期末复习必考选填压轴题十七大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

这是一份期末复习必考选填压轴题十七大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版），共18页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29448" 【题型1 幂的运算的逆用】 PAGEREF _Tc29448 \h 1
\l "_Tc29924" 【题型2 由整式乘法求几何图形的面积】 PAGEREF _Tc29924 \h 3
\l "_Tc18612" 【题型3 由乘法公式求值】 PAGEREF _Tc18612 \h 8
\l "_Tc8713" 【题型4 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc8713 \h 11
\l "_Tc13548" 【题型5 平行线中的旋转问题】 PAGEREF _Tc13548 \h 15
\l "_Tc2068" 【题型6 平行线中的动点问题】 PAGEREF _Tc2068 \h 23
\l "_Tc29140" 【题型7 平行线中的定值问题】 PAGEREF _Tc29140 \h 29
\l "_Tc14037" 【题型8 与三角板有关的平行问题】 PAGEREF _Tc14037 \h 34
\l "_Tc7487" 【题型9 与三角形的边有关的计算】 PAGEREF _Tc7487 \h 40
\l "_Tc21806" 【题型10 与三角形的角有关的计算】 PAGEREF _Tc21806 \h 45
\l "_Tc2446" 【题型11 利用全等三角形的解决网格图形】 PAGEREF _Tc2446 \h 49
\l "_Tc16086" 【题型12 全等三角形的判定与性质进行求解】 PAGEREF _Tc16086 \h 53
\l "_Tc13044" 【题型13 轴对称及其性质】 PAGEREF _Tc13044 \h 58
\l "_Tc14634" 【题型14 简单的轴对称图形】 PAGEREF _Tc14634 \h 62
\l "_Tc25478" 【题型15 新定义问题】 PAGEREF _Tc25478 \h 69
\l "_Tc16238" 【题型16 规律探究】 PAGEREF _Tc16238 \h 72
\l "_Tc9455" 【题型17 多结论问题】 PAGEREF _Tc9455 \h 76
【题型1 幂的运算的逆用】
【例1】（24-25七年级·江苏·期末）设m，n是正整数，且m>n，若9m与9n的末两位数字相同，则m−n的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由题意可知9m−9n=9n9m−n−1是100的倍数，从而分析得到9m−n的末尾数字是01，设m−n=2t（t为正整数），由9m−n=92t=92t=81t，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，9m−9n=9n9m−n−1是100的倍数
∵9n与100互质
∴9m−n−1是100的倍数
∴9m−n的末尾数字是01
∴m−n的数值一定是偶数，且m，n是正整数，m>n
设：m−n=2t（t为正整数）
则：9m−n=92t=92t=81t
∵812的末尾两位数字为61，813的末尾两位数字为41，814的末尾两位数字为21，815末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴m−n的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
【变式1-1】（24-25七年级·山东枣庄·阶段练习）当a0，
故选A．
【变式1-2】（24-25七年级·安徽滁州·期中）已知x=28+211．
（1）若x=m2，则自然数m= ；
（2）若x+2n是一个完全平方数，则自然数n= ．
【答案】 48 12
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用；
（1）根据题意得出281+23=m2，进而即可求解；
（2）根据完全平方公式得出x+2n=242+2⋅24⋅26+2n，进而得出2n=262，即可求解．
【详解】（1）因为x=m2，所以28+211=m2，
所以281+23=m2，所以162×32=m2，
所以482=m2，
所以自然数m=48；
故答案为：48．
（2）x+2n=242+2⋅24⋅26+2n，
∴只有2n=262时，原式为完全平方数，即自然数n=12.
故答案为：12．
【变式1-3】（24-25七年级·四川眉山·阶段练习）如果整数x，y，z满足158x⋅169y⋅2710z=16，则代数式2x+yx−y的值为 ．
【答案】−4
【分析】先将158x⋅169y⋅2710z=16代为3x⋅5x23x⋅24y32y⋅33z2z⋅5z=24，利用同底数幂的除法可得5x−z⋅3x+3z−2y⋅24y−3x−z=24，由于结果底数是2，故左边5和3的指数应为0，左边和右边2的指数相等，由此可得方程组x−z=0x+3z−2y=04y−3x−z=4，解方程组求出x，y，z的值，代入2x+yx−y即可求解．
【详解】解：158x⋅169y⋅2710z=16，
则3x⋅5x23x⋅24y32y⋅33z2z⋅5z=24，
5x−z⋅3x+3z−2y⋅24y−3x−z=24，
故x−z=0x+3z−2y=04y−3x−z=4，
解得：x=1y=2z=1，
因此2x+yx−y=2+21−2=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、解三元一次方程组等知识点，解题的关键是通过对原式变形得到关于x，y，z的方程组．
【题型2 由整式乘法求几何图形的面积】
【例2】（24-25七年级·江苏无锡·阶段练习）如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y−15；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−y+5；③阴影A和阴影B的周长之和与y值无关；④当x=25时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．① ③ ④B．② ④C．① ③D．① ④
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y−15)cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(2x+5−y)cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2(2x+5)，可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为xy−25y+375=375cm2，代入x=25可得出说法④正确．
【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y−3×5=(y−15)cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为(y−15)cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x−2×5=(x−10)cm，阴影B的较短边为x−(y−15)=(x−y+15)cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−10+x−y+15=(2x+5−y)cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为(y−15)cm，较短边为(x−10)cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为(x−y+15)cm，
∴阴影A的周长为2(y−15+x−10)=2(x+y−25)，阴影B的周长为2(15+x−y+15)=2(x−y+30)，
∴阴影A和阴影B的周长之和为2(x+y−25)+2(x−y+30)=2(2x+5)，
∴阴影A和阴影B的周长之和与y值无关，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为(y−15)cm，较短边为(x−10)cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为(x−y+15)cm，
∴阴影A的面积为(y−15)(x−10)=(xy−15x−10y+150)cm2，阴影B的面积为15(x−y+15)=(15x−15y+225) cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy−15x−10y+150+15x−15y+225=(xy−25y+375)cm2，
当x=25时，xy−25y+375=375cm2，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：A．
【变式2-1】（24-25七年级·湖南岳阳·阶段练习）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD−AB=2时，S2−S1的值为 ．（用a、b的代数式表示）
【答案】2b
【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设AB=x，则AD=x+2，根据图形得出S2−S1，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设AB=x，则AD=x+2，
S2−S1
=(x−a)(x+2−b)+(x+2−a)a−(x+2)(x−a)+(x+2−a)(a−b)
=(x2+2x−bx−ax−2a+ab+ax+2a−a2)−(x2−ax+2x−2a+ax−bx+2a−2b−a2+ab) =x2+2x−bx−ax−2a+ab+ax+2a−a2−x2+ax−2x+2a−ax+bx−2a+2b+a2−ab =2b
故答案为：2b．
【变式2-2】（24-25七年级·浙江丽水·期末）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．AB=a，CD=b，记图①中的阴影部分面积为S1，图②中的阴影部分面积为S2．
（1）若a=5，b=3，则S1的值是 ；
（2）若S1=7，S2=454，则ab−ba的值是 ．
【答案】 20 2435
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为a−b=2，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得2a（a−b）=2a2−2ab=7，a2−a−b2=2ab−b2=454，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：（1）∵a=5，b=3，
∴乙正方形的边长为a−b=2，
∴S1=2×5×2=20，
故答案为：20；
（2）∵S1=7，
∴2a（a−b）=2a2−2ab=7，
∵S2=454，
∴a2−a−b2=2ab−b2=454，
∴S1S2=2a2−2ab2ab−b2=2845，
整理，得45a2−73ab+14b2=0，
即5a−7b9a−2b=0，
∴5a−7b=0或9a−2b=0，
∴a=75b或a=29b（舍去）
∴ab−ba=75−57=2435，
故答案为：2435．

【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式2-3】（24-25七年级·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x)和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x(4−x)=22−(2−x)2，所以，当x=2时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式(10−x)(12x+3)的最大值为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式10−x12x+3化为1210−xx+6，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出10−xx+6的最大值，进而求出10−x12x+3的最大值．
【详解】解：依题意有10−x12x+3=1210−xx+6，
当−6