沪科版（2024）八年级下册（2024）17.3 一元二次方程根的判别式评优课ppt课件

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1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)
配方法求方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式：
方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根的条件是什么？
知识点一 一元二次方程根的情况
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
b2 – 4ac 的值有三种情况：
① b2 – 4ac > 0
② b2 – 4ac = 0
③ b2 – 4ac < 0
① 当 b2 – 4ac > 0 时，
因此，方程有两个不相等的实数根：
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
因此，方程有两个相等的实数根：
③ 当 b2 – 4ac < 0 时，
因此，方程没有实数根.
知识点二 一元二次方程根的判别式
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ = b2 – 4ac.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定.
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；（3）
解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式.
（2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.
因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
所以原方程没有实数根.
【教材P35练习 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0；（3）x(x + 1) = 3；（4）
解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0，
（2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0，
（3）x(x + 1) = 3；（4）
（3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0.
因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0，
3．[2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　)A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0
4. 关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　)A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．[2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　　)A．2 B．0 C．－2 D．－4
6．已知关于x的方程ax2－4x－1＝0至少有一个实数解，则a的取值范围是____________．
【点拨】当a＝0时，原方程为－4x－1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2－4x－1＝0是一元二次方程，则当Δ＝(－4)2－4a×(－1)＝16＋4a≥0时，方程有实数解，解得a≥－4.综上，a的取值范围是a≥－4.