安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,−2,2，且a⊥c，b//c，则a+b=( )
A. 2 2B. 3C. 5D. 4
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于中档题．
根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得x，y，可得a=0,1,1,b=1,−1,1，解得a+b=1,0,2，再由模长公式求解．
【解答】
解：a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,−2,2)，
因为a⊥c,b/​/c，则2x−2+2=012=y−2,
解得x=0y=−1,
所以a=0,1,1,b=1,−1,1，
则a+b=1,0,2，
所以|a+b|= 5．
故选C．
2.已知a,b,c是空间向量的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是( )
A. aB. bC. a+2bD. a+2c
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量基底意义的正确理解及应用，属于基础题．
利用空间向量基底的意义即可得出．
【解答】
解：∵a=12(p+q)，b=12(p−q)，a+2b=32p−12q，
∴A，B，C中的向量都不能与向量p=a+b，q=a−b构成基底．
∵{a,b,c}是空间向量的一个基底，
∴与向量p=a+b，q=a−b构成基底中必须存在c，D满足题意．
故选D．
3.已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若OD=12OA+xOB+yOC，则2xy的最大值为( )
A. 12B. 14C. 18D. 116
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题．
x+y+12=1，利用基本不等式求最值，即可求解．
【解答】
解：∵O为空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，
OD=12OA+xOB+yOC，
∴x+y+12=1⇒x+y=12⇒2xy≤2(x+y2)2=2×116=18，当且仅当x=14，y=14时取得等号，
∴2xy的最大值为18．
故选：C．
4.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2​2，PB⊥平面ABC，点M，N分别AC，PB的中点，MN= 6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，则|BQ||BA|为( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量法求空间异面直线的夹角，属于中档题．
以B为原点，BA,BC,BP坐标轴建立空间直角坐标系，设|BQ||BA|=λ，由异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，可列式|PM⋅CQ||PM|⋅|CQ|=|2λ−2|3 2⋅ 4λ2+4= 3434，求出λ即可．
【解答】
解：如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2，AC=2​2，∴BA⊥BC，
∵PB⊥平面ABC，以B为原点，BA,BC,BP坐标轴建立空间直角坐标系，
可知B0,0,0，C0,2,0，M1,1,0，
∵BM= 2,MN= 6，
∴BN= MN2−BM2=2，
∴PB=4，则P0,0,4，
设BQ→BA→=λ，且00)，过右焦点F且倾斜角为π4的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线x=a2c和AB于点P和M，若3|AB|=4|PM|，则椭圆C的离心率为( )
A. 3 25B. 2 23C. 63D. 22
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于拔高题．
先根据题意得到直线AB的方程，并将其与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系将|AB|，|PM|表示出来，再根据3|AB|=4|PM|，即可得到椭圆C的离心率．
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，易知直线AB的方程为y=x−c，
由y=x−c,x2a2+y2b2=1,消去y得(b2+a2)x2−2a2cx+a2(c2−b2)=0，
则x1+x2=2a2ca2+b2x1x2=a2(c2−b2)a2+b2,
所以|AB|= 1+12|x1−x2|=4ab2a2+b2，xp=a2c，
可知xM==x1+x22=a2ca2+b2，
所以|PM|= 1+(−1)2|xM−xP|=2 2a2b2c(a2+b2)，
又3|AB|=4|PM|，
即3×4ab2a2+b2=4×2 2a2b2c(a2+b2)，
所以e=ca=2 23．
故选B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 若非零向量a，b，c满足a⊥b，c⊥b，则有a//c
B. 任意向量a，b，c满足a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
C. 若OA，OB，OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A,B,C,D四点共面
D. 已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若x>310，则为锐角
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角 ，属于基础题．
根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C;根据空间向量的夹角判断D．
【解答】
解：A，若非零向量a，b，c满足a⊥b，c⊥b，则a，c不一定平行，故A错误；
B，∵ a ， c 不一定共线，则 a⋅b⋅c=a⋅b⋅c 不一定成立，故B错误；
C，若OA、OB、OC是空间的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，
则OD−OA=13OB−OA+13OC−OA，即AD=13AB+13AC，
则A，B，C，D四点共面，故C正确；
D、cs=a⋅b|a|⋅|b|=10x−3 2+x2⋅ 90+x2，
若 x>310 ，则 10x−3>0 ，可得 csa,b>0 ，
若 a,b 共线，则 1−3=1x=x9 ，解得 x=−3310 时， a,b 不共线，
∴ 为锐角，故D正确；
故选：CD．
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若方程x2+y2+mx−2y+3=0表示圆，则m的取值范围是−∞,− 2∪ 2,+∞
B. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,3)
C. 圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2−4x−8y+4=0恰有2条公切线
D. 已知圆C1:x2+y2−2x−6y−1=0和圆C2:x2+y2−10x−12y+45=0，圆C1和圆C2的公共弦长为2 7
【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题..
A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得m的值；D.设出点P，求出以线段PC为直径的圆Q的方程，题中的切点A、B为圆Q与圆C的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线AB经过的定点．
【解答】
解：A.若方程x2+y2+mx−2y+3=0表示圆，
则m2+−22−4×3>0⇒m>2 2或mb>0)的上顶点与右焦点连线的斜率为− 22，C的短轴的两个端点与左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为2 2．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)已知点P0, 2，若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当直线AP，BP的倾斜角互补时，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】解：(1)设椭圆的上顶点为M(0,b)，左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，
由kMF2=b−c=− 22，得c= 2b.
因为短轴的两端点与椭圆左、右焦点连线所构成的四边形的面积为2 2，
所以2S△MF1F2=2×12×2c×b=2 2
由上面两个方程解得b=1，c= 2，则a= b2+c2= 3
故椭圆C的标准方程为x23+y2=1
(2)设直线l的方程为y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2).
因为直线AP，BP的倾斜角互补，所以kAP+kBP=0．
联立方程组y=kx+t,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2−3=0，
Δ=6kt2−41+3k23t2−3=12+36k2−12t2，
根据韦达定理可得x1+x2=−6kt1+3k2，x1x2=3t2−31+3k2，
从而有kAP+kBP=y1− 2x1+y2− 2x2
=(kx1+t− 2)x2+(kx2+t− 2)x1x1x2
=2kx1x2+(t− 2)(x1+x2)x1x2
=2k+(t− 2)(x1+x2)x1x2
=2 2kt−2kt2−1．
所以−2k+2 2kt=0，k≠0，解得t= 22.满足Δ>0，
即直线l的方程为y=kx+ 22，显然直线l过定点(0, 22).
【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于较难题．
(1)利用条件，结合椭圆的性质求出a，b，即可得椭圆方程;
(2)设直线l的方程为y=kx+t，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合kAP+kBP=0求得直线l的方程为y=kx+ 22，即可判断直线l过定点(0, 22).