2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01选择性必修第一册：空间向量与立体几何直线含解析人教A版

这是一份2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01选择性必修第一册：空间向量与立体几何直线含解析人教A版，共16页。试卷主要包含了测试范围，已知点，直线l，已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+直线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过，两点的直线倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，所以，
因，所以，
故选：D.
2．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出点的坐标可得答案.
【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以.
故选：A.
3．已知，则（ ）
A．-1B．1C．0D．-2
【答案】A
【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果.
【详解】由已知可得, ，
则，
故选：A
4．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．C．12D．14
【答案】C
【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，即，
因为直线与直线的距离为，
所以，即，解得或（舍去），
故．
故选：C
5．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解.
【详解】由题意有，所以
，
所以，所以，
故选：B.
6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合，
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点， ，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故选：B.
7．已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】D
【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
【详解】将直线l的方程变形为，由，
得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.
故选：D.
8．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解
【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以，
又，且
所以，所以,
取的中点，易得,又
所以平面，又平面，所以平面平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
令，所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为直线AC与BD所成角为，所以，
解得，即，
如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，
设点A在平面内的投影为，作，
所以,
所以在中，
,,
所以在中，，解得，
所以，三棱锥外接球表面积为，
故选：A
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解；
3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量B．四点共面
C．D．
【答案】AD
【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.
【详解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；
设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；
，所以与不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10．已知直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距
B．若点在直线上，则点也在直线上
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可.
【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误；
若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确；
当时， 与重合，故C错误；
若，则，故D正确.
故选：BD
11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则面
B．若，则
C．若，则到平面的距离为
D．若时，直线与平面所成角为，则
【答案】ACD
【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围.
【详解】连结，由可知，点在线段上，
因为，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，且平面，
所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；

如图以为原点建立空间直角坐标系，则
，，
对于A，，
则，得，则，
，A正确：
对于B，由A分析可得，
故不与垂直，故B错误；
对于C，时，，又，
设平面的法向量为，则，
故可取，又，
则到平面的距离为，故C正确：
对于D，当时，，则，
又由C已得平面的法向量为，
则
当，
当，
因在上单调递减，则，则有，
则，则当时，，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则 .
【答案】
【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值.
【详解】根据夹角公式，，
注意到，则，
于是.
故答案为：
13．已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ．
【答案】
【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，四点共面，则，且，
又，即，
即，
所以，解得.
故答案为：
14．已知点在直线上，则的最小值为
【答案】4
【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值.
【详解】，
表示直线上的点到定点和的距离和，如图，
点关于的对称点为，，
当点三点重合时，最小，最小值为4.
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
（2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】（1）∵，，
∴，.
又()∥()，
∴，解得，.
（2）由，得，
∴，∴，即，∴，解得.
16．（15分）
据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；
(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；
(3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】根据题给条件设直线方程即可.
（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解.
（2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可.
（3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为.
（2）因为点，，中点为，，
则垂直平分线的斜率，则，
直线方程为，所以直线的一般方程为.
（3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过
当截距时，直线过，，则，即；
当截距时，直线斜率，则，即.
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和.
17．（15分）
如图在平行六面体中，，．

(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面；
（2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值.
【详解】（1）设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
则，，
可得，，
即，且，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，
则，
，即，
则，即，
设与的夹角为，则，
所以直线和夹角的余弦值为.
18．（17分）
已知的三个顶点的坐标为，，．求：
(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
(2)点C关于直线AB对称点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求；
（2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案.
（3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积.
【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知，
即，则，解得，即.
（2）直线AB的方程为，即，
点关于直线AB对称点的坐标为，
所以，解得：，
故C关于直线AB对称点的坐标为.
（3），
直线AB的方程，
点到直线AB：的距离为，
∴.
19．（17分）
如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且
【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解.
【详解】（1）在图1中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.