(12)＝2eq \r(2)＋2eq \r(3)，∴(3※2)×(8※12)＝(eq \r(3)－eq \r(2))×2(eq \r(3)＋eq \r(2))＝2.五、19.【解】(1)3；eq \r(11)－3(2)∵4