全国通用2025_2026学年高二数学上学期第一次月考02选择性必修第一册第1~2章：空间向量与立体几何直人教A版

这是一份全国通用2025_2026学年高二数学上学期第一次月考02选择性必修第一册第1~2章：空间向量与立体几何直人教A版，共31页。试卷主要包含了测试范围，已知 分别为直线 的方向向量，，已知直线 直线 则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版 2019 选择性必修第一册第一章~第二章。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
1．【答案】C
【解析】由直线方向向量为 ，则直线斜率为 ，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为 .
故选：C
2．在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ，若 三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．【答案】A
【解析】由于 ，
由于 三点共线，所以 ，解得 ，
故 ,
故选：A
3．直线 与直线 间的距离是（ ）
A． B． C． D．１
3．【答案】B
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【解析】直线 方程为 ，直线 方程为 ，
所以所求距离为 .
故选：B
4．如图，在空间四边形 中， 是 的中点，点 在 上，且 ，设
，则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
4．【答案】C
【解析】因为 ，则 ，即 ，
因 是 的中点，则 ，
所以 .
故选：C．
5. 已知圆 与圆 有三条公切线，则 （ ）
A．5 B．16 C．32 D．36
5.【答案】C
【解析】由 可知圆心为 ，半径为 2；
由 可知 且圆心为 ，半径为 .
因两个圆有三条公切线可知两圆外切，
即 ，
解得： .
故选：C.
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6.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ，点 是棱 的中点，点 在
棱 上运动，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.【答案】D
【解析】因为 平面 ， ，
所以以 为原点， 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
连接 ，则 ， ，设 ，其中 ，
所以 ， ，则点 到直线 的距离：
.
设 ，因为 ，所以 ，则 .
所以点 到直线 的距离的最小值为 .
故选：D
7．[新题型·数学文化题]战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国
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古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系 中，一条光线
从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． 或 B． C． D．
7．【答案】A
【解析】根据题意，设 与点 关于 轴的对称，则 的坐标为 ，
则反射光线经过点 ，且与圆 相切，
若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，不合乎题意，
所以，反射光线所在直线的斜率存在，
设反射光线所在直线的斜率为 ，则反射光线所在直线的方程为： ，
即 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，则由圆心 到反射光线的距离等于半径可得
，即 ，解得： 或 ，
故选：A.
8．[新题型·知识交汇题]如图， 图象上两点 关于原点对称，点 的横坐标 ，过点
分别作两坐标轴的垂线得到矩形 ，矩形与坐标轴的交点分别记为 .将图象沿 轴折
叠，得到一个二面角 ，若 ，则二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
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8．【答案】B
【解析】由题意可得， ，设二面角 的大小为 ，
因为 ，所以
，
所以 ，因为 ，所以 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知 分别为直线 的方向向量（ 不重合）， ， 分别为平面 的法向量（ 不重合），
则下列说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．【答案】ABC
【解析】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件，
故 A、B 正确；
若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件，
故 C 正确，D 错误.
故选：ABC
10．已知直线 直线 则（ ）
A． 在 y 轴上的截距为 B． 恒过点
C．当 时 D．当 时，
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10．【答案】AC
【解析】对于 A 即 故直线 在 y 轴上的截距为 故 A 正确；
对于 B 即 令
可得 即直线 恒过点 故 B 错误；
对于 C，当 时，即 故 故 C 正确；
对于 D，当 时，令 此时直线
与直线 重合，两直线不平行，故 D 错误.
故选：AC.
11．[新题型·学科交叉题]六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，
有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正
八面体 ，下列说法中正确的有（ ）
A．平面 EAD 平面 FCB
B．平面 EAD 平面 ECB
C．异面直线 与 所成的角为
D．若点 P 为棱 上的动点，则直线 AP 与平面 FAD 成的角的正弦值的范围
11．【答案】ACD
【解析】连接 AC、BD、EF，
根据题意可设其交于点 O，则 A、E、C、F 四点共面，且 O 为 AC、BD、EF，的中点，
所以四边形 AECF、BEDF 都是平行四边形，所以 ，
又 平面 EAD， 平面 EAD， ，所以 FC//平面 EAD，
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平面 EAD， 平面 EAD，所以 平面 EAD，
FB//平面 EAD，FC//平面 EAD，又 FB、FC 在平面 ECB 内相交于点 F，
所以平面 EAD//平面 FCB，故 A 对；
分别取 AD、BC 中点 M、N，连接 MN，则 MN 的中点为 O，
由 ， 平面 BCE， 平面 BCE，所以 AD 平面 BCE，
又 平面 ADE，则平面 ADE 与平面 BCE 的交线 l 与 AD 平行，
因为 都是等边三角形，所以 ，
所以 ，则 为平面 ADE 与平面 BCE 所成的平面角，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，故 B 错误；
由 EF 与 AC 垂直相交，且长度相等，则四边形 AECF 是正方形，所以 ，
则直线 与 所成的角即为 BF 与 CF 所成角，
正 中， ，故异面直线 与 所成的角为 ，故 C 对；
根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令 ，
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则 ，
所以 ，
设平面 FAD 的一个法向量为 ，则 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以平面 FAD 的一个法向量为 ，
因为点 P 为棱 上的动点，
所以设 ，
则 ，
设直线 AP 与平面 FAD 成的角为 ，
，
又 ，
当 时， ，当 或 0 时， ，
故直线 AP 与平面 FAD 成的角的正弦值的范围 ，故 D 对；
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知点 关于 轴的对称点是 ，则
12．【答案】
【解析】根据空间直角坐标系的定义，可得点 关于 轴的对称点是 ，
可得 .
13．过点 作圆 的切线，则切线方程为 .
13．【答案】 或
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【解析】由题意可知， ，故 P 在圆外，
则过点 P 做圆 O 的切线有两条，
由圆心 到直线 的距离为 ，
且点 在直线 上，故 符合要求；
当切线的斜率存在时，设为 ，
设切线为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，故切线方程为 .
14．[新题型·社会热点题]如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计
了一个矩形坐标场地 （包含边界和内部， 为坐标原点）， 长为 10 米，在 边上距离 点
4 米的 F 处放置一只电子狗，在距离 点 2 米的 处放置一个机器人，机器人行走速度为 ，电子狗行
走速度为 ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 ，那么电子狗将被机器人
捕获，点 叫成功点．在这个矩形场地内成功点 的轨迹方程是 ；若 为矩形场地 边
上的一点，电子狗在线段 上总能逃脱，则 的取值范围是 .
14．【答案】 ，
【解析】分别以 ， 为 轴， 轴建立平面直角坐标系，则 ， ，
设成功点 ，则 ，即 ，
化简得 ，因为点 在矩形场地内，所以 ，
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所以点 的轨迹方程是 .
当 与圆 相切时，则有 ，
所以 ，所以 ，又 ，
若电子狗在线段 上总能逃脱，则 点的横坐标取值范围为 ，
所以 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
已知直线 ．
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
15.（13 分）
【解析】（1）由直线 可得斜率为 ，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ， （5 分）
所以所求直线方程为 ，整理得 .(6 分)
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 ，
代入 得 ，此时 ； （8 分）
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当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，
综上所述：所求直线方程为 或 ．（13 分）
16．（13 分）
如图，已知 是底面边长为 2 的正四棱柱， 为 与 的交点， 为 与 的交
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若点 到平面 的距离为 ，求正四棱柱 的高.
16.（15 分）
【解析】（1）证明：连接 ，
因为 是底面边长为 2 的正四棱柱，
所以 // ，
故四边形 为平行四边形，则 ， // ，（3 分）
又 为 与 的交点， 为 与 的交点，
所以 ，且 ，
故四边形 为平行四边形，（5 分）
所以 ，又 平面 ， 不在平面 内，
所以 平面 .(6 分)
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（2）以 为坐标原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，（11 分）
点 到平面 的距离为： ，（13 分）
解得 ，
故正四棱柱 的高为 .（15 分）
17．（15 分）
已知圆 的圆心为 ，且圆 与直线 相切.
(1)求圆 的方程：
(2)圆 ，是否存在实数 ，使得圆 与圆 公共弦的长度为 2，若存在，求
出实数 的值：若不存在，请说明理由.
17．（15 分）
【解析】（1）设圆 的半径为 ，
圆 与直线 相切，
所以圆心 到直线 的距离是圆 的半径，
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即 ，
所以圆 的方程为 .（5 分）
（2）圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
两个圆有公共弦，则 ，
即 ，解得 ，（8 分）
由 得两圆公共弦所在直线方程为 ，（10 分）
又两圆的公共弦长为 2，则圆心 到公共弦所在直线的距离为
，且 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，经检验符合题意，
故存在实数 ，使得圆 与圆 公共弦的长度为 2.（15 分）
18．（17 分）
如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ，并且
，点 在棱 上.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为 ，求 的值；
(3)点 、 分别是线段 、 上的动点，求 周长的最小值.
18．（17 分）
【解析】（1）由条件可知， ， ， ，
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所以 ，所以 ，
又因为 是直角三角形，所以 ，
取 的中点 ，连结 ，则 ，（2 分）
所以 ， ，且 ，
所以 ，则 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .(5 分)
（2）以点 为原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，设 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ， ，令 ，则 ，
即平面 的法向量为 ，（8 分）
平面 的法向量为 ，
因为二面角 的正切值为 ，所以二面角的夹角的余弦值为 ，
则 ， ，解得： ，
所以 .(12 分)
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（3）如图，以 为轴，将 和 展开，与 在同一平面，点 分成 和 ，当
四点共线时， 为 的周长的最小值，
设 ， ， ，则 ，
所以 ，
，(15 分)
，
所以 .（17 分）
所以 周长的最小值为 .(17 分)
19．（17 分）
已知圆 C 过 ， ，且圆心 C 在 x 轴上．
(1)求圆 C 的周长；
(2)若直线 过点 ，且被圆 C 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
(3)过点 C 且不与 x 轴重合的直线与圆 C 相交于 M，N，O 为坐标原点，直线 ， 分别与直线 相
交于 P，Q，记 ， 面积为 ， ，求 的最大值．
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19．（17 分）
【解析】（1）由圆心 C 在 x 轴上，设圆的方程为 ，
又圆 C 过 ， 得 ，
解得 ， ，所以圆的方程为 ，
其周长为 （4 分）
（2）因为直线与圆 C 截得的弦长为 ，
所以圆心 C 到直线 的距离为 ，
①若直线 斜率不存在时，直线 与圆 C 交点为 ，
直线与圆 C 截得的弦长为 ，故直线 符合题意． （6 分）
②若直线 斜率存在时，设 ，整理得 ，
所以圆心 C 到直线 的距离为 ，解得 ，
则直线 ，即直线 ．
综上所述，直线 的方程为 或 ．（10 分）
（3）由题意知， ，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
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由 ，得 ，解得 或 ，
则点 的坐标为 ， （12 分）
又直线 的斜率为 ，同理可得：点 的坐标为
由题可知： ， ，（14 分）
故 ，
又∵ ，同理 ，
∴ ．
当且仅当 时等号成立．所以 的最大值为 ．（17 分）
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