2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）延长线段至点，使得，那么的值为
A．B．C．D．2
2．（4分）如果把一个△的三边都扩大2倍，那么锐角的正切值
A．扩大2倍B．保持不变
C．缩小到原来的D．以上都有可能
3．（4分）已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．
4．（4分）已知△中，、分别是边、反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是
A．B．C．D．
5．（4分）已知线段，，，求作线段，使，下列作法中正确的是
A．B．
C．D．
6．（4分）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设是矩形对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线、直线分别与边、交于点、，直线分别与边、交于点、，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为．
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形与矩形相似．
命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项．
关于这两个命题，下列判断正确的是
A．命题甲是真命题，命题乙是假命题
B．命题甲是假命题，命题乙是真命题
C．命题甲、命题乙都是真命题
D．命题甲、命题乙都是假命题
二、填空题（每题4分，满分48分））
7．（4分）如果，且，那么 ．
8．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 千米．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且，，那么 ．（结果保留根号）
10．（4分）已知△和△相似，，，那么△的最大内角的度数为 ．
11．（4分）两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为 ．
12．（4分）已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为 ．
13．（4分）如图，已知，，，那么 ．
14．（4分）已知△中，，，，那么的长为 ．
15．（4分）如图，已知△中，，，，，那么的长为 ．
16．（4分）如图，是△边上一点，点、分别是△和△的重心，如果，，用、的线性组合表示，那么 ．
17．（4分）如图，点、、均在的正方形网格的格点上，那么的正弦值为 ．
18．（4分）已知矩形中，，是边上一点，，将△沿着所在的直线翻折，点的对应点为点，联结并延长交边于点，联结，如果△与△相似，那么边的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知向量、．
（1）化简：；
（2）作出化简后的向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）
21．（10分）如图，已知△中，是边上的中线，点、分别在边、上，且，与相交于点．
（1）求证：；
（2）联结、，若，，，求的长．
22．（10分）如图，已知△中，是的角平分线，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
23．（12分）如图，已知梯形中，，对角线、交于点，，点在线段的延长线上，联结．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
24．（12分）为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离点的点处．盒子右边距离点的点处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离点的点处有一个可调整高度的挡板．
（1）如图1，小丽控制激光笔发出光线从点处射入，从点处射出，小杰调整挡板的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板的高度；
（2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线入射到面的点处，经反射后从点处射出，求此时的正切值；
（3）小杰取出挡板，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面和面的两次反射后，从点处射出，请直接写出光线在面上的入射点到点的距离．
25．（14分）如图，已知△中，是边的中点，是边上一点，，，联结、交于点．
（1）求的值；
（2）如图2，若，，求的长；
（3）若，且△是等腰三角形，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（每题4分，满分24分）
1．（4分）延长线段至点，使得，那么的值为
A．B．C．D．2
解：如图，
设，则，
，
，
故选：．
2．（4分）如果把一个△的三边都扩大2倍，那么锐角的正切值
A．扩大2倍B．保持不变
C．缩小到原来的D．以上都有可能
解：锐角的正切值是直角三角形中，锐角的对边与邻边的比，与边的长短没有关系，因此把一个△的三边都扩大2倍，那么锐角的正切值保持不变，
故选：．
3．（4分）已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．
解：、如果，那么，说法正确；
、如果，那么，说法正确；
、如果，那么，说法正确；
、，原说法不正确；
故选：．
4．（4分）已知△中，、分别是边、反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是
A．B．C．D．
解：、时，，故本选项符合题意；
、时，不能判断出，故本选项不符合题意；
、时，不能判断出，故本选项不符合题意；
、时，不能判断出，故本选项不符合题意；
故选：．
5．（4分）已知线段，，，求作线段，使，下列作法中正确的是
A．B．
C．D．
解：由题意，，
，
故选：．
6．（4分）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设是矩形对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线、直线分别与边、交于点、，直线分别与边、交于点、，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为．
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形与矩形相似．
命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项．
关于这两个命题，下列判断正确的是
A．命题甲是真命题，命题乙是假命题
B．命题甲是假命题，命题乙是真命题
C．命题甲、命题乙都是真命题
D．命题甲、命题乙都是假命题
解：，，，
四边形，为矩形，
，
，
矩形矩形，
命题甲为真命题；
设，
，，
，，
，
，，
，，
，
是和的比例中项，
命题乙也是真命题．
故选：．
二、填空题（每题4分，满分48分））
7．（4分）如果，且，那么 8 ．
解：，
，
，
，
8．
故答案为：8．
8．（4分）在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 160 千米．
解：，
千米．
故答案为：160．
9．（4分）已知点是线段的黄金分割点，且，，那么 ．（结果保留根号）
解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
10．（4分）已知△和△相似，，，那么△的最大内角的度数为 ．
解：△和△相似，，，
，
，
，
，，
△的最大内角的度数是．
故答案为：．
11．（4分）两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为 ．
解：如图，△△，、分别是这两个三角形的对应中位线，且，
、分别是△和△的中位线，
，，，，
，，，，
△△，
，，，
，或（不符合题意，舍去），
△△，，
，
这两个三角形的对应中位线之比为，
故答案为：．
12．（4分）已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为 ．
解：向量的长度为3，与单位向量方向相反，
．
故答案为：．
13．（4分）如图，已知，，，那么 8 ．
解：，
，即，
解得：，
故答案为：8．
14．（4分）已知△中，，，，那么的长为 6 ．
解：在△中，
，
则，
解得．
故答案为：6．
15．（4分）如图，已知△中，，，，，那么的长为 ．
解：在△中，
，
所以，
解得．
在△中，
，
则．
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
16．（4分）如图，是△边上一点，点、分别是△和△的重心，如果，，用、的线性组合表示，那么 ．
解：，是△和△的重心，
，，
．
故答案为：．
17．（4分）如图，点、、均在的正方形网格的格点上，那么的正弦值为 ．
解：过点作，垂足为．
点、、均在的正方形网格的格点上，
，，．
，
，即．
．
在△中，
．
故答案为：．
18．（4分）已知矩形中，，是边上一点，，将△沿着所在的直线翻折，点的对应点为点，联结并延长交边于点，联结，如果△与△相似，那么边的长为 9或 ．
解：设，，，
当△△时，
，，
将△沿着所在的直线翻折得到△，
，，，
在矩形中，，
，，
，，，
在△中根据勾股定理得，
解得，
，
，
即，
当△△时，
，，
，，
，
，
，
，
在△中根据勾股定理得，
解得（舍去），
，
故答案为：9或
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，已知向量、．
（1）化简：；
（2）作出化简后的向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）
解：（1）
．
（2）如图，即为所求．
21．（10分）如图，已知△中，是边上的中线，点、分别在边、上，且，与相交于点．
（1）求证：；
（2）联结、，若，，，求的长．
【解答】（1）证明：△中，是边上的中线，
，
，与相交于点，
，，
△△，△△，
，，
，
，
．
（2）解：，
，
是的中点，
，
，，
，，
，
，
解得，
，
的长为．
22．（10分）如图，已知△中，是的角平分线，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
解：（1）平分，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
解得（负根已经舍去），
；
（2）过点作于点．
△△，
，
，
，
，，
，
．
23．（12分）如图，已知梯形中，，对角线、交于点，，点在线段的延长线上，联结．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
，
△△，
，
，，
．
（2）△△，
，
，
，，
△△，
，
，
．
24．（12分）为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离点的点处．盒子右边距离点的点处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离点的点处有一个可调整高度的挡板．
（1）如图1，小丽控制激光笔发出光线从点处射入，从点处射出，小杰调整挡板的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板的高度；
（2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线入射到面的点处，经反射后从点处射出，求此时的正切值；
（3）小杰取出挡板，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面和面的两次反射后，从点处射出，请直接写出光线在面上的入射点到点的距离．
解：（1）过作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
解得，
；
答：挡板的高度为；
（2），，
△△，
，即，
解得，
；
（3）①光线先到，再到，然后从点射出，如图，
延长交延长线于点，过作于点，
，
，
设，则，
，
，
由入射角等于反射角可知，，
，
，即，
解得，
；
②光线先到，再到，然后从点射出，如图，
延长交延长线于点，过作于点，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，即，
解得，
；
综上，光线在面上的入射点到点的距离为或．
25．（14分）如图，已知△中，是边的中点，是边上一点，，，联结、交于点．
（1）求的值；
（2）如图2，若，，求的长；
（3）若，且△是等腰三角形，求的长．
解：（1）如图1，
作，交于，
，，，，
△△，△△，
，
是的中点，
，
，
，
（2）如图2，
，，
△△，
，
，
，
，
，
△△，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，
当时，
由（1）得，
，
，
，，
，
是的中点，
，
，
如图3，
当时，设，则，
作，交于，
由（1）知，
△△，△△，
，，
由得，
，
，
，
，
如图4，
当时，
作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或或2．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
D
A
D
C