初中数学浙教版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教学设计

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用教学设计，共7页。
课程基本信息
学科
初中数学
年级
七年级
学期
秋季
课题
5.5一元一次方程的应用（第一课时）
教学目标
1. 核心目标：经历对实际问题中量的分析，用未知数建立方程表示问题中的数量关系，求出结果解决问题的过程，感知一元一次方程建模的基本过程，培养模型观念。
2. 表现性目标：
（1）强化建模意识：借助列算式与列方程解决实际问题的比较，认识到利用方程解决问题的优势与必要性，初步建立建方程模型解决问题的意识
（2）学会审题：能找出部分量之和等于总量、工程问题、毛利率三类典型实际问题中的数量分析及其关系，用文字进行表示，初步学会列表梳理法。
（3）学会建模：能在选择一个未知量设元后，准确表示其他未知量，再根据等量关系列一元一次方程，通过选择不同未知量可列得不同方程的过程感受，掌握适当选择未知量、建方程模型的技巧。
（4）学会求解验证：能正确求解方程，并能从方程解的概念和实际情形两个维度进行结果的验证反思。
教学内容
教学重点：
掌握并运用建立一元一次方程模型解决实际问题的一般过程。
教学难点：
1. 会选择一个合适的未知量表达实际问题中的其他未知量及其关系。
2. 学会借助表格对实际问题中的数量技巧关系进行数量。
教学过程
情境引入，提出问题
2023年9月23日至10月8日，中国第三次举办的亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，‌第19届亚运会在杭州成功举行。本次杭州亚运会以“中国新时代·杭州新亚运”为定位，旨在展现“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”，共设置了40个大项目，其中既有田径、游泳、篮球、足球等传统的奥林匹克项目，也有新增的如电子竞技和霹雳舞等新兴体育的非奥林匹克项目，体现了亚运会对于多元化体育项目的包容和支持‌。
已知奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个，你知道其中奥运项目开设了多少个吗？
思考1：你能利用小学学过的知识，直接列出算式解决吗？
思考2：你能利用本章学习的方程知识，寻找问题中的未知数和相等关系，列出方程并求解吗？
思考3：请比较以上两种方法，你觉得用一元一次方程解决比列算式解决有什么优势？
通过以上问题的解决可以发现运用一元一次方程可以解决现实中遇到的问题，可以将问题中的未知量明确化，更直接的反映问题中各量之间的数学关系，使得解题过程更加条理清晰，具有更强的逻辑性，本节课开始将深度体验一元一次方程解决实际问题带来的灵活性。
任务驱动，尝试探究
问题1：每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25800元。问：这场演出共售出学生票多少张？
任务1：请用列方程方法解决以上问题。如有困难，可借助学习任务单，先完成任务单中的以下问题：
（1）上面的问题中有哪些量？哪些已知？哪些未知？
（2）未知量可以向已知量转化吗？你是如何思考的？
（3）量与量之间有哪些关系？采取适当的方式表达。
请写出你的解答过程：
解：设这场演出售出学生票x张，则售出全价票(966—x)张
根据题意，得(966-x)×30+×30×x=25800。
解这个方程，得x=212。
检验：x=212是方程的解，且符合题意。
答：这场演出共售出学生票212张。
任务2：回顾你思考和解决的过程，请尝试归纳运用方程解决以上问题的一般过程。
提示：请以“老师”的角色入手，从看到题目，读题后开始思考的那一刻开始归纳，用尽可能简洁、规范、易懂的语言归纳成步骤。如有困难，请参考课件中老师给的步骤线进行归纳。
以上步骤具化为：
审题：分析题意，找题中的数量及其关系。
设元：选择一个适当的未知量用字母表示。
列方程：根据相等关系列出方程。
解方程：求出未知数的值。
检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
请运用以上步骤，列方程完成以下练习。
练习：某商店一款无线耳机进价提高30%后标价，再优惠15元销售，能获得20%的毛利率（毛利率-售价−进价售价）。销售一幅该款耳机所得毛利润为多少元？
分析数量及其关系有：
标价=进价×(1+30%);
售价=标价-15;
售价×毛利率=售价一进价；
毛利涧=售价一进价。
由该相等关系可知售价和标价都可以由进价转化，因此可以设进价为x元，用含x的代数式表示售价和标价后，得到方程，求解检验后解决问题，具体解答过程如下：
解：设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为[(1+30%)x—15]元。根据题意，得(1+30%)x—15-x=[(1+30%)x—15]×20%,解得x=300。
所获得的毛利润为300×30%—15=75(元)。
答：销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。
解决问题，深化理解
问题2.某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花30个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲乙两个班组平均每月各施工多少米？
你能运用归纳的步骤解决以上问题吗？请将分析和解决的过程写在学习任务单上。
分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系：
甲班组的施工总长度+乙班组的施工总长度=隧道全长；施工总长度=平均每月施工的长度×施工月数；
甲班组每月施工长度=乙班组每月施工长度+8。
解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施工(x+8)米，由题意，得30x+30(x+8)=2400。
解这个方程，得x=36。
检验：x=36是方程的解，且符合题意。
甲班组每月施工长度为36+8=44(米)。
答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米。
思考1：除了以上做法，是否有不同的解答？
不同解法2：设甲班组每月施工x米，则乙班组每月施工（x-8）米，由题意得方程30（x-8）+30x=2400.
不同解法3：设甲共施工a米，由题意得方程a30−2400−a30=8，解得a=1320。甲班组每月施工1320÷30=44（米）。
思考2：比较以上3种解法，你能找找它们之间的共性与差异吗？
共性：解题的一般步骤一样。
差异：选择的未知量不同时，列得的方程会不同，其中解法3的设法列得的方程较解法1和2更繁琐，因此选择合适的未知量进行设元很重要；等量关系运用时，一个等量关系用于表示未知量的关系，那么另一个等量关系用于列方程。
思考3：结合问题的解决，对于审题分析数量及其关系的环节，用文字进行数量关系的表达能较为清晰的梳理问题中的等量关系，但文字量多，能否有更为简洁直观的呈现方式？
第一步：把所有的已知量和关系填入表格：
工作效率
时间（天）
总量
甲班组
30
乙班组
30
等量关系
甲效率-乙效率=8
共2400
第二步：选择一个合适的未知量设为x，依次填入以上表格，得
小结：将问题中的所有量用表格进行梳理可以更加直观简洁。
思考4：按此方式，回到问题1，你能否用表格方式对数量及其关系进行梳理？
四、拓展延伸，应用推广
问题2变式：某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲班组先施工20月后，乙班组从隧道另一端加入一起施工。已知甲班组平均每月施工44米，乙班组比甲班组平均每月少施工8米。问：甲班组施工多久？
解决以上变式问题，同样背景基本数量关系不变，我们只需对以上表格进行更改：
工作效率
时间（天）
总量
甲班组
44
乙班组
36
等量关系
甲效率-乙效率=8
甲比乙多20个月
共2400
分析未知量，发现若时间用字母x表示，其他未知量都可以用含x的代数式表示，根据总量为2400米可以列得方程。
解答如下：
解：设乙班组施工x个月，根据题意得44（x+20)+36x=2400，
解得x=19.
经检验，x=19是原方程的解，且符合题意。
答：乙班组施工19个月。
综合以上问题解决，结合实际背景、数量及其关系梳理形成的表格，请思考以下问题：
观察表格的横纵标目，已知量、未知量填写的先后顺序，你有什么发现？
关于如何进行列表梳理，你有什么建议？
关于如何利用所列的表格，列方程解决问题，你有什么建议？
观察三个问题中已知量和未知量的个数、未知量的关系呈现方式，你有什么发现？
一般地，列一元一次方程解决部分量之和等于总量或工程类的实际问题时，我们将可以先借助表格梳理所有数量及其关系，可将实际问题中的基本等量关系作为表格的横标目，常见的基本等量关系有工程问题的工作效率×工作时间=工作总量，计价问题中的单价×数量=总价，行程问题中的速度×时间=路程等，再将实际问题涉及的不同对象，如甲乙丙、ABC等列于纵标目，等量关系写于最后一行，再依次填写已知量、关键未知量，其他未知量，最后根据其中一个等量关系写出方程求解。
变式拓展1：请编写一道实际应用题，要求所列的方程为15（x+2)+45x=180.
变式拓展2：对问题1的进一步思考
问题1（原题）：每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入 25800 元。问：这场演出共售出学生票多少张？
思考1：收入是否可能为25700元？
思考2：将条件“某场演出共售出966张票，收入 25800 元。”改为“某场演出增售团体票，团体票享受6折优惠。若已知该场演出共售出1000张票，售出的学生票数量是全价票的2倍，共收入19200元”，问：这场演出共售出学生票多少张？
思考3：在思考2的背景下，收入可能为20000元吗？17400元呢？若收入m元，你能确定m的取值范围吗？
课堂小结：通过本节课的学习，请回答以下问题：
（1）除了本节课中涉及的销售、工程类的部分量之和等于总量的情境问题解决，你还能列方程解决哪些问题？
（2）对于列方程解决问题，你有哪些认识？
本节课，我们从实际问题出发，在小学利用列算式解决的基础上，感受了如何建立一元一次方程模型来解决，经历了审题、设元、列方程、求解、检验的步骤及其运用，通过不同问题解决的比较，感悟到可以借助表格更好梳理问题、多样设元会带来不同方程及解法，初步学会如何列表，在后续的学习中，我们会进一步感受方程解决实际问题带来的灵活性。