第16章 函数及其图象小结与复习（课件）2025-2026学年华师大八年级数学下册

小结与复习第 16 章 函数及其图象1. 常量与变量 叫变量， 叫常量.2. 函数定义：取值发生变化的量取值固定不变的量 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.一、函数 3. 函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.列表法解析式法图象法.5. 函数的三种表示方法：4. 描点法画图象的步骤：列表、描点、连线0kx二、一次函数1. 一次函数与正比例函数的概念2. 分段函数 当自变量的取值范围不同时，函数的表达式也不同，这样的函数称为分段函数.第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 3. 一次函数的图象与性质第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 求一次函数表达式的一般步骤：(1) 先设出函数表达式；(2) 根据条件列出关于待定系数的方程（组）；(3) 解方程（组）求出表达式中未知的系数；(4) 把求出的系数代入设的表达式，从而具体写出这个表达式. 这种求表达式的方法叫待定系数法.4. 用待定系数法求一次函数的表达式求 ax+b = 0 (a，b 是常数，a≠0) 的解 x 为何值时，函数y = ax + b 的值为 0？ 从“数”的角度看求 ax+b = 0 (a，b 是　常数，a≠0) 的解 求直线 y = ax+b 与 x 轴交点的横坐标 从“形”的角度看(1) 一次函数与一元一次方程5. 一次函数与方程 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b(k、b为常数，且k≠0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．(2) 一次函数与二元一次方程二元一次方程的解 对应直线上点的坐标三、反比例函数1. 反比例函数的概念定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 .双曲线原点y = xy=－x(2) 反比例函数的性质 一、三二、四减小增大(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为 .推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的三角形的面积为 ．|k|3. 反比例函数的应用利用待定系数法确定反比例函数的解析式：① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；② 代入 x，y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值；③ 写出解析式.考点一 函数的有关概念及图象例1 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到离家 900 米的公园，与朋友聊天 10 分钟后，用 15 分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间 x (分) 与离家距离 y (米) 之间的关系是 ( ) ABCD【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求.D1. 下列变量间的关系不是函数关系的是 ( ) A. 长方形的宽一定，其长与面积B. 正方形的周长与面积C. 等腰三角形的底边长与面积D. 圆的周长与半径C2. 函数 中，自变量 x 的取值范围是 ( )A. x＞3 B. x＜3 C. x≤3 D. x≥-3B3. 星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是 ( )A. 小强从家到公共汽车站步行了 2 千米B. 小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟C. 公共汽车的平均速度是 34 千米/时D. 小强乘公共汽车用了 30 分钟C考点二 一次函数的图象与性质例2 已知函数 y = (2m + 1) x + m - 3；(1) 若该函数是正比例函数，求 m 的值；(2) 若函数的图象平行于直线 y = 3x - 3，求 m 的值；(3) 若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；(4) 若这个函数图象过点 (1，4) ，求这个函数的解析式.【分析】(1) 由函数是正比例函数得 m-3 = 0且2m+1≠0；(2) 由两直线平行得2m+1 = 3；(3) 一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即 2m+1＜0；(4) 代入该点坐标即可求解.解： (1)∵函数是正比例函数， ∴m - 3 = 0，且 2m+1≠0，解得 m = 3.(2)∵函数的图象平行于直线 y = 3x - 3， ∴2m + 1=3，解得 m = 1.(3)∵y 随着 x 的增大而减小，∴2m+1＜0，解得m＜    .(4)∵该函数图象过点（1，4），代入得2m+1+m-3=4， 解得 m = 2，∴该函数的表达式为 y = 5x - 1.方法归纳 一次函数 y = kx + b 的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 b 的值；两条直线平行，则其函数表达式中自变量的系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小.4. 一次函数 y = -5x + 2 的图象不经过第______象限.5. 点（-1，y1），（2，y2）是直线 y = 2x + 1 上两点，则 y1___ y2.三＜6. 填空题： 有下列函数：①　　　　 ， ②　　　，③ ， ④ . 其中函数图象过原点的是_____；函数 y 随 x 的增大而减小的是_____；函数 y 随 x 的增大而增大的是_______；图象经过第一、二、三象限的是______.②③④①②③考点三 一次函数与一次方程例3 如图，一次函数 y1 = x + b 与一次函数 y2 = kx + 4 的图象交于点 P（1，3），则关于 x 的方程 x + b = kx + 4 的解是（ ）yxOy1= x + by2 = kx + 4PA．x = -2 B．x = 0 C．x = 1 D．x = -113C【分析】观察图象，两图象交点为P(1，3)，当 x = 1 时，y1 = y2，据此解题即可. 【答案】C．7. 方程 x + 2 = 0 的解就是函数 y = x + 2 的图象与 ( ) A. x 轴交点的横坐标 B. y 轴交点的横坐标C. x 轴交点的纵坐标 D. 以上都不对8. 两个一次函数 y = -x + 5 和 y = -2x + 8 的图象的交点坐标是 ______.A(3，2)(1) 问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2) 若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元 ?例4 为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．考点四 一次函数的应用(1) 解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50－x)个，依题意，得∴31≤x≤33.∵x 是整数，x 可取 31，32，33，∴可设计三种搭配方案：① A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个；② A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个；③ A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个．方案①需成本：31×800＋19×960 ＝ 43040(元)；方案②需成本：32×800＋18×960 ＝ 42880(元)；方案③需成本：33×800＋17×960 ＝ 42720(元)．（2）方法一：方法二：成本为y＝800x＋960(50－x) ＝ －160x＋48000(31≤x≤33)．根据一次函数的性质，-160＜0， y 随 x 的增大而减小，故当 x ＝ 33 时，y 取得最小值为33×800＋17×960 ＝ 42720(元)．即最低成本是 42720 元． 用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的函数式或方程，若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.方法总结9. 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升)与行驶里程 x (千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋35，将(160，25)代入，得 160k＋35 ＝25，解得 k＝ ，∴一次函数的表达式为 y ＝ x＋35.再将 x ＝ 240 代入 y＝ x＋35，得 y＝ ×240＋35 ＝ 20，即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升． 10. 小星以 2 米/秒的速度起跑后，先匀速跑 5 秒，然后突然把速度提高 4 米/秒，又匀速跑 5 秒.试写出这段时间里他的跑步路程 s（单位：米）随跑步时间 x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.解：依题意得s ={2x(0≤x≤5) 10+6(x-5) (5