2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.延长线段AB至点C，使得BC=2AB，那么ACBC的值为( )
A. 12B. 23C. 32D. 2
2.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值( )
A. 扩大2倍B. 保持不变C. 缩小到原来的12D. 以上都有可能
3.已知a、b为非零向量，下列说法中，不正确的是( )
A. 如果a= 2b，那么a//bB. 如果a=− 2b，那么a//b
C. 如果a=−2b，那么|a|=2|b|D. 0⋅a=0
4.已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC反向延长线上的点，下列各式中，能判断出DE//BC的是( )
A. AECE=ADBDB. ABAC=AEADC. AEAC=DEBCD. AEAC=ADBD
5.已知线段a，b，c，求作线段x，使bx=ac，下列作法中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形ABCD对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线PQ、直线PQ分别与边AD、BC交于点P、Q，直线SR分别与边AB、DC交于点R、S，那么由矩形与矩形RBQO的面积相等可以得到：PO⋅OS=RO⋅OQ，这个结论通常表示为POOQ=ROOS.
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形OQCS与矩形AROP相似.
命题乙：如果将矩形POSD、矩形OQCS、矩形AROP的面积依次记为S1、S2、S3，那么S1是S2和S3的比例中项.
关于这两个命题，下列判断正确的是( )
A. 命题甲是真命题，命题乙是假命题B. 命题甲是假命题，命题乙是真命题
C. 命题甲、命题乙都是真命题D. 命题甲、命题乙都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果ac=bd=32，且a+b=12，那么c+d= .
8.在比例尺为1：2000000的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为 千米.
9.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB，AB=8cm，那么AC= cm.(结果保留根号)
10.已知△ABC和△DEF相似，∠A=∠D=60∘，∠B=2∠E，那么△ABC的最大内角的度数为 .
11.两个相似三角形中，我们把联结两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，那么这两个三角形的对应中位线之比为 .
12.已知向量m的长度为3，与单位向量e方向相反，那么向量m可用向量e表示为 .
13.如图，已知l1//l2//l3，ADDF=74，BE=22，那么CE= .
14.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，tanB=23，那么BC的长为 .
15.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，BC=5，ctA=2，那么CD的长为 .
16.如图，D是△ABC边BC上一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，如果AB=a，AC=b，用a、b的线性组合表示EF，那么EF= .
17.如图，点A、B、C均在4×4的正方形网格的格点上，那么∠ABC的正弦值为 .
18.已知矩形ABCD中，CD=3，E是边AD上一点，DE=1，将△CDE沿着CE所在的直线翻折，点D的对应点为点F，联结EF并延长交边BC于点G，联结AG，如果△ABG与△CGF相似，那么边AD的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：2cs60∘ct30∘−tan45∘+sin245∘−|sin60∘−1|.
20.(本小题10分)
如图，已知向量a、b.
(1)化简：(5a−43b)−2(2a+13b)；
(2)作出化简后的向量.
(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量)
21.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F分别在边AB、AC上，且EF//BC，EF与AD相交于点M.
(1)求证：EM=MF；
(2)联结DE、DF，若DE⊥DF，BC=6，AD=4，求EF的长.
22.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，BD=CD=5，AB=6.
(1)求AD的长；
(2)求csC的值.
23.(本小题12分)
如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，AC2=AD⋅BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE.
(1)求证：∠BAD=∠DCE；
(2)若∠ADB=∠CDE，求证：AB2=AC⋅CE.
24.(本小题12分)
为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验.如图所示，盒子的直截面是边长为5cm的正方形ABCD，实验过程中，光线只在该截面内传播.盒子左边距离B点2cm的点E处(BE=2cm).盒子右边距离D点1cm的点F处(DF=1cm)各有一个小孔(孔的大小忽略不计)，盒子的底部距离B点2cm的点M处(BM=2cm)有一个可调整高度的挡板MN.
(1)如图1，小丽控制激光笔发出光线OE从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板MN的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板MN的高度；
(2)如图2，小丽调整光线入射角度，使光线OE入射到面AD的点G处，经反射后从点F处射出，求此时∠OEB的正切值；
(3)小杰取出挡板MN，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面AD和面BC的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在AD面上的入射点到点A的距离.
25.(本小题14分)
如图，已知△ABC中，D是AB边的中点，E是BC边上一点，BE=2，CE=3，联结CD、AE交于点F.
(1)求DFCF的值；
(2)如图2，若∠BAE=∠BCD，AE⊥CD，求EF的长；
(3)若CD⊥AB，且△CEF是等腰三角形，求AF的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，
设AB=x，则BC=2AB=2x，
∴AC=AB+BC=3x，
∴ACBC=3x2x=32，
故选：C.
设AB=x，则BC=2AB=2x，得到AC=AB+BC=3x，得到ACBC=3x2x=32.
本题考查了两点间的距离，理解题意是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：锐角A的正切值是直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比，与边的长短没有关系，因此把一个Rt△ABC的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值保持不变，
故选：B.
根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、如果a= 2b，那么a//b，说法正确；
B、如果a=− 2b，那么a//b，说法正确；
C、如果a=−2b，那么|a|=2|b|，说法正确；
D、0⋅a=0，原说法不正确；
故选：D.
根据平面向量的性质进行分析判断．
本题考查了平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质．
4.【答案】A
【解析】解：A、AECE=ADBD时，DE//BC，故本选项符合题意；
B、ABAC=AEAD时，不能判断出DE//BC，故本选项不符合题意；
C、AEAC=DEBC时，不能判断出DE//BC，故本选项不符合题意；
D、AEAC=ADBD时，不能判断出DE//BC，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，bx=ac，
∴ba=cx，
故选：D.
把乘积式转化为比例式，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵PQ//AB//CD，RS//AD//BC，∠BAD=∠BCD=90∘，
∴四边形AROP，OQCS为矩形，
∵OQOP=OSOR，
∴OQOP=OSOR=CSAR=CQAP，
∴矩形AROP∽矩形OQCS，
∴命题甲为真命题；
设OPOQ=OROS=k，
∴S△COSS△ACD=1(1+k)2，S△AOPS△ACD=k2(1+k)2，
∵S2=2S△COS，S3=2S△AOP，
∴S△ACD=S1+12S2+12S3，
∴12S2S1+12S2+12S3=1(1+k)2，12S3S1+12S2+12S3=k2(1+k)2，
∴S2=S1k，S3=kS1，
∴S2⋅S3=S12，
∴S1是S2和S3的比例中项，
∴命题乙也是真命题．
故选：C.
根据矩形的性质，以及题干结论，得出矩形AROP和OQCS对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设OPOQ的值，根据相似三角形的性质，列出S1，S2，S3的数量关系，从而得到S2，S3与S1的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可．
本题主要考查了相似形的性质，熟练掌握相似形的性质是本题解题的关键．
7.【答案】8
【解析】解：∵ac=bd=32，
∴a+bc+d=32，
∵a+b=12，
∴12c+d=32，
∴c+d=8.
故答案为：8.
先根据等比性质得到a+bc+d=32，再利用a+b=12得到12c+d=32，然后根据内项之积等于外项之积求解．
本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题关键．
8.【答案】160
【解析】解：8×2000000=16000000(cm)，
16000000cm=160千米．
故答案为：160.
根据比例尺的定义进行作答即可．
本题主要考查比例尺，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键．
9.【答案】(4 5−4)
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB，AB=8cm，
∴AC= 5−12AB= 5−12×8=(4 5−4)(cm)，
故答案为：(4 5−4).
根据黄金分割的定义列式计算，即可得出结论．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
10.【答案】80∘
【解析】解：∵△ABC和△DEF相似，∠A=∠D=60∘，∠B=2∠E，
∴∠C=∠E，
∴∠B=2∠C，
∵∠B+∠C=180∘−60∘=120∘，
∴∠B=80∘，∠C=40∘，
∴△ABC的最大内角的度数是80∘.
故答案为：80∘.
由相似三角形你的性质推出∠C=∠E，由三角形内角和定理求出∠B=80∘，∠C=40∘，即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形当对应角相等．
11.【答案】2：3
【解析】解：如图，△DEF∽△ABC，MN、PQ分别是这两个三角形的对应中位线，且S△DEFS△ABC=49，
∵MN、PQ分别是△DEF和△ABC的中位线，
∴DM=EM，AP=BP，MN//EF，PQ//BC，
∴DE=2DM，AB=2AP，∠DMN=∠E，∠APQ=∠B，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠D=∠A，∠E=∠B，S△DEFS△ABC=(DEAB)2=49，
∴∠DMN=∠APQ，DEAB=23或DEAB=−23(不符合题意，舍去)，
∴△DMN∽△APQ，2DM2AP=23，
∴MNPQ=DMAP=23，
∴这两个三角形的对应中位线之比为2：3，
故答案为：2：3.
由△DEF∽△ABC，MN、PQ分别是这两个三角形的对应中位线，且S△DEFS△ABC=49，则MN//EF，PQ//BC，DE=2DM，AB=2AP，所以∠DMN=∠E，∠APQ=∠B，由相似三角形的性质得∠D=∠A，∠E=∠B，S△DEFS△ABC=(DEAB)2=49，所以∠DMN=∠APQ，DEAB=23，则△DMN∽△APQ，2DM2AP=23，所以MNPQ=DMAP=23，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，设△DEF∽△ABC，MN、PQ分别是这两个三角形的对应中位线，证明△DMN∽△APQ是解题的关键．
12.【答案】m=−3e
【解析】解：∵向量m的长度为3，与单位向量e方向相反，
∴m=−3e.
故答案为：m=−3e.
根据平面向量的定义即可解决问题．
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
13.【答案】8
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴BCCE=ADDF，即22−CECE=74，
解得：CE=8，
故答案为：8.
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：在Rt△ABC中，
tanB=ACBC，
则4BC=23，
解得BC=6.
故答案为：6.
根据正切的定义进行计算即可．
本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：在Rt△ABC中，
ctA=ACBC，
所以AC5=2，
解得AC=10.
在Rt△ACD中，
ctA=ADCD=2，
则AD=2CD.
因为CD2+AD2=AC2，
所以CD2+(2CD)2=102，
解得CD=2 5.
故答案为：2 5.
先根据余切的定义求出AC的长，据此进一步求出CD的长即可．
本题主要考查了解直角三角形，熟知余切得定义是解题的关键．
16.【答案】13(b−a)
【解析】解：∵E，F是△ABD和△ACD的重心，
∴AE=13(AB+AD)，AF=13(AC+AD)，
∴EF=AF−AE=13(AC+AD)−13(AB+AD)=13(AC−AB)=13(b−a).
故答案为：13(b−a).
根据三角形重心的向量表示，写出AE和AF，根据向量减法求解即可．
本题主要考查了平面向量，掌握重心的向量表示是本题解题的关键．
17.【答案】4 6565
【解析】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵点A、B、C均在4×4的正方形网格的格点上，
∴AB= 32+22= 13，AC=2，BC= 22+12= 5.
∵S△ABC=12AC⋅BE=12AB⋅CD，
∴AC⋅BE=AB⋅CD，即2×2= 13×CD.
∴CD=4 1313.
在Rt△ACD中，
sin∠ABC=CDBC=4 1313 5=4 6565.
故答案为：4 6565.
过点C作CD⊥AB，首先利用格点和勾股定理求出线段AB、AC、BC的长，利用△ABC的面积求出CD的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、三角形的面积公式等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】9或294
【解析】解：设AD=x，BG=m，CG=x−m，
当△ABG∽△CFG时，
∴ABCF=BGFG=AGCG，∠AGB=∠CGF，
∵将△CDE沿着CE所在的直线翻折得到△CFE，
∴CF=AB=3，EF=DE=1，∠DEC=∠FEC，
∵在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠AGB=∠GAE，∠EGC=∠AEG，
∴FG=BG=m，AG=GE=m+1，GC=GE，
在Rt△ABG中根据勾股定理得(m+1)2−m2=9，
解得m=4，
∴GC=5，
∴BC=9，
即AD=9，
当△ABG∽△GFC时，
∴ABGF=BGFC=AGGC，∠AGB=∠GCF，
∴GF=9m，AG=m3(x−m)，
∵GC=GE，
∴9m+1=x−m，
∴x=9m+1+m，
∴AG=3+m3，
在Rt△ABG中根据勾股定理得(m3+3)2−m2=9，
解得m1=94,m2=0(舍去)，
x=4+1+94=294，
故答案为：9或294
分两种情况分析△ABG与△CFG与△ABG与△GFC进行讨论求解．
本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论思想，平行线的性质，等角对等边的运用，是一道综合性很好的题目．
19.【答案】 3.
【解析】解：原式=2×12 3−1+( 22)2−| 32−1|
=1 3−1+12−(1− 32)
= 3+12+12−1+ 32
= 32+12+12−1+ 32
= 3.
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
20.【答案】a−2b.

【解析】(1)(5a−43b)−2(2a+13b)
=5a−43b−4a−23b
=a−2b.
(2)如图，AB即为所求．
(1)根据平面向量的运算法则化简即可．
(2)结合三角形法则画图即可．
本题考查作图-复杂作图、平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵EF//BC，EF与AD相交于点M，
∴EM//BD，MF//DC，
∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴EMBD=AMAD，MFDC=AMAD，
∴EMBD=MFDC，
∴EMMF=BDDC=1，
∴EM=MF.
EF的长为247
【解析】(1)证明：∵△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵EF//BC，EF与AD相交于点M，
∴EM//BD，MF//DC，
∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，
∴EMBD=AMAD，MFDC=AMAD，
∴EMBD=MFDC，
∴EMMF=BDDC=1，
∴EM=MF.
(2)解：∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90∘，
∵M是EF的中点，
∴DM=EM=FM=12EF，
∵BC=6，AD=4，
∴BD=12BC=3，AM=4−DM=4−EM，
∵EMBD=AMAD，
∴EM3=4−EM4，
解得EM=127，
∴EF=2EM=247，
∴EF的长为247.
(1)由△ABC中，AD是BC边上的中线，得BD=DC，由EF//BC，EF与AD相交于点M，可证明△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，则EMBD=AMAD=MFDC，所以EMMF=BDDC=1，则EM=MF.
(2)由DE⊥DF，得∠EDF=90∘，所以DM=EM=FM=12EF，因为BC=6，AD=4，所以BD=12BC=3，AM=4−DM=4−EM，由EMBD=AMAD，得EM3=4−EM4，求得EM=127，则EF=2EM=247.
此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC是解题的关键．
22.【答案】AD=4；
csC=34
【解析】(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠C，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴6AD+5=AD6，
解得AD=4(负根已经舍去)，
∴AD=4；
(2)过点D作DH⊥BC于点H.
∵△ABD∽△ACB，
∴BDBC=ABAC，
∴5BC=69，
∴BC=152，
∵DB=DC，DH⊥BC，
∴CH=BH=12BC=154，
∴csC=CHCD=1545=34.
(1)证明△ABD∽△ACB，推出ABAC=ADAB构建方程求解；
(2)过点D作DH⊥BC于点H.解直角三角形求出CH可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23.【答案】∵AC2=AD⋅BC，
∴ACBC=ADAC，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△DAC∽△ACB，
∴∠ACD=∠CBA，
∵∠BAD+∠CBA=180∘，∠DCE+∠ACD=180∘，
∴∠BAD=∠DCE.
∵△DAC∽△ACB，
∴ADAC=CDAB，
∴ADCD=ACAB，
∵∠BAD=∠DCE，∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴ADCD=ABCE，
∴ABCE=ACAB，
∴AB2=AC⋅CE
【解析】证明：(1)∵AC2=AD⋅BC，
∴ACBC=ADAC，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴△DAC∽△ACB，
∴∠ACD=∠CBA，
∵∠BAD+∠CBA=180∘，∠DCE+∠ACD=180∘，
∴∠BAD=∠DCE.
(2)∵△DAC∽△ACB，
∴ADAC=CDAB，
∴ADCD=ACAB，
∵∠BAD=∠DCE，∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴ADCD=ABCE，
∴ABCE=ACAB，
∴AB2=AC⋅CE.
(1)由AC2=AD⋅BC，得ACBC=ADAC，由AD//BC，得∠DAC=∠ACB，所以△DAC∽△ACB，则∠ACD=∠CBA，即可由∠BAD+∠CBA=180∘，∠DCE+∠ACD=180∘，证明∠BAD=∠DCE.
(2)由△DAC∽△ACB，得ADAC=CDAB，变形为ADCD=ACAB，由∠BAD=∠DCE，∠ADB=∠CDE，证明△ADB∽△CDE，得ADCD=ABCE，则ABCE=ACAB，所以AB2=AC⋅CE.
此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DAC∽△ACB是解题的关键．
24.【答案】挡板MN的高度为145cm；
54；
光线在AD面上的入射点到点A的距离为54或358
【解析】(1)过E作EH//BC交MN于点G，交CD于点H，
∵DF=1cm，
∴FH=5−2−1=2cm，
∵MN//CD，
∴EGEH=NGFH，
∴25=NG2，
解得NG=45cm，
∴MN=MG+NG=145cm；
答：挡板MN的高度为145cm；
(2)∵∠AGE=∠DGF，∠A=∠D=90∘，
∴△AGE∽△DGF，
∴AEAG=DFDG，即3AG=15−AG，
解得AG=154，
∴tan∠OEB=tan∠AEG=AGAE=1543=54；
(3)①光线先到AD，再到BC，然后从点F射出，如图，
延长GF交AD延长线于点H，过G作GM⊥AD于点M，
∵DH//CG，
∴DHCG=DFCF=14，
设DH=x，则CG=DM=4x，
∴PM=HM=5x，
∴AP=AD−PM−DM=5−9x，
由入射角等于反射角可知，∠APE=∠GPH=∠PHG=∠FGC，
∴tan∠APE=tan∠FGC，
∴AEAP=CFCG，即35−9x=44x，
解得x=512，
∴AP=5−9x=54；
②光线先到BC，再到AD，然后从点F射出，如图，
延长PF交BC延长线于点H，过P作PM⊥BC于点M，
∵PD//CH，
∴PDCH=DFCF=14，
设DP=x，则CH=4x，CM=x，
∴GM=HM=5x，
∴BG=BC−CG=5=6x，
∵∠EGB=∠PGH=∠PHG，
∴tan∠EGP=tan∠FHG，
∴EBBG=FGCH，即25−6x=44x，
解得x=58，
∴AP=AD−PD=5−58=358；
综上，光线在AD面上的入射点到点A的距离为54或358.
(1)过E作EH//BC交MN于点G，交CD于点H，易得EGEH=NGFH，据此求解即可；
(2)易证△AGE∽△DGF，进而利用相似比求出AG，即可得解；
(3)分类讨论：①光线先到AD，再到BC，然后从点F射出；②光线先到BC，再到AD，然后从点F射出；分别画出图形，利用相似三角形求解即可．
本题主要考查了正方形的性质、光线的入射和反射、相似三角形的判定和性质、锐角三角比相关问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25.【答案】DFCF=13，
EF= 62；
AF= 10或4 153或2
【解析】(1)如图1，
作DG//BC，交AE于G，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠AEB，∠FDG=∠ECF，∠DGF=∠CEF，
∴△ADG∽△ABE，△DFG∽△CFE，
∴DGBE=ADAB,DGCE=DFCF，
∵D是AB的中点，
∴DG2=12，
∴DG=1，
∴DFCF=13，
(2)如图2，
∵∠BAE=∠BCD，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBD，
∴BDBE=BEAB，
∴AB=2BD，
∴BD2=52BD，
∴BD= 5，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴DFEF=ADCE= 53，
设DF= 5x，EF=3x，则CF=3DF=3 5x，
∵AE⊥CD，
∴∠CFE=90∘，
∴EF2+CF2=CE2，
∴(3x)2+(3 5x)2=32，
∴x= 66，
∴EF= 62；
(3)如图2，
当CF=CE=3时，
由(1)得，
DF=13CF=1，
∴CD=CF+DF=4，
∵CD⊥AB，BC=5，
∴BD=3，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=3，
∴AF= AD2+DF2= 32+12= 10，
如图3，
当CF=EF时，设CF=EF=3x，则DF=x，
作DG//BC，交AE于G，
由(1)知，
△ADG∽△ABE，△DFG∽△CFE，
∴FG=DF=x，AG=EG=4x，
由AD2=BD2得，
AF2−DF2=BC2−CD2，
(4x)2−x2=52−(4x)2，
∴x= 153，
∴AF=4 153，
如图4，
当CE=EF时，
作EH⊥CD于H，
∴HF=CH=12CF，
∵DF=13CF，
∴FHDF=32，
∵CD⊥AB，
∴EH//AD，
∴EFAF=FHDF，
∴3AF=32，
∴AF=2，
综上所述：AF= 10或4 153或2.
(1)作DG//BC，交AE于G，可证得△ADG∽△ABE，△DFG∽△CFE，进而得出DGBE=ADAB,DGCE=DFCF，进一步得出结果；
(2)可证得△ABE∽△CBD，从而BDBE=BEAB，进而得出BD= 5，可证得△AFD∽△CFE，从而DFEF=ADCE= 53，设DF= 5x，EF=3x，则CF=3DF=3 5x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得出过程(3x)2+(3 5x)2=32，进一步得出结果；
(3)分三种情形：当CF=CE=3时，可得出DF=13CF=1，从而得出CD=CF+DF=4，进而根据勾股定理得出BD=3，从而得出AD=3，进而根据勾股定理得出AF；当CF=EF时，设CF=EF=3x，则DF=x，作DG//BC，交AE于G，可得出FG=DF=x，AG=EG=4x，由AD2=BD2得出方程，进一步得出结果；当CE=EF时，作EH⊥CD于H，可得出EH//AD，从而EFAF=FHDF，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和分类，勾股定理等知识，解决问题的关键分类讨论．