江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟试卷（含答案）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新苏科版八年级数学上册第1~5章。
第一部分（选择题 共16分）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国传统文化中蕴含着丰富的轴对称美学，下列具有轴对称图形特征的图案是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：、图形不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，选项不符合题意；
C、图形是轴对称图形，选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，选项不符合题意．
故选：．
利用图形两部分沿对称轴折叠后可重合进行判断．
本题考查了轴对称图形，轴对称的性质，掌握轴对称图形的定义是关键．
2.在平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则，的值分别为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】解：点与关于轴对称，
，，
，，
故选：．
利用“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特点．
3.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；作直线交于点，连接若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由作图可知，是的垂直平分线，
，
．
设，则，
．
，
．
在中，，且，
，
，
，即．
故选：．
先根据作图步骤得出是的垂直平分线，得到，进而推出角的关系，再结合已知条件和三角形内角和定理求解的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
4.下列条件中，不能判断是直角三角形的是( )
A. ：：：：B.
C. D. ，，
【答案】A
【解析】解：、根据：：：：，可得：，是锐角三角形，符合题意；
B、，，可得，能够判断是直角三角形，不符合题意；
C、：：：：，，符合勾股定理的逆定理，能够判断是直角三角形，不符合题意；
D、由，，得，，符合勾股定理的逆定理，能够判断是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
5.已知直线经过点，，其中，则的值可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由条件可知，，
，
，
或，
解得，
的值可能是．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，由题意可知，解得，故的值可能是，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握以上知识点是关键．
6.甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，甲先跑分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离米与甲跑步的时间分钟的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为，故选项不符合题意；
B、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为，故选项不符合题意；
C、因为两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为，故选项不符合题意；
D、两人从同一地点出发，开始距离为，甲先跑分钟，两人距离增加，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小直至为，故选项符合题意．
故选：．
根据题意逐一分析判断即可．
本题考查了函数的图象，解题的关键是明确自变量和函数表示的实际意义．
7.如图，将长方形纸片的沿着折叠点在线段上，且不与，重合，使点落在长方形内部点处，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了角的计算、折叠的性质、角的倍数关系，熟练根据角的关系进行推理和计算是解题的关键．根据折叠的性质可得，求出，然后根据即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得，
．
，
．
故选：．
8.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上若，四边形与面积之和为，则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，作于点，则，
由条件可知，，，
，
≌，
，，
，，，
≌，
，，
，
由条件可知，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
故选：．
作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明≌，由题意得，，证明≌，再证明≌，得出，根据，，通过计算可得．
此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
第二部分（非选择题 共104分）
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.年，神舟十九号载人飞船执行空间站任务期间，某新型科学实验装置的搭载总重量达多千克将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10.一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是 ．
【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
，
这个正数是，
故答案为：．
根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值，从而求出这个正数．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
11.比较大小：
【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据得，再根据不等式性质得，由此即可得出答案．
此题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法与技巧，不等式的性质是解决问题的关键．
12.直线的图象沿轴向下平移个单位后得到的直线解析式为 ．
【答案】
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，直线的图象沿轴向下平移个单位后得到的直线解析式为：．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
13.已知直线：与直线：，且直线与直线交于点，关于，的方程组的解为： ．
【答案】
【解析】解：直线与直线交于点，
关于，的方程组的解为，
故答案为：．
依据题意，可得关于，的方程组的解即为直线与直线交于点的坐标．
本题主要考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
14.如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，，
是的平分线，，，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接，，若，那么的面积是 ．
【答案】
【解析】解：过点作，则，
，
又，
又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，则，先证明≌，得到，得到，再证明，得到，得到，继而可得，再结合题目条件，利用三角形面积公式求出，继而得解．
本题主要考查全等三角形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练运用三角形的中线等分三角形的面积是解答本题的关键．
16.定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”若，，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ．
【答案】

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，的“直角距离”为；
点的坐标为，点为直线上任意一点，
，的“直角距离”的，
当时，；
当时，；
当时，，
，的“直角距离”的最小值为．
故答案为：，．
由点，的坐标，结合“直角距离”的定义，即可求出，的“直角距离”；由点的坐标及点所在直线的解析式，可得出，的“直角距离”为，分，及三种情况，可求出的取值范围或具体的值，比较后可得出结论亦可使用奇点偶段来解决．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，理解“直角距离”的定义并能解决相关问题是解题的关键．
17.如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为，则当是直角三角形时，的值为 ．
【答案】或
【解析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半以及等边三角形的性质，根据题意，，分类讨论当时，当时，两种情况即可求解；
【详解】解：根据题意，
，
当时，
，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，即，
解得：；
综上所述，的值为或，
故答案为：或
18.如图，在中，，，，为上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，连接，为的中点，则线段长的最小值是 ．
【答案】
【解析】本题考查含角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出的最小值是解本题的关键．
首先连接根据线段中垂线性质定理逆定理得出为线段的中垂线，然后得出，而后证明即为定值，得出的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出的最小值．
【详解】解：连接交于，如图：
为中点，
为等边三角形，
是的中垂线，
，
点在过点，与所交角的直线动，
过点作于点，则为所求
，
，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
求的值：．
【答案】解：

；
，
，
，
或．
【解析】先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
根据平方根的定义解方程即可．
本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上．
在图中作出关于直线对称的；
格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个；
在直线上找一点，使的值最小．
【答案】关于直线对称的，如图即为所求； 如图，点即为所求．

【解析】解：关于直线对称的，如图即为所求；
根据垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，如图，
网格中满足条件的点共有个，
故答案为：；
如图，点即为所求；
连接交直线于点，连接，
，
，即的值最小．
分别作出，，的对应点，，即可；
根据线段的垂直平分线性质找出格点即可；
连接交直线于点，连接，此时的值最小．
本题考查了作图轴对称变换，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键．
21.本小题分
如图，点，分别在，上，，，，相交于点，求证：小明的证明过程如下：
小明的证明过程中，第______步出现错误；
请写出正确的证明过程．
【答案】二 ，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，

【解析】解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
．
根据全等三角形的判定定理判断；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，再证明≌，得到．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
22.本小题分
如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点．
求，的值；
求的面积．
若是轴上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)解：把代入得，
，
解得：，；

(2)该一次函数为，
令，则，解得，
该一次函数图象与轴的交点坐标为，；
∴

(3)设，
∵
∴
解得：
∴

【解析】
本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离．
把代入，得到和值，即可得到结论；

令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标；

设，根据建立方程，即可求解．
23.本小题分
如图，在中，，为外一点，连接，，，已知，过点作于点，为延长线上一点．
求证：平分；
若，，求的长．
【答案】见解析
【解析】证明：过点作于，如图：
，
，
在和中，
，
≌，
，
平分．
由得：≌，
，，
，即，
，即：，
．
过点作于，利用证得≌，进而得，根据角平分线的判定即可求证结论．
根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
24.本小题分
元旦节期间，某天小王和小明都乘车从成都到重庆，成都、重庆两地相距约为千米，小王先乘车从成都出发，小明坐动车先以千米小时速度追赶小王．如图，线段表示小王离成都的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示小明离成都的距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
小明到达重庆后，小王距重庆还剩多少千米？
求线段和对应的函数解析式；
求小明从成都出发后多长时间与小王相遇．
【答案】(1)解：由题意可得，小王的速度为：（千米/时），
所以小明到达重庆后，小王距重庆还剩：（千米）；

(2)解：设线段的解析式是，
把代入得：
，
解得：，
则线段的解析式是：，
设的解析式是：，
根据题意得：，
解得：，
则线段函数解析式是：；

(3)解：根据题意得：，
解得：，
（小时），
即小明从成都出发小时后与小王相遇．

【解析】
根据图象求出小王的速度，即可求解；

运用待定系数法即可求解；

求出线段和的交点坐标，即可．
25.本小题分
如图，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足．
求，的值；
如图，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为个单位秒，移动的时间为秒，连接．
若为等腰三角形，求的值；
在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值：若不能，说明理由．
【答案】(1)解:∵,，足，
∴，
∴a=3，b=4

(2)解:①∵AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵OC=t
∴OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，
当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；
当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；
当OB=OA时，t2+9=（t+4）2，解得t=-（舍去）．
综上所述，t=4或t=1；
②能．
∵t＞0，点C在OP上，∠ACB=90°∴只能是∠OBA=90°，
∴OB2+AB2=OA2，即t2+9+25=（t+4）2，解得t=．
∴Rt△ABC在移动的过程中，能使△OAB为直角三角形，此时t=．

【解析】
根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出，，求解即可得出，的值；

首先根据勾股定理算出的长及用含的式子表示出，然后分三类讨论：当时；当时；当时；一一列出方程求解即可得出的值；能．由于，点在上，，故只能是，根据勾股定理得出关于的方程求出的值即可．
26.本小题分
阅读下面材料，并解决问题：
如图等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
我们可以将绕顶点旋转到处，此时≌，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_________；
基本运用
请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图，中，，，、为上的点且，求证：；
能力提升
如图，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值．
【答案】解：；
如图，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即．
如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
在中，，，，
，
，
绕点顺时针方向旋转，
如图所示；
，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
．
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．
将绕点顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
【解答】
解：≌，
，，，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
，则，
为直角三角形，且，
；
故答案为：；
见答案；
见答案．
27.本小题分
如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点．
求四边形的面积；
若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式；
在平面内直线的右侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 的最小值为，直线的解析式为 点的坐标为或
【解析】解：如图，连接，
由得：，
对于，当时，，
点，
，，
四边形的面积的面积；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时，的值最小，且最小值为的值，
点，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
在平面内直线的右侧存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形；理由如下：
如图，当，时，过点作轴，，垂足分别为、，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，
，
，
点的坐标为；
如图，当，时，过点作轴，轴，垂足分别为、，
同理点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或
连接，根据，即可求解；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的值最小，且最小值为的值，根据勾股定理得到，求得的最小值为，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；
分两种情况：当，时；当，时，即可求解．
此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解．证明：，
，第一步
又，
≌第二步
第三步