初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.3 一元二次方程根的判别式教案

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.3 一元二次方程根的判别式教案，共3页。教案主要包含了 教学目标， 教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、 教学目标
1. 熟练掌握运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有根及两根是否相等；
2. 理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
3. 经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性；
4. 通过探索一元二次方程根的判别式与根个数关系，使学生感受到数学知识间的联系，提升数学的学习兴趣.
二、 教学重难点
重点：会利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有根及两根是否相等.
难点：理解为什么能用根的判别式来判断一元二次方程根的情况.
三、教学过程设计
环节一：复习回顾
教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识.
问题1：我们已学的一元二次方程的解法有哪些？
预设: (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.
问题2：一元二次方程的求根公式是怎样的？
预设: 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：（b2－4ac≥0）
设计意图：回顾知识，为本节课的内容打下基础.
环节二 探究新知
教师活动：提出问题，让学生积极思考，为问题2做铺垫.
探究：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得
移项，得
配方，得
即
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
(1)当 b2– 4ac＞0 时，是正实数，方程有两个不相等的实数根.
(2)当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
(3)当b2 – 4ac＜0时，在实数范围内无意义，方程没有实数根.
总结：一元二次方程根的个数由b2-4ac决定.
设计意图：通过研究能否利用直接开平方法解方程，引出判别式，使学生理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况.
总结：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ= b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中Δ=b2-4ac
当Δ＞0，有两个不相等的实数根；
当Δ=0，有两个相等的实数根；
当Δ＜0，没有实数根.
设计意图：经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性.
环节三：应用新知
例1：不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2−3x − 2＝0；
(2)25y2+4＝20y；
(3)2x2+3x+1＝0.
分析：(1)找出a，b，c判断Δ=b2-4ac的正负情况.
(2)将方程先化成一般形式，找出a，b，c，判断Δ= b2-4ac的正负.
(3)找出a，b，c判断Δ= b2-4ac的正负情况.
解：(1)因为∆＝(− 3)2 − 4×5×(− 2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为：25y2 − 20y+4＝0
因为∆＝(− 20)2 − 4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为∆＝(3)2 −4×2×1＝−5＜0，
所以原方程没有实数根.
设计意图：给学生做示范，不解方程如何判断一元二次方程根的情况.
环节四：课堂练习
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 − 5x − 4=0； (2)7t2 − 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=103y.
2.已知关于x的方程x2 − 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
答案：
1.解：(1)因为∆ =(− 5)2 − 4×2×(− 4)=57＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)因为∆=(− 5)2 − 4×7×2= − 31＜0，所以原方程没有实数根.
(3)原方程可变形为x2+x − 3=0，
因为∆=12 − 4×1×(− 3)=13＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)原方程可变形为3y2－103y+25=0，
因为 ∆=(103)2－4×3×25=0，所以原方程有两个相等的实数根.
2.解：因为 ∆=(− 3)2 − 4×1×k=9 − 4k，
∆＞0，即：k94时，方程无实数根.
设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五：课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.