天津2025_2026学年高二数学上学期第一次月考02选择性必修第一册第1~2章：空间向量与立体几何直人教A版

这是一份天津2025_2026学年高二数学上学期第一次月考02选择性必修第一册第1~2章：空间向量与立体几何直人教A版，共19页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版（2019）选择性必修第一册第 1-2 章 空间向量与立体几何，直线和圆
第 I 卷（选择题）共 45 分
一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知空间中三点 ， ， ，则（ ）
A． 与 是共线向量 B． 的单位向量是
C．平面 ABC 的一个法向量是 D． 与 夹角的余弦值是
【答案】C
【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、平面法向量
的概念及辨析
【分析】A 选项，求出 ，设 ，无解，A 错误；B 选项，利用 进行
求解；C 选项，计算出 ，得到垂直关系，进而得到 C 正确；D 选项，
求出 ，利用夹角余弦公式得到 D 错误.
【详解】A 选项， ，设 ，
则 ，无解，故 与 不是共线向量，A 错误；
B 选项， 的单位向量为 ，B 错误；
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C 选项，由于 ，
，
与 均垂直，又由 A 知， 与 不共线，
故平面 ABC 的一个法向量是 ，C 正确；
D 选项， ，
设 与 夹角为 ，则 ，D 错误.
故选：C
2．如图中的直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线 , 的倾斜角为 ，由图可知 ，所以
，即 ， ，所以 ．
故选：D
3．空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间中点的位置及坐标特征、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
【分析】可知点关于 平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案．
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【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点 关于 平面的对称点是 .
故选：A.
4．设 ，已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】探求命题为真的充要条件、已知直线平行求参数
【分析】根据直线平行求得 ，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当 时， ，解得 或 ，
当 时，两直线分别为 ，符合题意，
当 时，两直线分别为 ，重合不符合题意，
所以 ,
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
5．如图，已知三棱锥 的每条棱的长度都等于 1，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】求空间向量的数量积
【分析】根据线面垂直的性质可得 ，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即
可求得.
【详解】 分别为 的中点，则 ，
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由已知三棱锥 为正三棱锥，取 中点为 ，连接 ，
由已知 和 为正三角形，则 ，
又 ，且 平面 ，则 平面 ，又 平面
则 ，即 ，
则 .
故选： .
6．已知圆 O 的方程是 ，则圆 O 中过点 的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】求出圆心，当过点 的直线与过点 的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线
的斜率乘积等于 可求直线方程
【详解】 ，圆心为 ，
圆心与 连线所在直线斜率为： ，
因为 ，
所以点 在圆内，
所以当过点 的直线与过点 的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
所以，最短弦所在的直线斜率 满足： ，所以，
由点斜式方程得，最短弦所在的直线为： ，
整理得：
故选：B
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7．已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l 的斜率的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围.
【详解】如图所示：
，而 ，
故直线 的取值范围为 .
故选：A.
8.已知直线 l：x﹣2y+8＝0 和两点 A（2，0），B（﹣2，﹣4），若直线 l 上存在点 P 使得|PA|+|PB|最小，则
点 P 的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，2）
答案 B
【解答】解：设点 C（m，n）为点 A（2，0）关于直线 l 的对称点，
则 ，解得 ，即 C（﹣2，8）．
由轴对称的性质可知：直线 l 上存在点 P 使得|PA|+|PB|最小，则 B、C、P 三点共线，
由 B（﹣2，﹣4），C（﹣2，8）可知 BC 的斜率不存在，可知直线 BC 方程为 x＝﹣2，
若 B、C、P 三点共线，将 x＝﹣2 代入 x﹣2y+8＝0，得﹣2﹣2y+8＝0，解得 y＝3，即 P（﹣2，3）．
故选：B．
9．在正方体 中，若棱长为 分别为线段 上的动点，则下列结论中错误的
个数为（ ）
（1） 平面
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（2）直线 与平面 所成角的正弦值为定值
（3）平面 平面
（4）点 到平面 的距离为定值
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】方法一：根据线线垂直即可求解 平面 判断（1），根据线面角的几何法，可得直线
与平面 所成角为 ，根据正切值，即可判断(2),根据面面平行的判定即可求解(3),利用等体
积法即可求解（4）.方法二：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向
量逐个计算判断即可
【详解】方法一：由于 平面 ， 平面 ，故 ,
又 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ,
同理可得 , 平面 ，故 平面 ，故（1）正确，
根据 平面 ，故直线 与平面 所成角为 ,则 ，
由于 长度是不确定的，故 的正弦值不为定值，故（2）错误，
由于 ， 平面 , 平面 ,故 平面 ,
同理可得 平面 , 平面 ，故平面 平面 ，（3）正
确，
由于 平面 ，故点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，故(4)正确，
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方法二：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ， ，
对于（1）， ，显然 ，
即 ， ，
而 ， 平面 ，因此 平面 ，（1）正确；
对于（2），由 平面 ， 平面 ，得 ，
因为 ， ， 平面 ，则 平面 ，
于是 为平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 不是定值，（2）错误；
对于（3），由选项 A 知 平面 ，即 为平面 的一个法向量，
而 ，则 ，
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即有 ，
又 ， 平面 ，因此 平面 ，
则平面 平面 ，（3）正确；
对于（4），显然 ，
因此点 到平面 的距离为 ，为定值，（4）正确.
故选：B
第 II 卷（非选择题）共 105 分
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10．已知向量 ， ，且 ， 夹角为钝角，则 的取值范围
【答案】
【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算
【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可.
【详解】因为 ， 夹角为钝角，所以 ，且 ， 不共线，
所以 ，解得 且 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为：
11．已知点 、 ，C 为线段 AB 上一点，若 ，则点 C 的坐标为 .
【答案】
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可.
【详解】∵ ，∴
∴ ，
∴ ，
即点 C 的坐标为
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故答案为： .
12．若直线 过点 ，且到点 和点 的距离相等，则直线 的方程为 ．
【答案】 或
【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、求到两点距离相等的直线方
程
【分析】解法 1：设出直线方程，利用 两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存
在进行讨论；解法 2：由题意数形结合，可推得直线 或直线 经过线段 的中点，分别求解即可．
【详解】解法 1：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，满足条件；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ．
由题意知 ，解得 ．故直线 的方程为 ．
综上所述，直线 的方程为 或 ．
解法 2：如图，当 时， ， 的方程为 ，即 ．
当直线 经过线段 的中点 时，又直线过点 ，故其方程为 .
综上所述，直线 的方程为 或 ．
故答案为： 或 .
13．圆 关于直线 对称，则实数 m 的值 ．
【答案】3
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求
参数
【分析】根据圆的方程写出圆心坐标且有 ，由圆关于直线对称，即圆心在直线上列方程求参数值
即可.
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【详解】由圆的标准方程为 ，则圆心为 ，
圆关于直线对称，则 ，即 或 ，
显然 时 ，不合要求， 满足 ，
所以 .
故答案为：3
14．已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的公共弦所在的直线方程
为 ，弦长为 .
【答案】
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求 到公共弦的距离，结合弦长公式求
结论.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的方程可化为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径 ，
， ，
所以圆 与圆 相交，
将圆 和圆 方程相减可得 ，
所以圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以公共弦的长为 .
故答案为： ； .
15．如图，在正方体 中， ，点 分别为 的中点，则平面 截正方体所
得截面面积为 ，动点 满足 ，且 ，则当 取得最小值时
二面角 的余弦值为 .
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【答案】 /
【知识点】判断正方体的截面形状、求二面角、面面角的向量求法
【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明 即可得到平面 截正方体所得截面为
梯形 ，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将 取得最小值转换为 ，其中
，进一步求出两平面的法向量即可求解.
【详解】由题意以点 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
第一空：因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 四点共面，
所以平面 截正方体所得截面为梯形 ，由对称性可知该梯形是等腰梯形，
因为正方体棱长为 4，
所以梯形的上底 ，下底 ，梯形的腰长为 ，
所以梯形的高为 ，
故所求截面面积为 ；
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第二空：由题意 ，且 ，
所以 ，
在 中，当 时， ，
所以 表示经过点 且法向量为 的平面，
即点 在平面 上，
由以上分析可知， ，
若要 取得最小值，只需 最小，此时 ，当然也有 ，
由题意设 ，而 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
所以可取 ，
显然平面 的一个法向量可以是 ，
二面角 的余弦值为 .
故答案为：18， .
【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将 取得最小值转换为 ，其中 ，由此即可顺利
得证.
三、解答题：本题共 5 小题，共 45 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题 14 分）三棱台 中，若 平面 ， ； ， ，
， 分别是 ， 中点．
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(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求
法
【分析】（1）求出平面 的一个法向量为 ，再证明 即可；
（2）求出平面 的一个法向量 ，再利用线面角的公式 求解即可；
（3）利用空间向量求出点 到平面 的距离为 ，再求出 的面积即可.
【详解】（1）以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ ，设平面 的一个法向量为 ，
∵ ， ，
令 ，∴ ，∵ ，∴ ，
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又∵ 平面 ，所以 平面 .
（2）∵ ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，设直线 与平面 所成角为θ，
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3） ，平面 的法向量为 ，
设点 到平面 的距离为 d， ，
又 ，
， .
17．（本题 15 分）已知 ， ， ．求（均写成一般式方程）：
(1) 边上的中线所在的直线方程 ；
(2) 边垂直平分线方程 及点 C 关于 对称点 D；
(3)过点 A 且倾斜角为直线 倾斜角 2 倍的直线方程．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点
【分析】（1）首先求出 的中点坐标，再利用点斜式求解直线方程即可.
（2）首先求出 的中点坐标，再利用点斜式求解直线方程即可.根据点关于直线对称的性质得到
，再解方程组即可.
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（3）首先根据正切二倍角公式得到所求直线的斜率，再利用点斜式求解直线方程即可.
【详解】（1）设 的中点为 ，则 ，
，则 ，即 .
（2）设 的中点为 ，则 ，
，则 ，
则 ，即 .
设 ，由题知： ，即
（3）设直线 的倾斜角为 ，则 ，
所以 .
所以过点 A 且倾斜角为直线 倾斜角 2 倍的直线方程为： ，
即 .
18．（本题 15 分）已知圆 及直线 .直线 被圆 截得的弦长为
.
(1)求 的值；
(2)求过点 并与圆 相切的切线的一般式方程.
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）根据圆心到直线的距离，结合垂径定理可得解；
（2）易知点 在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为 ，根据直线与圆相切，可得
，又当斜率不存在时，直线 与圆相切成立.
【详解】（1）由已知圆 ，
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即圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
所以弦长为 ，
解得 或 （舍）；
（2）由（1）得 ，
则圆 ，圆心 ，半径 ，
则点 在圆 外，
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
此时 ，解得 ，
则直线方程为 ，即 ；
当切线斜率不存在时，直线方程为 ，此时满足直线与圆 相切，
综上所述，切线方程为 或 .
19．（本题 15 分）已知关于 x，y 的方程 .
(1)若该方程表示圆 C，求 m 的取值范围；
(2)若圆 C 与圆 外切，求 m 的值；
(3)若（2）中的圆 C 与经过点 的直线 l 相交于 M，N 两点，且 ，求直线 l 的方程．
【答案】(1) ；
(2)4；
(3) 或 .
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的位置关系确定参数
或范围
【分析】（1）化给定方程为 ，利用方程表示圆，即可求出范围.
（2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出 的值.
（3）由（2）求出圆 的方程，由圆的弦长公式求出圆心 到直线 l 的距离，再按斜率存在与否分类求出方
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程.
【详解】（1）方程 ，变形得 ，
由方程表示圆，得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）由圆 ，得 ，此圆圆心 ，半径为 ，
又圆 的圆心 ，半径 ，
由圆 与圆 相外切，得 ，即 ，
所以 .
（3）由（2）知，圆 的圆心 ，半径 ，
由圆 的弦长 ，得圆心 到直线 的距离 ，
圆心 到直线 的距离为 ，且直线 过点 ，因此直线 方程可以是 ；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，直线 的方程为 ，
所以直线 l 的方程为 或 .
20．（本题 16 分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段 的长；
若不存在，说明理由.
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【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在， 或
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；
（3）假设棱 存在一点 使得 ，且 ，即可求出 ，利用向量的夹角公式列出关
于 的方程求解即可.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
点 是 的中点，点 是 的中点，
所以 , 平面 , 平面 ，
所以 平面 ；
（2）以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则 ，
设平面 的法向量 ，
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则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量 ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（3） ，
，设 ，
，
由（2）知平面 的法向量 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 ，
整理得 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
则 的长为 或 .
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