安徽省铜陵市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省铜陵市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量基底的定义解答即可.
【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面.
又，，，
则，，都分别与，共面，故ABC错误；
假设与，共面，
则存在，使得，
则，
所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立，
所以与，不共面，可构成基底，故D正确.
故选：D.
2. 设，，向量，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据和，可分别求出的值，再根据向量的模长公式即可求解.
【详解】因为，所以即，解得x=0，
因为，所以，解得y=-1，
所以，，
所以.
故选：B.
3. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案
【详解】解：由可得，所以圆心为，
由可得，所以圆心，
因为与圆关于直线对称的圆的方程为，
所以关于直线对称的点为，且半径相等，
所以与中点在上，即解得，满足题意，
故选：C
4. 若直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得，根据空间向量共线的判定依次判断即可.
【详解】因为直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，
对A，，不平行；对B，，不平行；
对C，，，故C正确；对D，不平行.
故选：C.
5. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线AQ的斜率，由光的反射定律求出反射光线所在直线的斜率即可得解.
【详解】依题意，直线AQ的斜率为，
由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线AQ关于x轴对称，则它们的倾斜角互补，
于是得反射光线所在直线的斜率为-1，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故选：C
6. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【详解】因为满足圆的方程，
所以点在圆上，又，所以，
因，则，解得，
故切线：，即.
因为切线与直线平行，所以，解得，
故直线：，
则平行直线与间的距离为.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（ ）
A. 9B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得切点弦的方程为，进而根据其与圆相切得，即，进而根据二次函数性质得最小值.
【详解】解：设点，，，，
因为分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，
所以，则，即，
所以，
因为，
所以，即是方程的解，
所以点在直线上，
同理可得在直线上，
所以切点弦的方程为，
因为直线与圆相切，
所以，解得，即
所以，
所以当时，直线方程为，此时
所以的最小值为.
故选：D
8. 已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限)在椭圆上，且交轴于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出椭圆的方程，画出简图，结合图象，得到，设点，由两点间的距离公式，以及相似三角形转化为的表达式，然后求解取值范围，即可求解．
【详解】设椭圆方程为，
由题意有，由此解得，
椭圆方程为，
结合题意画出图象，如下图所示，
为的垂直平分线，所以，
又为中点，为中点，
由中位线定理可得，．
设点，点在椭圆上，
，即，且，
由两点间的距离公式，
得
，
同理可得，
线段的垂直平分线与的交点第一象限)在椭圆上，
，，
，，，
，
又，，
，
令，
由复合函数的单调性可知，在上单调递增，
，，
故的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用，构造函数，再利用其单调性可得答案．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形
D. 当时，的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】
将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由可得：，
由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；
对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，
平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，
故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；
对于选项C：由可得，圆心，，
由 可得，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故选项C正确；
对于选项D：设点坐标为，所以，即，
因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，
整理可得：，与已知圆相减可得，
消去可得：即，由可得，
所以直线经过定点，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：
（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.
（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：
.
11. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，面面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 存在，使得
【答案】AD
【解析】
【分析】取的中点，连接，，可证明，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，写出各点的坐标，依次用空间向量进行解答即可.
【详解】取的中点，连接，，
为等腰直角三角形，且，，
又面面，面面，面，
面，
又，底面是菱形，是等边三角形，，
则以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则A2,0,0，，，，，，
，，
，，
且，
故选项A正确；
当时，，
设平面的一法向量为n1=x1,y1,z1，平面的法向量为，
则，，
可取平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，所以选项B错误；
设面的法向量，
则，
取，即平面的法向量为，
又，
则点到平面的距离为，故选项C错误；
又，
所以时，，故选项D正确．
故选：AD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算法则，可得，再将其两边平方，由向量数量积的运算法则，可得解．
【详解】因为，
所以
，
所以.
故答案为：．
13. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可.
【详解】曲线，即
直线过定点，
如图：B−2,1，，
当直线与曲线有一个交点时，
则直线夹在了直线与直线之间，而，
所以此时k的取值范围是1,+∞，
当直线与曲线相切时也只有一个交点，
则圆心0,1到直线的距离为：
，解得，
所以实数k的取值范围是：.
14. 如图，在直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、为椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】作点关于原点的对称点，连接、、，分析可知且、、三点共线，故，设直线的方程为，点Mx1,y1、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式可求得的取值范围，即可得解.
【详解】解：作点关于原点的对称点，连接、、，易知点、，
由椭圆的对称性可知点也在椭圆上，
因为为、的中点，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为，故、、三点共线，则，
所以.
因为点、为椭圆上位于轴上方的两点，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点Mx1,y1、，
联立可得，
则，
由韦达定理可得，，
所以，，
所以，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知空间直角坐标系中的三点，，．
（1）若，且∥，求向量的坐标；
（2）已知向量与互相垂直，求k的值；
（3）求点B到直线AC的距离．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线，即可根据模长公式求解；
（2）根据向量垂直的坐标运算即可求解；
（3）利用向量法的点到线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
，因为，
所以，然后根据，
可得，所以或；
【小问2详解】
由于,
所以，
故，得；
【小问3详解】
由于，，
设在上的投影向量的模长，则所求距离．
16. 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.
（1） 当l1//l2时，求实数a的值；
（2） 当l1⊥l2时，求实数a的值.
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；
（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.
【详解】解：由题意得：
（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：
时， 解得a＝-1
综上可知，当a＝-1时，l1//l2
(方法2)∵l1//l2
∴⇔解得a＝－1
故当a＝－1时，l1//l2.
（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得
(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得
17. 圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设切线方程为，根据到切线的距离等于计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；（2）设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即，所以是方程的两实根，再根据公式，
求其最小值，代入三角形面积公式求解．
【小问1详解】
时，，设圆过点的切线方程为，即，
故到直线的距离，
解得或，所以切线方程x=1和．
，，，
故以为圆心，以为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
所以直线的方程为：，即．
【小问2详解】
设直线与的直线方程分别为：，

又与圆相切，
所以，即．
所以，
，，
，，
，
所以面积的最小值为．
,
18. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2.
（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；
（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）不与平面平行
（2）平面不与平面垂直
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为n=x,y,z，转化为是否为0即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，转化为两个向量数量积是否为0即可；
（3）求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角余弦值再转化即可.
【小问1详解】
若二面角为，则平面平面，
因为平面平面，且，所以平面，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，因为，
所以令，得，
因为，所以，
所以不与平面平行.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得，
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直.
【小问3详解】
在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆C：，短轴长为4，离心率为，直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的取值范围；
（3）若圆O以椭圆C的长轴为直径，直线l与圆O交于C、D两点，若动点满足，试判断直线MC与圆O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）MC与圆O相切，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的关系求解；
(2)利用韦达定理求出，再结合函数的单调性求面积的最值；
(3)利用向量的数量积的坐标表示，再证明即可判断位置关系.
【小问1详解】
由题可得，，且解得，，
椭圆C标准方程为.
【小问2详解】
由题可知，直线l不能与x重合，，设直线l的方程为，
直线l与椭圆C的交点为，，
由化简得，
，，
令，可得，，，
设 时单调递增，所以当时 取得最小值为，所以，
当，即时面积取到最大值
【小问3详解】
MC与圆O相切.
圆O方程为，设，因为点C在椭圆上，
所以，，，
，，
由，得，
即，，可得，
方法1：
且，
可得，，，
所以MC与圆O相切，
方法2：，
所以，，所以MC与圆O相切.