2025-2026学年上海市黄浦区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市黄浦区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如果，且是和的比例中项，那么的值是
A．B．C．D．
2．（4分）已知是△的重心，如果，，那么底边的长是
A．4B．6C．8D．10
3．（4分）在△中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）已知点、分别在△的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
8．（4分）如果向量、和满足，那么 ．
9．（4分）已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么线段的长等于 （结果保留根号）．
10．（4分）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为 度．
11．（4分）如图，已知，它们与直线、依次交于点、、和点、、，如果，，那么线段的长是 ．
12．（4分）在中，，，，则 ．
13．（4分）已知△三边长分别为2、3、4，△的两条边长为6、9，当△最长边为 时，△与△相似．
14．（4分）已知在△中，，是边上的高，如果，，那么△面积与△的面积的比值是 ．
15．（4分）如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，，那么 （用含有向量、的式子表示）．
16．（4分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
17．（4分）如图，在平行四边形中，，过点作对角线的垂线，交边于点，如果是边的中点，那么的值是 ．
18．（4分）如图，已知△，，，，将△绕着顶点旋转，点，的对应点为，，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，那么的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
20．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）设，，试用、的线性组合表示向量；
（2）如果，，，求的长．
21．如图，在△中，，，点在边上，，过作，交延长线于点．
（1）求的正弦值；
（2）求的值．
22．如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
小明用如下的方法画出了锐角△的内接正方形：如图，在△的边取点，过点作，垂足为，以为边在△的内部作正方形，连接并延长，交边于点．过点作，交边于点，分别过点、作边的垂线，垂足为、，得到的四边形为△的一个内接正方形．
（1）请按照上述画图过程在图中画出△一个内接正方形．（保留画图痕迹）；
（2）请证明这种画法的正确性．
23．已知：如图，在△中，，平分，点在边上，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务．
如图1，已知△为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点．
任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程；
任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2，如果，求的值；
任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果，直接写出的值（用含的代数式表示）
25．在△中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、．
（1）如图1，当点在边上时，如果，，求的长；
（2）当点在线段上时，如果△与△相似，，求的值；
（3）如果△是直角三角形，，求△的面积．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）如果，且是和的比例中项，那么的值是
A．B．C．D．
解：由条件可知．
又是和的比例中项，
．
，
．
故选：．
2．（4分）已知是△的重心，如果，，那么底边的长是
A．4B．6C．8D．10
解：如图所示：连接并延长交于点，
由条件可知，，
，
．
故选：．
3．（4分）在△中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是
A．B．C．D．
解：根据直角三角形三角函数的定义可知：
，，，，即选项符合题意．
故选：．
4．（4分）已知、是非零向量，如果，下列说法中正确的是
A．B．C．D．
解：、是非零向量，，
，
故选：．
5．（4分）已知点、分别在△的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是
A．B．C．D．
解：如图，
当时，平行线分线段成比例定理可得：，
，
，
故选：．
6．（4分）如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是
A．B．C．D．
解：过点作于，作于．
纸条是矩形，
，，
四边形是平行四边形．
矩形纸条宽度为，
．
平行四边形面积，
，
四边形是菱形．
菱形的面积为，，
，
解得，即．
，
．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
解：，
设，则，
那么．
故答案为：．
8．（4分）如果向量、和满足，那么 ．
解：，
，
，
故答案为：．
9．（4分）已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么线段的长等于 （结果保留根号）．
解：点是线段的黄金分割点，
，
；
故答案为：．
10．（4分）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为 50或65 度．
解：如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，
设第一个等腰三角形的一个内角为，
若为顶角，则底角为；
若为底角，则另一个底角也为，顶角为；
因此，第一个三角形的底角为或，
由于两个三角形相似，对应角相等，故另一个三角形的底角也为或，
故答案为：50或65．
11．（4分）如图，已知，它们与直线、依次交于点、、和点、、，如果，，那么线段的长是 15 ．
解：，
，
，
，即，
，
，
，
故答案为：15．
12．（4分）在中，，，，则 ．
解：如图所示：
可知为的一个直角边，
在中，，，
，
，
故答案为：．
13．（4分）已知△三边长分别为2、3、4，△的两条边长为6、9，当△最长边为 12 时，△与△相似．
解：设△最长边为，
所以，
解得，．
故答案为：12．
14．（4分）已知在△中，，是边上的高，如果，，那么△面积与△的面积的比值是 ．
解：如图，在△中，，是边上的高，
，
，，
，
△△，
，
△面积与△的面积比值是．
故答案为：．
15．（4分）如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，，那么 （用含有向量、的式子表示）．
解：根据题意，，
，，
，，
．
故答案为：．
16．（4分）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 20 ．
解：设小孔到的距离为 ，
由题意可得：△△，
则，
解得：．
故答案为：20．
17．（4分）如图，在平行四边形中，，过点作对角线的垂线，交边于点，如果是边的中点，那么的值是 ．
解：四边形是平行四边形，是的中点，
，，，，
．
，
，，
△△，且相似比为．
，
设，则，
．
又，
，
．
，
△是直角三角形，
在△中，由勾股定理得：，
△△，相似比为，
，
，
．
．
故答案为：．
18．（4分）如图，已知△，，，，将△绕着顶点旋转，点，的对应点为，，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，那么的长为 ．
解：在△中，，，，
则．
是中线，
，
．
过作于，
在△中，，
在△中，．
，，
，
．
由旋转得，，，，
，
，
△△，
．
解得．
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
【解答】原式
．
20．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）设，，试用、的线性组合表示向量；
（2）如果，，，求的长．
解：（1）连接，如图所示：
，是的中点，
点为的中点，
为△的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
；
（2），
，
在△中，，，
，
，是的中点，
是△的中位线，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
．
21．如图，在△中，，，点在边上，，过作，交延长线于点．
（1）求的正弦值；
（2）求的值．
解：（1）过作于，设．在△中，，，点在边上，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点．
设，由（1）知，，，，，
，
，
，
即，
．
，
．
，，
△△．
，即，
解得．
又，，
△△．
，
设，则，，
，
解得，
．
22．如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，那么我们把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
小明用如下的方法画出了锐角△的内接正方形：如图，在△的边取点，过点作，垂足为，以为边在△的内部作正方形，连接并延长，交边于点．过点作，交边于点，分别过点、作边的垂线，垂足为、，得到的四边形为△的一个内接正方形．
（1）请按照上述画图过程在图中画出△一个内接正方形．（保留画图痕迹）；
（2）请证明这种画法的正确性．
解：（1）按照题目描述的步骤，依次进行取点、作垂线、作正方形、连线、作平行线和垂线等操作来画出内接正方形，如图，四边形即为所求，
（2）证明：，，，
，
四边形是矩形，
正方形，
，，，
，，
，，
△△，△△，
，，
，
，
四边形是矩形，且在上，在上，、在上，
四边形是△的内接正方形．
23．已知：如图，在△中，，平分，点在边上，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）平分，
，
，
，
△△，
，
在△中，，
，
，
，
；
（2）如图，过作于．
由（1）得△△，
．
又，
，
．
，
．
，，
，，
△△．
，
．
，
，
．
24．某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务．
如图1，已知△为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点．
任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程；
任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2，如果，求的值；
任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果，直接写出的值（用含的代数式表示）
解：任务1：△△，△△，△△，△△，
证明：△是等边三角形，
，，
，
△△，
，
，
，
△△，△△，△△，△△，
任务2：过点作交于．
，
，
，，
△△，
，
即，
，
△△，
即，
设，，则，即，
解得（舍去负根），
，即；
任务
过点作交于，
，
△△，
，
，
又，
，即，
，
△△，
，
设，，则，，
，
整理得，
解得（舍去负根），
，即．
25．在△中，，，，点在边或上（不与、重合），点在边上，点关于直线的对称点为，连接，交边于点，连接、．
（1）如图1，当点在边上时，如果，，求的长；
（2）当点在线段上时，如果△与△相似，，求的值；
（3）如果△是直角三角形，，求△的面积．
解：（1）在△中，，，，
，即，
解得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
点关于直线的对称点为，
，，
设，
在△中，，，
在△中，，
，
，
，
解得：，
；
（2）点在线段上时，△与△相似，
分两种情况讨论：
当时，如图1，，此时点与点重合，
设，则，，
，
，
；
当时，如图2，，
设，则，，
，
，
；
综上所述，的值为或；
（3）点关于直线的对称点为，
△为等腰直角三角形，
点在边或上（不与、重合），
分两种情况讨论：
当点在边上时，点在的上方时，如图3，
由（1）得，
设，
，，，
△为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
不合题意，舍去；
点在的下方时，如图4，
同理得：，，
，
解得：，
，符合题意；
，
△的面积为：；
当点在边上时，点在的上方时，如图5，
，
设，
，，，
，
△为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值已舍去），
，
△的面积为：；
当点在边上时，点在的下方时，不合题意，舍去；
综上所述，△的面积为或．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
D
A
A
A