八年级数学下册 第16章《二次根式》 单元测试卷 沪科版（含解析）

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八年级数学下册 第16章《二次根式》 单元测试卷 沪科版一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.1．下列各式中，不属于二次根式的是 （　　）A．15B．3−πC．a2+2D．122．若二次根式4x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≥12B．x≤12C．x≤2D．x≥23．下列各式中，正确的是(　　)A．9＝±3B．−9＝－3C．−9＝3D．±9=±34．已知实数x，y满足|x−3|+y+2=0，下列选项正确的是（　　）A．x=3，y=2B．x=−3，y=2C．x=3，y=−2D．x=−3，y=−25．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）A．12B．3C．8D．4a26．下列二次根式中，不能与3合并的是（　　）A．13B．8C．12D．−757．下列运算正确的是（　　）A．5+3=8B．16=±4C．3×2=6D．327=38．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）．A．小明和小丽B．小丽和小红C．小红和小亮D．小丽和小亮9．已知a+b=4，ab=2，则ba+ab的值为（　　）A．22B．2C．2D．110．已知 a=3+1 ， b=23−1 ，则a与b的关系为（　　）. A．a=bB．ab=1C．a=－bD．ab=－111．在下列式子中等号能成立的式子共有（　　）①0.9x2=0.3x；②32+22=3+2=5；③(−5)2=±5；④3+2=5；⑤9x2+3=3x+3．A．0个B．1个C．2个D．3个12． 如图，手扶电梯（扶梯）AB 的坡比（AC：BC）为1： 3.已知 BC的长为12 3m，则小明乘坐扶梯从 B 处到A 处上升的高度AC 为（　　）A．6mB．6 3C．12mD．123m二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.13．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b2+(a−b)2=　 　.14．已知x=3+1，y=3−1，则x2−y2=　 　．15．小荣在(8−12)☐2中的“☐”内填入运算符号“×”得到的结果为m，小德在(8−12)☐2中的“☐”内填入运算符号“÷ ”得到的结果为n，则mn的值为　 　 .16．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式：t=2hg(g≈10m/s2)，从60m高空抛物到落地的时间为　 　s.三、解答题：本大题共7小题，共68分.17．计算：（1）12+2−8；（2）(23−1)2−5+25−2.18．下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误：33+2+3−12解：原式=32+23+32−1①=3+23+3−1②=5+23③任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）；任务二：请你写出正确的解答过程。19．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22+2=(1+2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；（2）试着把7+43化成一个完全平方式；20．观察下列等式：①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2；③12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3；…解答下列问题：（1）写一个无理数，使它与2−3的积为有理数，你写出的无理数是　 　；（2）利用你观察到的规律，化简123+11；（3）计算：11+2+12+3+13+2+⋯+12023+2024.21．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台EFGH，其面积为6400平方米，长为128米．（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为2米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积．22． 形如a+b与a−b（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如：因为(3+2)(3−2)=(3)2−(2)2=1，所以3+2与3−2互为有理化因式.（1） 判断5+7与5−7是不是有理化因式，并说明理由；（2） 请直接写出n+1+n的有理化因式；（3） 请比较2025−2024与2024−2023的大小.23．（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为　 　（2）类比以上探究思路，解决如下问题：如图2，正方形EFGH的对角线EG长为3，通过画图写出正方形EFGH的边长．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故15是二次根式；B选项，30，故12是二次根式.故答案为：B.【分析】根据二次根式定义作出判断即可（a（a≥0））.2．【答案】A【解析】【解答】解： ∵二次根式4x−2在有意义∴4x−2≥0∴x≥12故答案为：A【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数大于0，列式为4x−2≥0，解不等式即可解答.3．【答案】D【解析】【解答】解：A选项9=3 ，故A错误；B选项-9在根号里没有意义，故B错误；C选项−9=−3 ，故C错误；D选项±9=±3，故D正确.故选D.【分析】本题考查二次根式的定义与化简规则，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断选项。首先明确二次根式的被开方数必须是非负数，因此B选项中根号内的-9无意义，可直接排除；再根据算术平方根的定义，算术平方根是一个非负的平方根，所以9表示9的算术平方根，结果应为3，而非±3，故A选项错误；对于带负号的根号−9，应先求出9的算术平方根3，再取其相反数，结果为-3，因此C选项错误；最后，±9表示9的两个平方根，即3和-3，所以结果为±3，D选项正确。4．【答案】C【解析】【解答】解：已知|x−3|+y+2=0 ，其中绝对值|x-3|≥0，算术平方根y+2≥0。由于两者之和为0，故每个部分均需为0。即：|x-3|=0，y+2=0，解得：x=3，y=-2。故选：C【分析】根据非负数之和为零的条件（非负数之和为零则每个非负数均为零），可分别求出x和y的值，从而确定正确选项。5．【答案】B【解析】【解答】解：A、12=22，不是最简二次根式，不符合题意；B、3是最简二次根式，符合题意；C、8=22，不是最简二次根式，不符合题意；D、4a2=2a，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：A．13=33，能与3合并，不符合题意；B．8=22，不能与3合并，符合题意；C．12=23，能与3合并，不符合题意；D．−75=−53，能与3合并，不符合题意；故选：B．【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、5与3不能合并，故A选项不符合题意；B、16=4，故B选项不符合题意；C、3×2=6，故C选项不符合题意；D、327=3，故D选项符合题意；故选：D．【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A，5 和 3 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中，16 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ±4，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，a×b=ab，所以 3×2=3×2=6，并非6，C错误；选项D中，因为 33=27，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 327=3，D运算正确。8．【答案】B【解析】【解答】解：12+118÷3=12÷3+118÷3（小明解答正确），12÷3+118÷3=4+154（小丽解答错误），4+16=2+66（小红解答错误），2+136=216（小亮解答正确）；∴小丽和小红解答错误，故选：B．【分析】根据二次根式的四则运算规则，逐步求解即可．9．【答案】A【解析】【解答】解：ba+ab=aba+abb=aba+bab，∵a+b=4，ab=2，∴原式=2×42=22，故选：A．【分析】二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为aba+bab，然后把a+b=4，ab=2代入求值即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：因为b= 23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)=3+1 ，所以a=b， 故答案为：A.【分析】利用分母有理化，可求出b=3+1，然后与a比较即可.11．【答案】A【解析】【解答】解：①0.9x2=0.3x10≠0.3x，不成立，故不符合题意；②32+22=13≠5，不成立，故不符合题意；③(−5)2=5，不成立，故不符合题意；④3与2不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；⑤9x2+3是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意；∴成立的个数为0，故选：A．【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可．12．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，得 AC=BC÷3=123÷3=12(m).故选C.【分析】根据坡比的定义代入数据计算即可.13．【答案】2b−a【解析】【解答】解：由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b＜0 ，∴b2＋(a−b)2=b+b-a=2b-a .故答案为：2b-a.【分析】根据数轴上a，b对应的点的位置进行化简即可.14．【答案】43【解析】【解答】解：∵x=3+1，y=3−1，∴x2−y2=(x+y)(x−y)=23×2=43．故答案为：43．【分析】先将代数式x2−y2变形为x2−y2=(x+y)(x−y)，再将x=3+1，y=3−1代入计算即可.15．【答案】92【解析】【解答】解：据题意得：m=(8−12)×2=22−22×2=322×2=3，n=(8−12)÷2=22−22÷2=322÷2=32，∴mn=3×32=92.故填：92.【分析】根据题意，将“×”“÷ ”代入(8−12)☐2中的“☐”，化简得到m、n的值，最后求出mn的值.16．【答案】23​​​​​​​【解析】【解答】解：当h=60时，t=2×6010=23s ，故答案为：23.【分析】将h=60和g=10代入公式，结合二次根式的性质计算即可.17．【答案】（1）解：12+2−8=23+2−22=23−2．（2）解：(23−1)2−(5+2)(5−2)=12−43+1−(5−4)=12−43+1−1=12−43．【解析】【分析】（1）先根据ab=a⋅b（a≥0，b≥0）将二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果；（2）利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行展开计算，然后再合并同类二次根式（同类二次根式是指被开方数相同的二次根式），从而得到最终结果。（1）解：12+2−8=23+2−22=23−2．（2）解：(23−1)2−(5+2)(5−2)=12−43+1−(5−4)=12−43+1−1=12−43．18．【答案】解：①；原式=(3)2+23+(3)2−2×3×1+1=3+23+3−23+1=7【解析】【解答】解：任务一：33+2+3−12 =3+23+（3−23+1）小雷同学的第 ① 步错误.故答案为： ①【分析】3−12是完全平方式计算为3−23+1，所以小雷同学的第 ① 步错误；二次根式的混合运算先相乘，运用完全平方式计算，再合并同类二次根式计算结果.19．【答案】（1）解：（1）∵a+b3=(m+n3)2，∴a+b3=m2+23mn+3n2，∴a=m2+3n2，b=2mn；（2）解：7+43=4+43+3=2+32．【解析】【分析】（1）先把等号右边的完全平方式展开并合并同类项，再等号左右对应相等即可；（2）完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，因此可把7拆成2与3的平方和，则原式恰好可以转化成2与3的完全平方和公式．20．【答案】（1）2+3（2）解：123+11=23−11(23+11)(23−11)=23−11；（3）解：原式=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+2−3(2+3)(2−3)+⋯+2024−2023(2024+2023)(2024−2023)=2−1+3−2+2−3+⋯+2024−2023=2024−1=2506−1.【解析】【解答】解： （1）由题意可得：2−32+3=22−32=1，结果为有理数，故答案为：2+3；【分析】（1）根据平方差公式即可求解；（2）根据平方差公式，将分子和分母都乘以23−11，即可求解；（3）根据平方差公式将分母有理化，再根据二次根式的混合运算计算即可.21．【答案】（1）解：这个舞台的宽为6400÷128=50=52（米）答：这个舞台的宽为52米.（2）解：装饰后矩形舞台ABCD的总面积为：128+2250+22=82+2252+22=102×72=140（平方米）．答：舞台装饰后的面积是140平方米．【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法求得这个舞台的宽；（2）利用二次根式的混合运算求得舞台装饰后的面积.（1）解：这个舞台的宽为6400÷128=50=52（米）答：这个舞台的宽为52米；（2）解：装饰后矩形舞台ABCD的总面积为128+2250+22=82+2252+22=102×72=140（平方米）．答：舞台装饰后的面积是140平方米．22．【答案】（1）解： 是；因为(5−7)(5+7)=(5)2−(7)2=−2，所以5+7与5−7是有理化因式（2）解：(2) n+1−n或n−n+1（3）解：因为(2025+2024)(2025−2024)=1，(2024+2023)(2024−2023)=1而2025+2024>2024+2023所以2025−20242024+2023，则可比较得到结果.23．【答案】解：如图，∵正方形EFGH是由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形EFGH的面积为：4×12×32×32=92，∴正方形EFGH的边长为：92=323，∴ 正方形EFGH的边长为323.（1）2（2）解：如图，∵正方形EFGH是由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形EFGH的面积为：4×12×32×32=92，∴正方形EFGH的边长为：92=323，∴ 正方形EFGH的边长为323.【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的，∴正方形ABCD的面积为4×12×1×1=2，∴正方形ABCD的边长为2，故答案为：2.【分析】（1）根据正方形ABCD是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形ABCD的面积为4×12×1×1=2，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长为2.（2）仿照（1）可得正方形EFGH是 由四个腰长为1.5的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形EFGH的面积为4×12×32×32=92，进而求出其边长为323．