初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律精练

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）探索与表达规律精练，共8页。试卷主要包含了3探索与表达规律等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．有这么一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=8，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和，得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和，得n3，再计算n32+1得a3．
依此类推，则a2023=（ ）
A．8B．26C．65D．122
2．苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小棒，第2个图形需要17根小棒，第3个图形需要25根小棒……，按此规律，第n个图形需要小棒（ ）
A．8n+1根B．8n+2根C．8n+3根D．8n+4根
3．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：
①最小的“可拆分”整数是3；
②27是“可拆分”整数；
③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种；
④最大的“不可拆分”的两位整数是96．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，边长为1的正方形ABCD，沿数轴顾时针连续滚动．起点A和−2重合，则数轴上数2023所对应的字母是（ ）
A．AB．BC．CD．D
5．用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆下去，第100个图形需要（ ）根小棒．
A．499B．401C．320D．200
6．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( )
A．25B．33C．34D．50
7．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第6个数字是（ ）
A．114B．120C．124D．131
8．下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个国图，图④中共有24个圆圈，⋯，按此规律排列，则图⑩中圆圈的个数为多少（ ）
A．120B．99C．143D．121
9．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2,2024次输出的结果是（ ）
A．−6B．−8C．−4D．−2
10．记Sn=a1+a2+…+an，令Tn=S1+S2+...+Snn，称Tn为a1，a2，…，an这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（ ）
A．2004B．2006C．2008D．2010
11．如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（ ）．
A．92B．96C．103D．118
12．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB=10，BC=11，AC=12，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0=4，第一步跳蚤从P0跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P4与P2023之间的距离为（ ）
A．0B．1C．4D．5
二、填空题
13．我国著名数学家华罗庚说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12,14,18,116,⋯的长方形或正方形纸片，请你用“数形结合”的数学思想计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
14．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折n次，可以得到 ．条折痕（用含n的代数式表示）．
15．已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=13122=1312，⋅⋅⋅Tn=1+1n2+1n+12，其中n为正整数．设Sn=T1+T2+T3+⋅⋅⋅+Tn，则S2023值是 ．
16．若2△3=2+3+4=9，5△4=5+6+7+8=26，按此规律4△3= ．
17．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22-12，16=52-32，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 013个“智慧数”是 .
三、解答题
18．观察下列各式的计算结果：
1−122=1−14=34=12×32；1−132=1−19=23×43；
1−142=1−116=1516=34×54；1−152=1−125=2425=45×65
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1−162=__________×__________；1−1102=__________×__________．
（2）用你发现的规律计算：1−122×1−132×1−142×…×1−120222×1−120232．
19．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律．将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，对于第1个图，可知其表面积为6cm2．用棱长均为1cm的正方体按照第2个图、第3个图、……进行放置．
（1）依次写出第2个图、第3个图的表面积： cm2， cm2；（直接写结果）
（2）求第20个图的表面积；
（3）直接写出第n个图的表面积： cm2．（结果不用化简）
20．观察下列各个等式的规律：
（1）32−12=8；
（2）42−22=12；
（3）52−32=16；
（4）62−42=20；
……
解答下列问题：
（1）请按以上规律写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式 （用含n的代数式表示）；
（3）若两个边长分别是2m+1、2m−1的正方形的面积分别是S1、S2，用含有m的代数式表示S1−S2．
21．（1）【发现问题】如图，在数阵1中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中的数和为2+2，即22；…；第n行n个圆圈中的数和为n+n+n+⋯+n，即______．这样，数阵1中共有______个圆圈，数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为______．
（2）【解决问题】将数阵1旋转可得数阵2，将数阵2旋转可得数阵3，请仔细观察这三个数阵，并结合三个数阵，计算：12+22+32+⋯+n2．（结果用含n的代数式表示）
（3）【拓展应用】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯+202421+2+3+⋯+2024．
22．如图是用棋子摆成的“上”字．
（1）依照此规律，请在方框中画出第4个图形；
（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字需要黑子 枚，白子 枚（用含n的式子表示）；
（3）第 个“上”字图形白子总数比黑子总数多17枚．
23． 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要多少枚棋子?
24．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算：12+14+18+116+132；
（2）计算12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯+12n．
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．B
5．B
6．B
7．B
8．A
9．C
10．C
11．D
12．B
13．255256
14．2n−1
15．202320232024
16．15
17．2 687
18．（1）56；76；910；1110
（2）10122023
19．（1）34，86
（2）4642cm2
（3）(2n−1)×(2n−1)×2+(1+3+5+⋯+2n−1)×4
20．（1）72−52=24
（2）n+22−n2=4n+4
（3）8m
21．（1）n2；nn+12；12+22+32+⋯+n2；（2）nn+12n+16；（3）40493
22．（1）解：第1个“上”字需要黑子2=1+1枚，白子5=3×1+2枚；第2个“上”字需要黑子3=2+1枚，白子8=3×2+2枚；
第3个“上”字需要黑子4=3+1枚，白子11=3×3+2枚；
云依照此规律，第4个“上”字需要黑子5=4+1枚，白子14=3×4+2枚；
如图所示，
（2）n+1，3n+2
（3）8
23．解：观察图形可知：第1个图中棋子的个数为1×4=4；
第2个图中棋子的个数为2×4=8；
第3个图中棋子的个数为3×4=12；
第4个图中棋子的个数为4×4=16；
·······
则第 n 个图形需要 4n 枚棋子．
24．（1）解：12+14+18+116+132
=(1−12)+(12−14)+(14−18)+(18−116)+(116−132)
=1−12+12−14+14−18+18−116+116−132=1−132
=3132；
（2）解：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯+12n
=(1−12)+(12−14)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n)
=1−12+12−14+⋅⋅⋅+12n−1−12n
=1−12n．