2025-2026学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）计算：
A．3B．C．D．
2．（4分）如图，在△中，，，，那么的正弦值是
A．B．C．D．
3．（4分）在一张比例尺为的地图上，量得、两点的距离是10厘米，那么、两点的实际距离是
A．5米B．50米C．500米D．5000米
4．（4分）如果△△，△△，那么△与△也相似．这一事实的数学依据是
A．等量代换B．三角形具有稳定性
C．三角形相似的传递性D．相似三角形的预备定理
5．（4分）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是
A．15厘米、18厘米B．20厘米、24厘米
C．25厘米、50厘米D．36厘米、60厘米
6．（4分）如图，点、分别在△边、上，，，，则的值是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知，那么的值是 ．
8．（4分）两个相似三角形的对应边上的中线长之比是，那么这两个三角形的相似比是 ．
9．（4分）线段长为4，点是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是 ．
10．（4分）如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆处时，另一端处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的点向下压的长度是 米．
11．（4分）如图，在△中，点是△的重心，过点且平行于，分别交、于点、，那么的值是 ．
12．（4分）如图，在△中，是边上的高，，，，那么的长是 ．
13．（4分）如图，在△中，点、分别在边、上，且．如果，，用向量、表示向量 ．
14．（4分）在等边△中，是边上的高，那么 ．
15．（4分）如图，是的角平分线，点是射线上一点，过点作，垂足为，点是射线上一点，，过点作，垂足为．如果，，那么的长是 ．
16．（4分）如图，已知正方形的顶点、在△的边上，顶点、分别在边、上．如果，△的面积是24，那么的长是 ．
17．（4分）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分，称这条直线为“绝美分割线”．如图，在梯形中，，，，，，一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点、，那么的长是 ．
18．（4分）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至射线，点、的对应点分别是、，点在边上，，联结交于点，，则的值是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）已知：，，求、、的值．
20．（10分）如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，．
（1）求的长；
（2）点是直线与的交点，如果，，求的长．
21．（10分）如图，在△中，，，垂足是．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，，求的正切值．
22．（10分）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究．
现有一张直角梯形纸片（如图，，，．
（1）有一张直角梯形纸片（如图，，，，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的△通过图形的运动，使点、分别与点、重合，从而拼成一个△（如图，请完成填空：的值是 ；的值是 ；
（2）有一张直角梯形纸片（如图，，，，，．请设计一种方法，用一条直线将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形通过图形的运动能与梯形纸片（图拼成一个无重叠的直角三角形．
要求：①在答题纸图4的梯形纸片上画出直线；
②写出直线的与梯形的边的交点位置；
（简述语言示例：点是梯形的顶点，点是边的一个四等分点）
③直接写出图形与梯形的面积比．
23．（12分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点在边上，点在线段上，，．
（1）求证：△△；
（2）联结，求证：．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点是原点，直线分别交轴、轴于点、，点在直线上，且．
（1）求的长；
（2）如图2，已知点在线段上，过点作轴的垂线，交轴于点，交于点，联结，．
①如果直线的表达式为，求的值；
②延长交轴于点，联结，若在射线上有一点，使得以、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标．
25．（14分）如图1，在△中，，是边上的高，，点在边上，，过点作，交边于点，．
（1）求的值；
（2）如图2，点在延长线上，联结、，设．
①延长交边于点，如果，记△、△的周长分别为、，求的值；
②如果，且，求的值．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）计算：
A．3B．C．D．
解：．
故选：．
2．（4分）如图，在△中，，，，那么的正弦值是
A．B．C．D．
解：在△中，，
故选：．
3．（4分）在一张比例尺为的地图上，量得、两点的距离是10厘米，那么、两点的实际距离是
A．5米B．50米C．500米D．5000米
解：、两点的实际距离为：（厘米），
5000厘米米，
故选：．
4．（4分）如果△△，△△，那么△与△也相似．这一事实的数学依据是
A．等量代换B．三角形具有稳定性
C．三角形相似的传递性D．相似三角形的预备定理
解：若两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
相似关系具有传递性．
故选：．
5．（4分）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是
A．15厘米、18厘米B．20厘米、24厘米
C．25厘米、50厘米D．36厘米、60厘米
解：当边为与的木条为对应边时，比例系数，
另两条木条的长度分别为（厘米），（厘米）．
故选项符合条件；
当边为与的木条为对应边时，比例系数，
另两条木条的长度分别为（厘米），（厘米）．
故选项符合条件；
当边为与的木条为对应边时，比例系数，
另两条木条的长度分别为（厘米），（厘米）．
故选项符合条件．
故选：．
6．（4分）如图，点、分别在△边、上，，，，则的值是
A．B．C．D．
解：，，
，，
，，
，
，，
△△，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知，那么的值是 ．
解：，
，
，
，
故答案为：．
8．（4分）两个相似三角形的对应边上的中线长之比是，那么这两个三角形的相似比是 ．
解：两个相似三角形的对应边上的中线长之比是，
这两个三角形的相似比为．
故答案为：．
9．（4分）线段长为4，点是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是 ．
解：点是线段的一个黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
10．（4分）如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆处时，另一端处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的点向下压的长度是 1.2 米．
解：由题意得：，，
，
，
△△，
，
，
解得：，
此时要将杠杆的点向下压的长度是1.2米，
故答案为：1.2．
11．（4分）如图，在△中，点是△的重心，过点且平行于，分别交、于点、，那么的值是 ．
解：连接，连接，并延长交于点，在的延长线截取，连接，，连接，并延长交于点，如图所示：
，
点是△的重心，
，是△的中线，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
即，
，
是△的中位线，
，
，
，
△△，
，
，
△△，
．
故答案为：．
12．（4分）如图，在△中，是边上的高，，，，那么的长是 2 ．
解：，
，
在△中，，，
，
，
，
故答案为：2．
13．（4分）如图，在△中，点、分别在边、上，且．如果，，用向量、表示向量 ．
解：，
△△，
．
，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
14．（4分）在等边△中，是边上的高，那么 ．
解：如图，
△为等边三角形，
，．
设，则．
．
故答案为：．
15．（4分）如图，是的角平分线，点是射线上一点，过点作，垂足为，点是射线上一点，，过点作，垂足为．如果，，那么的长是 ．
解：是的角平分线，
．
，，
，
△△，
．
，
则令，，
，
解得，
．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知正方形的顶点、在△的边上，顶点、分别在边、上．如果，△的面积是24，那么的长是 ．
解：过点作于点，交于点，如图所示：
，
，△的面积是24，
，
，
四边形是正方形，
设，，
根据平行线间的距离处处相等得：，
，
，
△△，
，
，
解得：，
，
即的长是．
故答案为：．
17．（4分）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分，称这条直线为“绝美分割线”．如图，在梯形中，，，，，，一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点、，那么的长是 ．
解：如图，过点作交于点，交与点．
，
四边形，都是平行四边形，
．，
，
△△，
，
，
设，则，则有，
．
故答案为：．
18．（4分）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至射线，点、的对应点分别是、，点在边上，，联结交于点，，则的值是 ．
解：如图，
，
设，，
，
四边形是平行四边形，
，，
△△，
，
设，，
，
，，
△△，
，
，
，
沿直线翻折至，
，
，
，
，
，
在△ 中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（10分）已知：，，求、、的值．
解：，
，，
，
，
解得，
，，
、、的值分别为4、6、8．
20．（10分）如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，．
（1）求的长；
（2）点是直线与的交点，如果，，求的长．
解：（1）由题意可知，，
，
，，．
，
，
．
（2）由题意可知，，
，，
△△，
，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
，即的长为5．
21．（10分）如图，在△中，，，垂足是．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，，求的正切值．
解：（1）在△中，，，
，
，，
；
（2），，
，
，
．
22．（10分）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究．
现有一张直角梯形纸片（如图，，，．
（1）有一张直角梯形纸片（如图，，，，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的△通过图形的运动，使点、分别与点、重合，从而拼成一个△（如图，请完成填空：的值是 ；的值是 ；
（2）有一张直角梯形纸片（如图，，，，，．请设计一种方法，用一条直线将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形通过图形的运动能与梯形纸片（图拼成一个无重叠的直角三角形．
要求：①在答题纸图4的梯形纸片上画出直线；
②写出直线的与梯形的边的交点位置；
（简述语言示例：点是梯形的顶点，点是边的一个四等分点）
③直接写出图形与梯形的面积比．
解：（1），，
，，
，
过点作于点，如图，
，
，
四边形是矩形，
，
由图3，图2，可得，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，在上截取，作直线，即直线，
，
，
，，，
，，
，
△△，
△符合题意，
如下图，过点作交于点，过点作于点交于点，
由（1）同理可得，，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
同理可得四边形，是矩形，
，，，
，，
，
，
，即点是的一个三等分点，
．
23．（12分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点在边上，点在线段上，，．
（1）求证：△△；
（2）联结，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
△△，
，
，
，
△△；
（2）如图，
四边形都是平行四边形，
，
△△，
，
△△，
，
，
，
．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点是原点，直线分别交轴、轴于点、，点在直线上，且．
（1）求的长；
（2）如图2，已知点在线段上，过点作轴的垂线，交轴于点，交于点，联结，．
①如果直线的表达式为，求的值；
②延长交轴于点，联结，若在射线上有一点，使得以、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标．
解：（1）过作轴于点，
则，
，
，
，
△△，
，
、，点在直线上，
，，，
，
，
在△中，；
（2）①由（1）知，
；
，且，
垂直平分，
；
②由题知，
，
垂直平分，
，，
，
，
当点在线段上时，
则△△，
，即，
解得；
过作于点，
，
，即，
，，
；
当点在延长线上时，
则此时△△，
，即，
解得，
过作于点，
，
，，
，；
综上，点坐标为或，．
25．（14分）如图1，在△中，，是边上的高，，点在边上，，过点作，交边于点，．
（1）求的值；
（2）如图2，点在延长线上，联结、，设．
①延长交边于点，如果，记△、△的周长分别为、，求的值；
②如果，且，求的值．
解：（1），
△△，
，
，
，
，，
，
在△中，，是边上的高，，
，
，
，
；
（2）①如图，作于，连接，
则，，
△△，
，
，，
，，
，，
，，
，
，，
，，
△为等腰直角三角形，
，
，
，
，
△△，
，，
△为等腰直角三角形，
，
，
，
；
②如图，过点作交的延长线于，
则，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
整理可得：，
解得：或，
，
．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
B
C
B
A