2025-2026学年上海市金山区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市金山区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知△与△相似，又，，那么不可能是
A．B．C．D．
2．（4分）在中，，，则等于
A．B．C．D．
3．（4分）已知：在△中，点、分别是边、上的点，那么下列条件中，不能判断的是
A．B．C．D．
4．（4分）如果，，那么下列说法正确的是
A．B．是与方向相同的单位向量
C．D．
5．（4分）如图，学校“量子幻影”小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度是米．
A．B．C．D．
6．（4分）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是
A．与相似B．与相似
C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么的值是 ．
8．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约 厘米．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
10．（4分）矩形中，，、分别为、中点，如果矩形与矩形相似，那么它们相似比的比值为 ．
11．（4分）一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长180厘米的木条做一个与模型相似的三角形，木条无剩余，那么所制作的三角形的最短边长为 厘米．
12．（4分）某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡向下滑行了104米，那么运动员下降的垂直高度为 米．
13．（4分）如图，，如果，，，那么的长是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点，，，点在反比例函数的图象上且在第一象限，与边相交于点，设△的面积为，△的面积为，如果，那么点的坐标是 ．
15．（4分）如图，等边的顶点在等边的边上滑动，与交于点，当时，的值是 ．
16．（4分）如图，在四边形中，，，，，对角线、交于点，，那么的值为 ．
17．（4分）如图，在△中，，，将△绕着点逆时针旋转到△，平分交、于点、．如果，那么的值为 ．
18．（4分）阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“友好点”．
问题：如图，矩形中，，，点、分别在边、上，且，连结，设点是点关于线段的“友好点”，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
20．已知：如图，在△中，点是边上一点，且，设，．
（1） ；（用向量、表示）；
（2）作出向量分别在、上的分向量．
21．如图，在△中，，，过点作，垂足为点．
（1）求的值；
（2）点是延长线上一点，联结，当时，求线段的长．
22．随着对相似三角形、锐角三角比等知识的掌握，同学们跃跃欲试，希望学以致用．我校数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，策划了一次特别的实践活动一测量那根每日在朝阳中升起、我们最为熟悉的校园旗杆的高度．实践过程见表．
根据表格信息，求旗杆的大致高度．（结果保留整数）
23．在△中，，点在的延长线上，点在线段上，直线交线段于点，．
（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，如果，，求证：四边形是菱形．
24．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点，，且与反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式和的值；
（2）在此反比例函数图象上且在第一象限，如果，求点的坐标；
（3）将点、沿着射线分别平移到对应点、，点在此反比例函数图象上，如果△是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标．（直接写出答案）
25．在△中，，，，为边上一动点（点与点、不重合）．
（1）点在的延长线上，如果，且时，求的值；
（2）点是边一个动点，如果，设，试用表示线段的长；
（3）将△沿着直线翻折，点的对应点为，如果，求的值．（直接写出答案）
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知△与△相似，又，，那么不可能是
A．B．C．D．
解：△△，，，
或或，
故选：．
2．（4分）在中，，，则等于
A．B．C．D．
解：如图：
设，
，
，，
．
故选：．
3．（4分）已知：在△中，点、分别是边、上的点，那么下列条件中，不能判断的是
A．B．C．D．
解：如图，
若使线段，则其对应边必成比例，
即，，，
选项不能判断，
故选项符合题意．
故选：．
4．（4分）如果，，那么下列说法正确的是
A．B．是与方向相同的单位向量
C．D．
解：、由得到，故本选项说法错误．
、由得到是与的方向相反，故本选项说法错误．
、由得到，故本选项说法错误．
、由得到，故本选项说法正确．
故选：．
5．（4分）如图，学校“量子幻影”小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度是米．
A．B．C．D．
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，米，，，
点是的中点，
（米，
米，米，
在△中，（米，
在△中，（米，
米，
号楼的高度是米，
故选：．
6．（4分）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是
A．与相似B．与相似
C．D．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选项，，正确，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么的值是 ．
解：，
．
故答案为：．
8．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约 4 厘米．
解：设上海与杭州的图上距离为厘米．
200千米厘米，
，
解得．
故答案为4．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
解：根据黄金分割定义，得
解得舍去）
故答案为．
10．（4分）矩形中，，、分别为、中点，如果矩形与矩形相似，那么它们相似比的比值为 ．
解：如图：
是的中点，
，
矩形与矩形相似，
，
即，
，
，
，
它们相似比的比值为，
故答案为：．
11．（4分）一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长180厘米的木条做一个与模型相似的三角形，木条无剩余，那么所制作的三角形的最短边长为 40 厘米．
解：设所制作的三角形的三条边为厘米、厘米、厘米，其中，
该三角形与模型相似的三角形，
，则，
又所制作的三角形是以一根长180厘米的木条所制作的，
，
同理可得，，
故答案为：40．
12．（4分）某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡向下滑行了104米，那么运动员下降的垂直高度为 40 米．
解：设运动员下降的垂直高度为米，
斜坡的坡比为，
运动员下降的水平宽度为米，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
则运动员下降的垂直高度为40米，
故答案为：40．
13．（4分）如图，，如果，，，那么的长是 12 ．
解：由题知，
因为，，
所以．
连接交于点，
因为，
所以△△，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以△△，
所以，
所以，
则．
故答案为：12．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点，，，点在反比例函数的图象上且在第一象限，与边相交于点，设△的面积为，△的面积为，如果，那么点的坐标是 ．
解：如图，
，，
，
，
即，
解得，
；
故答案为：；
15．（4分）如图，等边的顶点在等边的边上滑动，与交于点，当时，的值是 ．
解：，
可以假设，，则，
与都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（4分）如图，在四边形中，，，，，对角线、交于点，，那么的值为 ．
解：，，
，
．
，
，
，
△△，
，即，
，
解得：（舍去负值），
，
故答案为：．
17．（4分）如图，在△中，，，将△绕着点逆时针旋转到△，平分交、于点、．如果，那么的值为 ．
解：，，
，
由旋转的性质可知，，
平分，
，
，
，
△△，
，
．
故答案为：．
18．（4分）阅读：对于线段与点（点与不在同一直线上），如果同一平面内点满足射线与线段交于点，且，那么称点为点关于线段的“友好点”．
问题：如图，矩形中，，，点、分别在边、上，且，连结，设点是点关于线段的“友好点”，如果点与点之间距离为，那么的取值范围为 ．
解：如图，设交于点，
点是点关于线段的“友好点”，
，
，，，
，即当与重合时，有最大值，此时，
过点作交于点，
，
点在线段上，，
连接，过点作于点，
由勾股定理得：，
，
，
点与点之间距离为，
的取值范围为：．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
解：
．
20．已知：如图，在△中，点是边上一点，且，设，．
（1） ；（用向量、表示）；
（2）作出向量分别在、上的分向量．
解：（1），
，
，
．
故答案为：．
（2）如图，，即为所求．
21．如图，在△中，，，过点作，垂足为点．
（1）求的值；
（2）点是延长线上一点，联结，当时，求线段的长．
解：（1）过点作的垂线，垂足为，
，，
，
则．
，
，
则．
在△中，
；
（2）过点作的垂线，垂足为，
，
．
令，，
则．
，
．
在△中，
．
在△中，
，
则，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
．
22．随着对相似三角形、锐角三角比等知识的掌握，同学们跃跃欲试，希望学以致用．我校数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，策划了一次特别的实践活动一测量那根每日在朝阳中升起、我们最为熟悉的校园旗杆的高度．实践过程见表．
根据表格信息，求旗杆的大致高度．（结果保留整数）
解：，，，
，
，，
△，△△，
，，
，，
，
解得：，
，
解得：，
旗杆的大致高度约为9米．
23．在△中，，点在的延长线上，点在线段上，直线交线段于点，．
（1）求证：；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，如果，，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）如图1，，
，
，
△△，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）过点作的平行线交的延长线于点，
，
，，
由（1）可知，，
，
，
即，
，，
△△，
，
由（1）可知，，且，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
24．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点，，且与反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式和的值；
（2）在此反比例函数图象上且在第一象限，如果，求点的坐标；
（3）将点、沿着射线分别平移到对应点、，点在此反比例函数图象上，如果△是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标．（直接写出答案）
解：（1）直线与轴、轴分别相交于点，，
，解得，
直线的解析式为；
把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）在反比例函数图象上且在第一象限，且，
到的距离等于到的距离，
当在点的下方时，则，如图，
直线为，
直线为，
解，得或，
，；
当在点的上方时，则过点平行于的直线为，
解，得或，
，，
综上，点的坐标为，或，；
（3）如图，当点在直线的左侧时，
，，
，，
△是以为底的等腰直角三角形，
，，
过点作轴，过作于，过点作于，
，
，
，，
△△，
，，
由平移的性质可知△△，
，，
设，则，
，
在反比例函数图象上，
，
，
解得，（舍去），
；
如图，当点在直线的右侧时，
过点作轴，过作于，过点作于，
同理，，
设，则，
，
在反比例函数图象上，
，
，
解得（正数舍去），
，，
综上，点的坐标为或，．
25．在△中，，，，为边上一动点（点与点、不重合）．
（1）点在的延长线上，如果，且时，求的值；
（2）点是边一个动点，如果，设，试用表示线段的长；
（3）将△沿着直线翻折，点的对应点为，如果，求的值．（直接写出答案）
解：（1）如图1，
在上截取，连接，
，，
△△，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
作于，
，
，
，，
，
，
，
，
△△，
，
设，，，则，
，
，
；
（3）如图3，
设交于，
将△沿着直线翻折，点的对应点为，
，，
，
，，
，△△，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
．
主题
测量旗杆的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤
步骤1：把一根长1.4米标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米；
步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
D
A
D
B
D
主题
测量旗杆的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤
步骤1：把一根长1.4米标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米；
步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值）