江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷（含答案）

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一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知下图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A. 57∘B. 53∘C. 60∘D. 70∘
【答案】A
【解析】略
2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线.则下列结论错误的是( )
A. BF=CFB. ∠BAE=∠EAC
C. ∠C+∠CAD=90∘D. S△BAE=S△EAC
【答案】D
【解析】略
3.如图，平面上有△ACD与△BCE，AD与BE相交于点P.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，则∠BPD的度数为( )
A. 110∘B. 125∘C. 130∘D. 155∘
【答案】C
【解析】略
4.如图，在3×3的网格中，以AB为一边，点P在格点处，使△ABP为等腰三角形的点P有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】当AP=AB时，以点A为圆心、AB长为半径作圆，交网格的格点为P1；
当BP=BA时，以点B为圆心、AB长为半径作圆，交网格的格点为P2，P3，P4；
当AP=PB时，作AB的垂直平分线，与网格的交点不在格点上．
综上可知，使△ABP为等腰三角形的点P有4个．
5.如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线MN，直线MN与AC，BC分别相交于点E，D，连接AD.若AB=3cm，△ABD的周长为9cm，则BC的长为( )
A. 3cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 12cm
【答案】B
【解析】解：由作图可得：DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为9cm，
即AB+BD+AD=9cm，
∵AB=3cm，
∴BD+AD=6cm，
∴BC=BD+CD=BD+AD=6cm．
故选：B．
由作图可得：DE垂直平分AC，由线段垂直平分线的性质得出AD=CD，根据△ABD的周长为9cm，AB=3cm，求出BD+AD=6cm，即可由BC=BD+CD=BD+AD求解．
本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.如图，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点.以下结论：①AD=BE；②∠DOE=α；③△CMN是等边三角形；④连接OC，则OC平分∠AOE.其中正确的结论是( )．
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定有关知识，①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE(SAS)，由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
【解答】
解： ①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE;故 ①正确;
②设CD与BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠CFE=∠DFO，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180∘-∠DOE=180∘-α，故 ②正确;
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=12AD，BN=12BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中
AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC不一定是等边三角形，故 ③不符合题意;
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠CHD=∠ECG=90∘，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，
∴△CGE≌△CHD(AAS)，
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，故 ④正确，
故选A．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为 ．
【答案】4或5
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为5时，
∵4+4=8>5，
∴符合三角形三边关系，则第三边长为4；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为4时，
∵4+5=9>5，
∴符合三角形三边关系，则第三边长为5；
综上所述，第三边长为4或5．
故答案为：4或5．
本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为5.再根据三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断是否满足．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
8.如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，若∠BAD=116°，则∠BAC= °.
【答案】58
【解析】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，∠BAD=116°，
∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×116°=58°，
故答案为：58．
根据轴对称的性质可得∠BAC=∠DAC，结合已知即可求出∠BAC的度数．
本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质，找出相等的角是解题的关键．
9.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为 km．
【答案】5
【解析】解：由题知，
在Rt△ABC中，
∵点M是斜边AB的中点，且AB=10km，
∴CM=12AB=5(km)．
故答案为：5．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB=AC，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为DE(如图乙)，再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为BF(如图丙).原三角形纸片ABC中，∠BAC的度数为 ．
【答案】36°
【解析】解：由折叠得，DA=DB=BC，
∵AB=AC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠ABC，
设∠A=∠ABD=α，
则∠BDC=∠A+∠ABD=2α，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=2α，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+2α=180°，
解得：α=36°，
∴∠BAC=36°，
故答案为：36°．
由折叠得，DA=DB=BC，而AB=AC，则∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠ABC，设∠A=∠ABD=α，则∠BDC=∠A+∠ABD=2α，在△ABC中，由三角形内角和定理得α+2α+2α=180°，即可求解．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，外角定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
11.如图，O是等边△ABC内的一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，连接AO'，则∠AOB= ．
【答案】150°
【解析】∖ 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
又∠OBO'=60°，
∴∠ABO'=∠CBO
∵BO=BO'，
∴△BO'A≌△BOC(SAS)，
∴O'A=OC=10．
如图，连接OO'，则△BOO'是等边三角形，
∴∠BOO'=60°，
∴OO'=OB=8，
在△AOO'中，AO2+OO'2=AO'2，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°．
∴∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°，
故答案为：150°．
证明△BO'A≌△BOC，得AO'=OC=10，即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，可知△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=8，由勾股定理逆定理可判断△AOO'是直角三角形，得∠AOO'=90°，则可得∠AOB=150°．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12.如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG和△CEG的周长和为 ．
【答案】12cm
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴AD=BE=3cm，DE=AB，
∵CE=BC-BE，
∴△ADG与△CEG的周长和为AD+CE+AC+DE=BC+AB+AC=12(cm)，
故答案为：12cm．
先利用平移的性质得到AD=BE，DE=AB，然后计算阴影部分的周长．
本题考查的平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
13.小宇利用尺规在▱ABCD内作出点E，又在BC边上作出点F，作图痕迹如图所示，若EF=2，则AB，CD之间的距离为 ．
【答案】4
【解析】解：过点E作EM⊥CD于点M，ME交BA的延长线于点N．
由作图可知，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∵AB/​/CD，EM⊥CD，
∴EN⊥BA，
∵EF⊥BC，
∴EN=EF=2，EF=EM=2，MN=EN+EM=4，
∴AB，CD之间的距离为4．
故答案为：4．
过点E作EM⊥CD于点M，ME交BA的延长线于点N.利用角平分线的性质定理求出EM=EN=2，可得结论．
本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
14.△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DM交直线BC于点M，交AB于点D，若CA=CM，则∠ABC的度数为 ．
【答案】36°或72°
【解析】解：如图①，
∵DM垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠B=∠BAM，
∵AC=CM，
∴∠CAM=∠CMA，
∴∠ACB=∠CAM+∠CMA=2∠CMA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=2∠CMA，
∵∠B+∠BAM+∠CMA=180°，
∴2∠CMA+2∠CMA+∠CMA=180°，
∴∠CMA=36°，
∴∠ABC=2×36°=72°；
如图②，
∵DM垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠B=∠BAM，
∴∠AMC=∠B+∠BAM=2∠B，
∵CA=CM，
∴∠CAM=∠AMC=2∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠C+∠BAM+∠CAM=180°，
∴∠B+∠B+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠ABC=36°或72°．
故答案为：36°或72°．
分两种情况，如图①，由三角形内角和定理得到2∠CMA+2∠CMA+∠CMA=180°，求出∠CMA=36°，得到∠ABC=72°；如图②，由三角形内角和定理得到∠B+∠B+∠B+2∠B=180°，求出∠B=36°，即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，关键是要分两种情况讨论．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、BD分别平分外角∠EAC、内角∠ABC，以下结论：①AD/​/BC；②∠ADB=12∠ACB；③DB平分∠ADC；④∠ADC+12∠ACB=90°；⑤∠ABC+∠BDC=90°.其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④⑤
【解析】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，故①正确；
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，
∴∠ADB=12∠ACB，故②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
如图，延长BC到F，
∵AD/​/BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ACD=∠DCF，
∴CD平分△ABC的外角∠ACF，
∵AD/​/BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
∴∠ADC=90°-∠ABD，
∵∠ABD=12∠ABC=12∠ACB，
∴∠ADC+12∠ACB=90°，故④正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-12∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，故③错误；
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ABC=∠ACB，
∴2∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠ABC+12∠BAC=90°，
∵∠BDC=∠DCF-∠DBF=12∠ACF-12∠ABC=12∠BAC，
∴∠ABC+∠BDC=90°，故⑤正确，
∴正确的结论是
故答案为：①②④⑤．
根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
本题考查的是三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键．
16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为______．
【答案】18
【解析】解：连接BF，过点C作CH⊥BF，交BF的延长线于H，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF=30°，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，AB=2AC=12，
∵∠ABF=30°，
∴∠BD'H=∠AD'C=60°，
∴△ACD'是等边三角形，
∴AD'=AC=6，
∴BD'=AB-AD'=12-6=6，
∴△BDE的周长为：18，
故答案为：18．
连接BF，过点C作CH⊥BF交BF的延长线于H，由等边三角形的性质可知∠ABF=30°，则点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，已知CD是△ABC的中线，点F在CD上，连接AF，过点B作BE/​/AF交CD的延长线于点E，求证：AF=BE．
【答案】证明过程见解答．
【解析】证明：∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∵BE//AF，
∴∠AFD=∠E，∠FAD=∠DBE，
在△AFD和△BED中，
∠AFD=∠E∠FAD=∠DBEAD=DB，
∴△AFD≌△BED(AAS)，
∴AF=BE．
根据三角形的中线定义可得AD=DB，再利用平行线的性质可得∠AFD=∠E，∠FAD=∠DBE，然后利用AAS证明△AFD≌△BED，从而利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线+线段中点构造全等模型是解题的关键．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是∠ACB内部的一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．
(1)求证：△BCE≌△CAD；
(2)若BE=5，DE=7，BC=13，求△ACD的周长．
【答案】∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E=∠CDA=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠DAC
在△BCE和△CAD中，
∠BCE=∠CAD∠E=∠CDABC=CA，
∴△BCE≌△CAD(AAS)；
30
【解析】(1)证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E=∠CDA=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠DAC
在△BCE和△CAD中，
∠BCE=∠CAD∠E=∠CDABC=CA，
∴△BCE≌△CAD(AAS)；
(2)解：∵△BCE≌△CAD，BE=5，DE=7，BC=13，
∴CD=BE=5，
∴CE=AD=CD+DE=5+7=12，
∵AD⊥CE，
∴∠ACD=90°，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC=AD2+CD2=13，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=13+12+5=30．
(1)由垂直的定义得到∠E=∠CDA=90°，利用三角形内角和定理证明∠BCE=∠DAC，则可利用AAS证明△BCE≌△CAD；
(2)由全等三角形的性质得到CD=BE=5，则CE=AD=CD+DE=5+7=12，再根据勾股定理求出AC=AD2+CD2=13，然后利用三角形周长公式计算即可．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
19.(本小题8分)
在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°.按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形(图中虚线表示折痕)：①折叠三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上，点C落在斜边点E处；②将折叠后的纸片再沿DE折叠．
(1)由步骤①可以得到哪些等量关系？
(2)请证明△AED≌△BED；
(3)按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论．
【答案】AE=AC，ED=CD，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，∠AED=∠C；
证明见解答；
按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
【解析】(1)解：∵折叠三角形纸片ABC，使直角边AC落在斜边AB上，点C落在斜边点E处，
∴AE=AC，ED=CD，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，∠AED=∠C．
(2)证明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠EAD=∠CAD=12∠B=30°，
∴∠EAD=∠B，
∵点E在AB上，且∠AED=∠C=90°，
∴∠AED=∠BED=90°，
在△AED和△BED中，
∠AED=∠BED∠EAD=∠BDE=DE，
∴△AED≌△BED(AAS)．
(3)解：按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形，
理由：当∠B≠30°时，则∠B≠∠12∠BAC，
∵∠EAD=∠CAD=12∠BAC，
∴∠EAD≠∠B，
∴△AED与△BED不全等，
∴按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
(1)由折叠得AE=AC，ED=CD，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，∠AED=∠C；
(2)由∠C=90°，∠B=30°，求得∠BAC=60°，则∠EAD=∠CAD=30°，所以∠EAD=∠B，而∠AED=∠BED=90°，DE=DE，即可根据“AAS”证明△AED≌△BED；
(3)当∠B≠30°时，则∠B≠∠12∠BAC，而∠EAD=∠CAD=12∠BAC，所以∠EAD≠∠B，则△AED与△BED不全等，可知按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠EAD=∠B=30°，∠AED=∠BED=90°，进而证明△AED≌△BED是解题的关键．
20.(本小题6分)
如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
(1)连接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周长；
(2)若PM=PN，求证：OP平分∠AOB．
【答案】(1)解：∵点P与点M关于OA对称，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=15；
(2)证明：∵PN=PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴QP=12PM，PR=12PN，
∴PQ=PR．
又∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
【解析】(1)先根据轴对称的性质可得ME=PE，FN=PF，再根据三角形的周长公式即可得；
(2)先根据轴对称的性质可得QP=12PM，PR=12PN，从而可得Q=PR，再根据角平分线的判定定理即可得证．
本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
21.(本小题6分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【答案】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACO+∠BCO=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，∠BCO=∠ACD，
∴∠ACD+∠ACO=60°，
∴∠DCO=60°，
∵OC=DC，
∴△OCD是等边三角形；
△AOD是直角三角形，理由如下：
由 知△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形．
【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACO+∠BCO=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，∠BCO=∠ACD，
∴∠ACD+∠ACO=60°，
∴∠DCO=60°，
∵OC=DC，
∴△OCD是等边三角形；
(2)解：△AOD是直角三角形，理由如下：
由(1)知△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(1)由等边三角形的性质得到∠ACO+∠BCO=60°，由全等三角形的性质推出OC=DC，∠BCO=∠ACD，得到∠DCO=60°，即可证明△OCD是等边三角形；
(2)由等边三角形的性质得到∠CDO=60°，由全等三角形的性质推出∠ADC=∠BOC=150°，求出∠ADO=90°，判定△AOD是直角三角形．
本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等，等边三角形的判定方法．
22.(本小题6分)
在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD=BD，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．
(1)求证：△ADC≌△FDB；
(2)求证：CE=12BF；
(3)求∠FGD的度数．
【答案】证明见解析；
证明见解析；
67.5°
【解析】(1)证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠ABE=90°，
∴∠ACD=∠ABE=∠FBD，
在△ADC和△FDB中，
∠ADC=∠FDB=90°CD=BD∠ACD=∠FBD，
∴△ADC≌△FDB(ASA)；
(2)证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴AE=CE，
∴CE=12AC．
由(1)知：△ADC≌△FDB，
∴AC=FB，
∴CE=12BF；
(3)解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵CD=BD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∵CD=BD，点H是BC边的中点，
∴DH⊥BC，
∴∠BHG=90°，
∴∠BGH=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠FGD=∠BGH=67.5°．
(1)由等腰三角形的性质得BE⊥AC，再证∠ACD=∠ABE=∠FBD，然后由ASA证明△ADC≌△FDB即可；
(2)由等腰三角形的性质得AE=CE，则CE=12AC.再由全等三角形的性质得AC=FB，即可得出结论；
(3)由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，DH⊥BC，则∠BHG=90°，再由直角三角形的性质得∠BGH=90°-∠CBE=67.5°，即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.(本小题5分)
如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
(1)反向延长射线OB，得到射线OD；
(2)画∠AOD的角平分线OE；
(3)在射线OD上截取OF=OC；
(4)在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
(5)写出你完成(4)的作图依据：______．
【答案】利用直尺画反向延长射线OB，得到射线OD；
利用圆规，直尺画∠AOD的角平分线OE；
利用圆规在射线OD上截取OF=OC；
连接FC交OE于点P，则CP+FP最小；
如图，
两点之间，线段最短
【解析】(1)利用直尺画反向延长射线OB，得到射线OD；
(2)利用圆规，直尺画∠AOD的角平分线OE；
(3)利用圆规在射线OD上截取OF=OC；
(4)连接FC交OE于点P，则CP+FP最小；
如图，
(5)完成(4)的作图依据为：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
(1)利用直尺画反向延长射线OB，得到射线OD；
(2)利用圆规，直尺画∠AOD的角平分线OE；
(3)利用圆规在射线OD上截取OF=OC；
(4)连接FC交OE于点P，则CP+FP最小；
(5)利用两点之间，线段最短的性质解答即可．
本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键．
24.(本小题8分)
如图(1)，∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线．
(1)如图(2)，把三角板的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角板的两条直角边分别与OA，OB垂直，垂足分别为E，F.求证：PE=PF．
(2)如图(3)，把三角板绕点P旋转，三角板的两条直角边分别交OA，OB于点E，F.PE与PF相等吗？请证明你的结论．
【答案】(1)证明：∵三角板的两直角边分别与OA，OB垂直，∴△OEP与△OFP均为直角三角形．
∵OC平分∠AOB，∴PE＝PF．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，OP=OP,PE=PF,
∴Rt△OEP≌Rt△OFP，∴PE＝PF．

(2)解：PE与PF相等．
证明：如图所示，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，分别交OA，OB于点M，N，
则PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠AOB＝90°，PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠MPN＝90°．
又∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＋∠EPN＝90°，∠EPN＋∠NPF＝90°，
则∠MPE＝∠NPF．
在△PME和△PNF中，∠MPE=∠NPF,PM=PN,∠PME=∠PNF,
∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长．
(2) EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】(1)解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝10，AC＝8，
∴AE=12AB=5，AF=12AC=4．
∵AD是BC边上的高，E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE=12AB=5，DF=12AC=4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4＝18．

(2)EF垂直平分AD．
证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵E是AB的中点，∴DE＝AE．
同理可得DF＝AF．
∴E，F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
26.(本小题8分)
已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180∘.过点C作CE⊥AB，垂足为E．
(1)如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；
(2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB，AD与BE之间的等量关系，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN=60∘，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG=1，DF=2，求线段DB的长．
【答案】(1)如图①，过点C作CF⊥AN，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AN，∴CE=CF.
∵∠CBE+∠ADC=180∘，∠CDF+∠ADC=180∘，∴∠CBE=∠CDF.
在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF,∠CEB=∠CFD=90∘,CE=CF,
∴△BCE≌△DCFAAS，∴BC=DC.

(2)AD-AB=2BE，理由如下：如图②，过点C作CF⊥AD，垂足为F.
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180∘，∠ABC+∠CBE=180∘，∴∠CDF=∠CBE.
在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF,∠CEB=∠CFD=90∘,CE=CF,，∴△BCE≌△DCFAAS，∴DF=BE.
∵CF=CE，AC=AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF=AE，
∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，∴AD-AB=2BE.

(3)如图③，在BD上截取BH=BG，连接OH.
∵BH=BG，∠OBH=∠OBG，OB=OB，
∴△OBH≌△OBGSAS，∴∠OHB=∠OGB.
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF.
∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH=∠DAB=60∘，∴∠GOH=120∘，∴∠BOG=∠BOH=60∘，
∴∠DOF=∠BOG=60∘，∴∠DOH=∠DOF.
在△ODH和△ODF中，∠DOH=∠DOF,OD=OD,∠ODH=∠ODF,∴△ODH≌△ODFASA，
∴DH=DF，∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3.

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
27.(本小题8分)
《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，▵ABC中，∠ABC=90∘，BD是斜边AC上的中线．求证：BD=12AC．
分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE=BD，连接AE，可证▵ADE≌▵CDB，再证明▵ABE≌▵BAC，最后得到：BD=12AC．
(1)请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
(2)【模型应用】如图3，在▵ABC中，∠ACB=90∘，延长BC到E，使得CE=12AB，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B=2∠E；
(3)【模型构造】如图4，在▵ABC中，∠B=30∘,∠BAC=15∘，延长BC到D，使得CD=BC，连接AD，求∠D的度数．
【答案】(1)解：如图所示：
延长BD到E，使得DE=BD，连接AE．
​​​​​​​在▵ADE和▵CDB中，AD=CD∠ADE=∠BDCDE=BD，
∴▵ADE≌▵CDBSAS，
∴AE=BC，∠AED=∠CBD，
∴AE/​/BC（内错角相等，两直线平行），
∠ABC+∠BAE=180∘（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠ABC=90∘，
∴∠BAE=90∘，
在▵ABE和▵BAC中，AE=BC∠ABC=∠BAEAB=AB，
∴▵ABE≌▵CBASAS，
∴AC=EB．
∴BD=12BE=12AC，

(2)证明：连接CD．
∵∠ACB=90∘，且D为AB的中点，
CD=BD=12AB，
​​​​​​​∠B=∠DCB，
CE=12AB，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∴∠DCB=2∠E，
∴∠B=2∠E；

(3)解：如图所示，过D作DH⊥AB于H，连接CH．
​​​​​​​∵∠DHB=90∘，且CD=BC，
∴HC=BC=CD．
∴∠CHB=∠B．
∵∠B=30∘．
∴∠CHB=30∘，
∴∠CHD=60∘，
∴▵HCD为等边三角形．
∴CH=DH，∠HCD=60∘，
∵∠BAC=15∘
∴∠ACD=∠B+∠BAC=45∘．
∴∠ACH=∠HCD-∠ACD=15∘，
∴∠ACH=∠CAH．
∴AH=CH=DH．
∴▵AHD为等腰直角三角形．
∠HDA=45∘，
∴∠ADB=∠ADH+∠BDH=105∘．

【解析】1.
利用倍长中线BD，证明▵ADE≌▵DCB，得AE=BC，进而证明▵ABE≌▵BCA得AC=BE即可得证；
2.
连接CD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD=BD=AD，再证明▵CDE与▵BDC是等腰三角形，可得∠CDE=∠E，利用三角形外角的性质可得结论；
3.
作DH⊥AB，利用含30∘角的直角三角形的性质可得CB=CD=DH，证明▵DCH是等边三角形，求出∠ACH=15∘，进而可得AH=DH，根据等腰三角形的性质可得的结论．