初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3 乘法公式课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3 乘法公式课后测评，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．小颖在计算时，把3写成后，发现可以运用平方差公式进行计算，则式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，mn=2，则的值为（ ）
A．7B．5C．3D．1
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（ ）

A．B．
C．D．
4．已知．则的值为（ ）
A．84B．60C．42D．12
5．如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（ ）
A．B．
C．D．
6．如果，那么的值为（ ）
A．49B．7C．D．7或
7．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，，则（ ）
A．4B．2C．0D．-2
10．已知，则的值是（ ）
A．21B．23C．25D．27
11．如图①，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．B．
C．D．
12．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．计算 ．
14．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有，的式子表示）．
15．如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ．
16．若，则的值为 ．
17．若，，则的值为 ．
三、解答题
18．【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次．
【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________．
（2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________．
【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式）
②已知，利用上面的知识，计算的值
19．先化简，再求值：，其中．
20．利用完全平方公式，可以解决很多数学问题
例如∶若，求的值．
解∶因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
21．仔细观察，探索规律：
；
；
．
(1)猜想______（其中n为正整数，且）
(2)根据上述规律求______．
(3)根据上述规律：求的值．
22．（1）已知，求的值．
（2）先化简，再求值，其中，．
23．（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示）
（2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
已知，求的值；
（3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）．
24．先化简，再求值：，其中，．
《16.3乘法公式》参考答案
1．C
【分析】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式求解是解答的关键．
仿照例子方法，可在式子最前面添加，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
2．C
【分析】将完全平方式展开，然后根据(m+n)2=11，mn=2，求出m2+n2的值，再整体代入求解．
【详解】解：∵(m+n)2=11，mn=2，
∴m2+n2+2mn=11，
∴m2+n2=11-2mn=11-4=7，
∴(m-n)2=m2+n2-2mn=7-4=3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查完全平方式的展开式，解此题的关键是学会将(m-n)2进行拆分，然后再整体代入，比较简单．
3．B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积．
根据图形可得左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积，即可解答．
【详解】解：左上角正方形的面积，
还可以表示
故图②能得到的数学公式是
故选：B
4．A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式．
利用完全平方公式的变形，结合已知条件，将所求式子转化为可直接代入计算的形式．
【详解】解：
，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形的应用，根据题意表示出阴影部分面积是解题的关键．
由题意表示出两个图形中阴影部分的面积，再根据图中阴影部分的面积关系得出恒等式即可．
【详解】解：第1个图形中阴影部分的面积为，
第2个图形中阴影部分的面积为，
由图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为；
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可．
【详解】解：，即，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可．
【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意；
B、，能用平方差公式，不符合题意；
C、，能用平方差公式，不符合题意；
D、，能用平方差公式，不符合题意；
故选：A
8．D
【分析】本题考查平方差公式，掌握公式的结构特点是解决问题的关键．能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项．
【详解】解：能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项，
A、两个因式中既没有相同项也没有互为相反数的项，故本选项不符合题意；
B、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意；
C、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意；
D、两个因式中有相同项也有互为相反数的项和，故本选项符合题意．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了完全平方公式，由可得出；将的左右两边同时乘方，根据完全平方公式两公式之间的联系整理出，然后开方即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．D
【分析】此题考查了完全平方公式，将已知等式变形得到，再将两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
将两边平方得：，
∴，
∴．
故选：D．
11．C
【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图①和图②中阴影部分面积．
图①阴影部分的面积等于正方形的面积减去正方形的面积，图②阴影部分的面积等于，根据图①和图②阴影部分的面积相等列等式．
【详解】解：图①阴影部分的面积，图②阴影部分面积，
，
故选：C．
12．B
【分析】根据完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．
【分析】根据题意，得，利用平方差公式，完全平方公式解答即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
．
14．/
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用．将阴影部分看作长为，宽为的长方形．
【详解】解：阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
由大正方形的面积－小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：图1中：大正方形的面积－小正方形的面积，
图2中：矩形的面积，
依题意得：，
故答案为：．
16．
【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案．
【详解】解：方法一：利用乘法公式展开
，
，
，
；
方法二：取特殊值法
，
求的值，可以取得到，
即；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式乘法运算、完全平方和公式、多项式乘以多项式、多项式相等等知识，熟记整数乘法运算展开是解决问题的关键．
17．4
【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值．将第一个等式左边利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
18．（1）；（2）9；（3）①②
【分析】此题考查了完全平方公式的拓展应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和数形结合思想．
（1）分别根据两个正方形面积做差和直接求所拼接长方形面积两个方法进行列式、表示；
（2）运用以上所归纳的等式进行求解；
（3）①通过正方体体积的直接求解和所分割各部分的体积求和两个方式列式、求解；
②把代入上面公式进行计算、求解．
【详解】（1）由题意得，用大正方形面积剪去小正方形面积后的面积是，
沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形的面积为，
∴可得公式为：，
故答案为： ；
（2）由题意得，
解得，
∴
故答案为： 9 ；
（3）①∵该正方体的体积可表示为，其被分成 8 部分的体积之和可表示为：
，
∴可得等式，
故答案为：；
②当时，将代入等式可得：
，
即，
，
解得．
19．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再计算单项式除以单项式化简，接着根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴，
，
∴原式．
20．(1)40
(2)6
【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
（1）利用完全平方公式的变形计算求解；
（2）利用完全平方公式的变形计算求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键．
（1）根据结果的规律得出答案；
（2）通过（1）总结的规律即可求解；
（3）将原式变形为，然后利用（1）总结的规律即可求解．
【详解】（1）解：由题干中提供的等式的规律可得，
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
．
22．（1）或；（2），
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用完全平方公式计算即可得解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为或；
（2）
，
当，时，原式．
23．
（1），；
（2）的值为；
（3）的面积为．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用面积法进行计算即可；
（2）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可；
（3）由图形面积之间的关系，利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可得，
即，
由图可得，，
即，
故答案为：，．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：的值为．
（3）解：设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为，
答：的面积为．
24．，
【分析】本题考查了整式的乘法运算−化简求值．原式利用单项式乘多项式以及平方差公式化简，合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
B
D
A
D
C
D
题号
11
12








答案
C
B