2026年春沪科版八年级数学下册 17.3 一元二次方程根的判别式（课件）

17.3 一元二次方程根的判别式第 17 章 一元二次方程学习目标1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)符号化语言，提炼出核心表达式 b²－4ac巴比伦人、花剌子模笛卡尔 拉格朗日从具体解法中提炼出“解的存在性与系数关系”的直观认知.术语定型与理论扩展，完成了从“实用解法”到“抽象概念”的升华.追本溯源韦达回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？一元二次方程根的判别式问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，所以此时原方程没有实数根. 两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ = b2 - 4ac.Δ > 0Δ = 0Δ < 03. 判别根的情况，得出结论。1. 化为一般式，确定 a，b，c 的值；根的判别式应用方法2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号；例1 用根的判别式判别下列方程根的情况：解 (1) 因为 Δ = (-3)2 -4×5×( -2) = 49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.(2) 原方程可变形为 25y ² -20y + 4 = 0，因为 Δ = ( -20)² -4×25×4 = 0，所以原方程有两个相等的实数根.(1) 5x² - 3x - 2 = 0； (2) 25y² + 4 = 20y；  1. 不解方程，判断下列方程的根的情况.(1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9；解：(1)这里 a = 3，b = 4，c = -3， ∴ Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 52>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2)将方程整理，得 4x2 - 12x + 9 = 0. ∴ Δ = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根.(3) 7y = 5(y2 + 1).解：将方程整理，得 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴ Δ = (-7)2 - 4×5×5 = -51 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ = b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根。例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0解析：由于方程有两个不相等的实数根，故 Δ > 0，同时二次项系数不能为 0，即 ，k ≠ 0，解得 k > -1 且 k ≠ 0.B1. 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.解析：由题意知，Δ = (-2)2 - 4m≥0，解得 m≤1．m≤12. 不解方程，判断下列方程的根的情况.(1) 2x2 + 3x - 4 = 0; (2) x2 - x + = 0;解：(1) 这里 a = 2，b = 3，c = -4， ∴ Δ = 32 - 4×2×(-4) = 41>0. ∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 这里 a = 1，b = -1，c = ， ∴ Δ = (-1)2 - 4×1× = 0. ∴ 原方程有两个相等的实数根.解：这里 a = 1，b = -1，c = 1， ∴ Δ = ( -1)2 - 4×1×1 = -3 < 0. ∴ 原方程没有实数根.(3) x2 - x + 1 = 0.3. 不解方程，判别关于 x 的方程 的 实数根的情况.解：∴ 原方程一定有两个实数根.能力提升：4. 在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.解：∵ 所给方程有两个相等的实数根，∴ Δ = (b + 2)2 - 4×(6 - b) = b2 + 8b - 20 = 0.解得 b = 2 或 b = -10 (舍去).当 a为底，b为腰时，2 + 2 0 时，方程有两个不相等的实数根Δ < 0 时，方程没有实根Δ = 0 时，方程有两个相等的实根