2025-2026学年上海市宝山区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市宝山区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知，下列等式中正确的是
A．B．
C．D．
2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
3．（4分）已知，则下列判断错误的是
A．B．
C．与的方向相反D．
4．（4分）下列各组图形不一定相似的是
A．两个等腰直角三角形
B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一个角是的两个直角三角形
5．（4分）如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为
A．15B．10C．7.5D．5
6．（4分）在中，，．下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是
A．2B．4C．D．
二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为9厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 千米．
8．（4分）计算， ．
9．（4分）已知点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，那么线段 ．
10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的对应中线的比值为 ．
11．（4分）如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为 ．（精确到
（参考数据：，，．
12．（4分）如图，点是△的重心，，，那么的长为 ．
13．（4分）在梯形中，，，是腰的中点，联结．如果设，，那么 （含、的式子表示）．
14．（4分）某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 米．
15．（4分）在等腰中，，如果，那么 ．
16．（4分）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为 ．
17．（4分）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为 ．
18．（4分）如图，在矩形中，点是边上的点，，交边于点，联结、，如果，那么 ．
三．（本大题共8题，满分78分，第19-22题，每题10分，第23-24题，每题12分，第25题14分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，求、的长．
21．（10分）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度．（结果保留根号）（参考数据：，，
23．（12分）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．（12分）已知一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如果直线经过点，试问在线段上是否存在点，使△与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设线段交轴于点，试写出与的数量关系，并说明理由．
25．（14分）如图，在中，，，，点为射线上一点，联结，过点作分别交射线、于点、，联结，过点作，交直线于点．
（1）当点在的延长线上时，如果，求；
（2）当点在的延长线上时，设，，求关于的函数关系式（不需要写函数的定义域）；
（3）如果，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知，下列等式中正确的是
A．B．
C．D．
解：，
．
故选：．
2．（4分）已知△中，，，，那么下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
解：，，，
，
．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，故此选项正确．
故选：．
3．（4分）已知，则下列判断错误的是
A．B．
C．与的方向相反D．
解：、由可得，此选项正确；
、令，则由知，，即，此选项正确；
、由可得与的方向相反，此选项正确；
、由知，则，此选项错误；
故选：．
4．（4分）下列各组图形不一定相似的是
A．两个等腰直角三角形
B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一个角是的两个直角三角形
解：、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确；
、各有一个角是的两个等腰三角形，的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确；
、各有一个角是的两个等腰三角形，一个三角形的角可能是底角，另一个三角形的角可能是顶角，所以对应角不一定相等，不一定相似，故错误；
、各有一个角是的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确．
故选：．
5．（4分）如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为
A．15B．10C．7.5D．5
解：，，
，
，
，
，
的面积为15，
的面积，
故选：．
6．（4分）在中，，．下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是
A．2B．4C．D．
解：如图，过点作于点．
在中，，
观察图形可知，当或时，三角形唯一确定，
故时，三角形不能唯一确定，
故选：．
二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为9厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 450 千米．
解：图上距离为9厘米，实际距离为，
，
故答案为：450．
8．（4分）计算， ．
解：原式
，
故答案为：．
9．（4分）已知点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，那么线段 厘米 ．
解：点是线段上的黄金分割点，，线段厘米，
厘米，
故答案为：厘米．
10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的对应中线的比值为 ．
解：设相似比为，则面积比为，已知面积比为，即，
所以；
对应中线的比等于相似比，故为；
故答案为：．
11．（4分）如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为 1.70 ．（精确到
（参考数据：，，．
解：根据题意列式得：，即玲玲的身高为，
故答案为：1.70．
12．（4分）如图，点是△的重心，，，那么的长为 10 ．
解：由重心性质可知，点是的中点，
由条件可得，
；
故答案为：10．
13．（4分）在梯形中，，，是腰的中点，联结．如果设，，那么 （含、的式子表示）．
解：，，，
，
是腰的中点，，
，
．
故答案为：．
14．（4分）某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 2.5 米．
解：设顾客离地面的高度为米，则水平宽度为米，
由勾股定理，得，
解得：（舍去负值）；
故答案为：2.5．
15．（4分）在等腰中，，如果，那么 ．
解：过点作于点，过点作于点，
，
，，
设，，
由于，
，
，
，
由勾股定理可知：，
，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，已知正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积为12，那么的长为 2.4 ．
解：作于，交于，如图所示：
的面积，，
，
设正方形的边长为．
由正方形得，，
即，
，
．
，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
解得．
故正方的边长为2.4，
故答案为：2.4．
17．（4分）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在中，为钝角，，，如果是特征三角形，那么线段的长为 ．
解：由题意可分：①设，，则在上截取一点，使得，如图所示：
，
，
，
为钝角，故不存在；
②设，，过点作于点，过点作于点，如图所示：
是特征三角形，即，且，
，
平分，
，
，
，
设，，，则有，
，
，
在中，由勾股定理得，
解得：或（舍去），
；
故答案为：．
18．（4分）如图，在矩形中，点是边上的点，，交边于点，联结、，如果，那么 ．
解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，，
△△，
，
，，
，
，
设，，
，
，
故答案为：．
三．（本大题共8题，满分78分，第19-22题，每题10分，第23-24题，每题12分，第25题14分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，求、的长．
解：过作于，则，
，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
设，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
即，．
方法
，是的中线，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
由等积法可得，
解得．
21．（10分）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：在中，，是斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度．（结果保留根号）（参考数据：，，
解：过点作于点，则．
在中，，
，
，
，
．
在中，
，
（米，
（米，
（米．
答：这棵大树原来的高度是米．
23．（12分）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）于点，
，
点是的中点，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
，
．
24．（12分）已知一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如果直线经过点，试问在线段上是否存在点，使△与△相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设线段交轴于点，试写出与的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图，一次函数的图象经过点，与轴正半轴交于点，且．过点作轴于点，
，
当时，得：，
，
，
，
，
，
解得：，
，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）在线段上存在点，使△与△相似；理由如下：
如图2，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
，，，
△△，
，即，
，
解得：，
；
（3）；理由如下：
如图3，
由（2）可知：△△，，，直线的解析式为，
轴，，，
，
，
，
△△，
，
，
．
25．（14分）如图，在中，，，，点为射线上一点，联结，过点作分别交射线、于点、，联结，过点作，交直线于点．
（1）当点在的延长线上时，如果，求；
（2）当点在的延长线上时，设，，求关于的函数关系式（不需要写函数的定义域）；
（3）如果，求的长．
解：（1），，，
设，，
，
，
即，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
．
，
，
，
；
（3）①当点在的延长线上时，如图1，
，，，
，
，
，
，，
，
，
设，，
，
解得，
即．
同理，
，
，
．
．
②当点在的边上时，如图2，
，，，
．
，
，
，
，
，
同理，
，
．
．
综合以上可得的长为或．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
D
C
D
A