2025_2026学年高二数学上学期第一次月考选必一空间向量与立体几何直线圆含解析人教B版

这是一份2025_2026学年高二数学上学期第一次月考选必一空间向量与立体几何直线圆含解析人教B版，共27页。试卷主要包含了测试范围，如图，四边形 中， ， 等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 B 版 2019 选择性必修第一册第一章~第二章 2.3 节。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若 ， ，则 .
故选：D.
2．设 ， ，向量 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设 、 ，向量 ，且 ，
，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
故选： ．
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3．已知直线 经过点 两点．直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，设 的倾斜角为 ，
所以 ，
故 ，
故直线 的斜率为 ，
故选：A
4．到直线 的距离为 1 的直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】设所求直线方程为 ．由题意知 ，解得 或 ，
即所求直线方程为 或 ．
故选：D．
5．对于空间任一点 和不共线的三点 ，有 ，则“ ”是
“ 四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】空间任意一点 和不共线的三点 ，
令 ，
若 ，则 ， ，
， ，
所以 四点共面，
所以充分性成立；
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若 四点共面，
当 与四个点中的一个（比如点 ）重合时，
， 可取任意值，不一定有 ，
即不一定有 ，
所以不能得到 ，
故必要性不成立，
所以“ ”是“ 四点共面”的充分不必要条件，
故选：B.
6．过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】化 为 ，圆心为 ，半径为 2
所以点 到圆心的距离为 ，则切线长为 ，
所以 ，则 .
故选：D
7．如图，四边形 中， ， ．现将 沿 折起，当二面角
处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【详解】设向量 与 所成角为 ，二面角 的平面角大小为 ．
因为 ，所以 ．又 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
所以 ，又因为 ， ．
所以在 中， ，即 ，
又由 ， ．
因为 ，所以
．
所以 ，即
又因为 ，所以 ．
因为异面直线所成角范围为 ，
所以直线 与 所成角的余弦值取值范围是 ．
故选：C.
8．已知直线 与直线 交于点 ，点 关于直线 对称的点为 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】D
【详解】由 ，解得 ，可得 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，则 无意义；
当 时，
，当且仅当 即 等号成立；
当 时，
，当且仅当 即 等号成立；
综上， ，或 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出 点坐标，代入 利用基本不等式求最值.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．如图，在平行六面体 中， 为 的
中点，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】依题意可得 ，
同理 ， ，故 C 正确；
连接 ，
则 ，故 A 正确；
，故 B 错误；
，故 D 正确.
故选：ACD.
10．圆 和圆 的交点为 A，B，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在直线的方程为
B．公共弦 AB 所在直线的方程为
C．公共弦 AB 的长为
D．若 P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为
【答案】AD
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程为 ，即 ；故 A 正确，B 错误，
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由 ，
易知 ，半径 ，
则点 到直线 的距离 ，
故弦长 ；故 C 正确，
当 ，并在如图所示位置时，
P 到直线 AB 的距离最大，为 ；
故选：AD.
11．已知直线 过定点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 过定点
B．若直线 不经过第四象限，则 的取值范围为
C．若直线 在 轴上的截距为－3，则
D．若直线 分别交 x，y 轴正半轴于 A，B，则当 取得最小值时，直线 的方程为
【答案】ACD
【详解】对于 A，直线 ，即 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，故 A 正确；
对于 B，直线 ，即 ，
直线 不经过第四象限， ，解得 ，
故 的取值范围是 ，故 B 错误；
对于 C，易知 时，直线 在 轴上的截距存在，
依题意，令 ，得直线 在 轴上的截距为 ，解得 ．
对于 D，设 三点共线，
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，整理得
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
当 取得最小值时，直线 的方程为 ，即 ．
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．直线 经过点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【详解】依题意，设 ， ，
则 ， ，
则 ，
由 得 ，解得 ，
则 ， ，
则直线 的斜率为 ，方程为 即 .
故答案为： .
13．已知 P 为圆 上的动点，点 ， ，若 为常数，则 .
【答案】
【详解】设动点 ，则有 ，
由 ，
由于 为常数,所以 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ，
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故答案为： .
14．对于两个空间向量 与 ，我们定义 为
两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为 .如图，在棱长为
1 的正方体 中， ；若点 P 在底面 内（含边界）运动，且
，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，设 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知直线 ．
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【详解】（1）由直线 可得斜率为 ， 2 分
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ； 6 分
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ， 分
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 ，
代入 得 ，此时 ； 分
当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 12 分
综上所述：所求直线方程为 或 ． 13 分
16．（15 分）已知空间中三点 ， ， ．
(1)设 ，且 ，求 的坐标；
(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求顶点 D 的坐标；
(3)求 的面积．
【详解】（1）由已知得 ．
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因为 ，所以可设 ，
所以 ，解得 ， 分
所以 或 ． 分
（2）设 ，因为 ABCD 是平行四边形，所以 ，
由 ， ， ，
得 ， ， 分
所以 ，故 ． 分
（3）由题可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， 分
又 ，所以 ，
所以 的面积 ． 15 分
17．（15 分）已知定点 ，点 为圆 上的动点， 为 的中点．
(1)求 的轨迹方程；
(2)若过定点 的直线 与 的轨迹交于 两点，且 ，求直线 的方程．
【详解】（1）设 点的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
点 为圆 上的动点，
，化简得 ，
故 的轨迹方程为 ． 3 分
（2）圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
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此时圆心到直线 的距离是 ，所以 ，满足条件； 6 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
化简得 ，
因为 ，所以圆心到直线 的距离 ， 分
由圆心到直线 的距离公式得 ，
所以 ，即 ，平方得 ，
整理得 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即 ． 13 分
综上，直线 的方程为 或 ． 15 分
18．（17 分）如图，在三棱柱 中，点 在底面 ABC 的射影为 ， ， ，
， ，E 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
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(2)若直线 AB 与平面 EAC 所成角的正弦值为 ，求 AB．
【详解】（1）如图①，连接 BO 并延长交 AC 于 D．
连接 OA， ，易得 平面 ABC． 分
因为 平面 ABC， 平面 ABC，
所以 ， ．
又 ，所以 ，
即 ，故 ． 4 分
因为 ，所以 ，
则 ， ，
即 ，故 ，所以 ，
故 O 为 BD 的中点，又 E 是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 7 分
（2）因为 ，故以 A 为坐标原点，AB，AC 所在直线分别为 x，y 轴，
过点 A 作 ，建立如图②所示的空间直角坐标系 Axyz， 8 分
易得 ，
设 ， ，则 ，
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故 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， 分
设平面 AEC 的法向量为 ，
则 ，
则 ，令 ，得 ，故 ， 分
设直线 AB 与平面 EAC 所成的角为θ，
则
解得 ，即 ． 分
19．（17 分）已知曲线 .
(1)在答题卡中画出 C 的大致图形，并说明理由.
(2)若 是 C 上的动点， ， ，证明： 为定值.
(3)若直线 与 C 的所有交点的纵坐标之和大于 ，求 m 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 或 ，
所以 C 由两条直线 与圆 组成. 分
故 C 的图形如图所示.
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6 分
（2）因为 ，所以点 P 在圆 上，
所以 ，所以 为定值. 10 分
（3）将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 ，则 .
因为 ，所以 l 不经过点 ，（ ，依题意可得，l 与圆 的所有交点的纵坐标之和大于
.
12 分
当 时，l 与 C 的所有交点的纵坐标之和为 ，所以 不符合题意. 14 分
当 时，联立 消去 x，得 .
因为 l 过定点 ，且该点在圆 的内部，所以 l 与圆 总有两个交点.
设 l 与圆 的交点为 ， ，则 ，解得 ，
故 m 的取值范围为 . 分
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